河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

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【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可.
【详解】由，得，
故选：A.
2．C
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
3．B
【分析】求函数在处的导数即可.
【详解】因为，
所以
曲线在点处的切线的斜率为．
故选：B
4．【答案】D
5．B
【解析】求出导函数，代入即可求解.
【详解】函数的导数为，
则.
故选：B.
6．A
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
7．【答案】C
8．A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数.
【详解】在的展开式中，项为，
所以的系数为.
故选：A
9．BCD
【分析】根据排列的定义判断即可.
【详解】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题；
对于B：存在顺序问题，是排列问题；
对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
故选：BCD
10．【答案】A,B,C
11．AD
【分析】对于AB，根据对数函数和余弦函数的求导公式判断即可，对于C，根据指数函数的求导公式即可，D选项根据幂函数的求导公式即可.
【详解】对A，若，则，正确
对B，若，则，错误；
对C，，则，错误；
对D，若，则，正确.
故选：AD.
12．ACD
【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误.
【详解】A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确；
故选：ACD
13．
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：
14．
【分析】变形函数，利用求导公式及法则求解即得.
【详解】依题意，函数，
所以.
故答案为：
15．【答案】156
16．/2.25
【分析】对位移与时间的函数关系求导，代入即可求解.
【详解】，则.
故答案为：.
17．(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增
【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
18．(1)
(2)
【分析】（1）（2）由二项式定理求解．
【详解】（1）由题意可得，，解得；
（2），
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．
19．(1)12
(2)
【分析】（1）利用分类加法计数原理进行求解；
（2）利用分步乘法计数原理进行求解.
【详解】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：
第一类，选一名教师主持，有3种选法；
第二类，选一名男同学主持，有4种选法；
第三类，选一名女同学主持，有5种选法．
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：
第一步，选出一名教师，有3种选法；
第二步，选出一名男同学，有4种选法；
第三步，选出一名女同学，有5种选法，
以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法．
20．(1)24
(2)10
【分析】（1）利用分步乘法计数原理求不同的取法；
（2）利用分类加法计数原理求不同的取法；
【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
（2）分为3类：第1类取两本计算机书有6种取法；
第2类取两本文艺书有3种取法；
第3类取两本体育书有1种取法；
不同取法的种数共有.
21．【答案】（1）解：设数列{an}的公差为d，
则a3=a1+2d=5a7=a1+6d=13，
解得a1=1d=2，
故an=1+(n−1)×2=2n−1．
（2）解：由（1）知an=2n−1，
则bn=1(2n+1)an=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Sn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=12(11−13)+12(13−15)+⋅⋅⋅+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
22．（1）极小值为a﹣1﹣alna；（2）证明见解析；（3）[﹣3，0）.
【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求解函数的极值；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，而（1），可得当时，，与恒成立相矛盾；当时，函数在上是增函数，在上是减函数，结合（1），可得若对恒成立，则；
（3）设，则等价于函数在区间，上是减函数即使在，上恒成立，然后利用分离法将分离出来，从而求出的范围．
【详解】（1），
若，则在上恒成立，在上单调递增，原函数无极值；
若，则当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
则的极小值为（a）；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，
而（1），当时，，与恒成立相矛盾，
不满足题意；
当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
（a）
（1），当时，（a）（1），此时与恒成立相矛盾．
；
（3）由（2）可知，
当时，函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数，
不妨设，
则，
，即．
设，
则等价于函数在区间，上是减函数．
，在，上恒成立，
即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值．
而函数在，是增函数，的最大值为．
，
又，，．
【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.