2024年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效．
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）．
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】∵，
∴，
∴最大的数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为（ ）
A. kgB. kgC. kgD. kg
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：把130000000kg用科学记数法可表示为kg，
故选：B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．
4. 如图所示几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图的定义“从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图”进一步分析即可得到答案．
【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为：
故选：D.
【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键．
5. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
6. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接，

直线与相切，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
7. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
8. 小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，写出所有可能的情况是解题关键．设小明、小红、小刚3位同学分别为A、B、C，根据写出所有可能的排列情况，再找出小明、小刚两人恰好相邻的情况，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设小明、小红、小刚3位同学分别A、B、C，
则可能的情况有：、、、、、，共6种，
其中小明、小刚两人恰好相邻的情况有：、、、，共4种，
小明、小刚两人恰好相邻的概率是，
故选：C
9. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（ ）．
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，求出长，再利用平行四边形的判定和性质可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形，
∴,
故选D．
10. “五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有（ ）千米．
A. 12B. 24C. 146D. 164
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式和函数值的求解，要注意求的是离目的地的距离，这也是本题容易出错的地方．
设段图象的函数表达式为，利用待定系数法求一次函数解析式求出函数表达式，再把代入进行计算求出行驶的路程，再用全程减去行驶的路程计算即可得解．
【详解】解：设段图象的函数表达式为，
函数图象经过点，，
，
解得，
，
当时，，
千米．
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计24分）．
11. 在函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查求自变量的取值范围．熟练掌握分式的分母不为0，是解题的关键．
12. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的减法，直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：
故答案为： ．
13. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
14. 二次函数的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键．由二次函数的顶点式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
即当时，二次函数有最大值，
故答案为：．
15. 某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
根据今年六月份提供就业岗位32个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位50个，列一元二次方程即可．
【详解】解：月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：或（舍）
∴月平均增长率为，
故答案为：．
16. 如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”，它是工业生产中广泛使用的一种图形．若等边的边长为5，则该“莱洛三角形”的周长等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故答案：．
17. 已知是的边上的高，若，则的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由勾股定理，得出，进而得到，分两种情况讨论：是锐角三角形和是钝角三角形，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：是的边上的高，
，
在中，，
，
，
，
①当是锐角三角形时，
，
，
②当是钝角三角形时，
，
，
综上可知，的长为或，
故答案为：或

18. 在中，对角线和相交于点O，，延长至点E，连接交于点F，若，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，过点作于点，证明四边形是菱形，进而得出，再利用三角形中位线定理，得到，，证明，推出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，取中点，连接，过点作于点，
在中，对角线和相交于点O，，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，即，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题关键．
三、解答题（其中19~22题各7分，23题8分，24~26题各10分，共计66分）．
19. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，在方格纸中添加一条线段（点E、F在小正方形的顶点上），使它们构成轴对称图形；
（2）如图2，在方格纸中找点M（点M在小正方形的顶点上），使四边形是中心对称图形，并直接写出所画四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，6
【解析】
【分析】本题考查了作图——轴对称图形和中心对称图形，割补法求面积，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．
（1）根据轴对称图形的定义作图即可；
（2）根据中心对称图形的定义作图，再利用割补法求出面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求做；
【小问2详解】
解：如图，四边形即为所求做；
四边形的面积．
21. 某学校开展了安全知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如下不完整统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若全校学生都参加测试，请你估计该学校测试成绩优秀的学生有多少名．
【答案】（1）一共抽取了200名学生
（2）见详解 （3）该学校测试成绩优秀的学生有300名
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）基本合格的有30人，占比为，即可求解；
（2）拿人数200人减去其余三个等级的人数即可；
（3）拿总人数乘以样本中成绩优秀人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：（名）
答：一共抽取了200名学生．
【小问2详解】
解：，补全图形为：
【小问3详解】
解：（名）
答：该学校测试成绩优秀的学生有300名．
22. 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适．
（1）如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）．
（2）如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据）
【答案】（1）托片底部点C离底座的高度为，不符合小明使用的舒适要求；
（2）要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键．
（1）过点作于点，于点，利用余弦值，求出，进而得到，即可得到答案；
（2）过点作于点，过点作于点，于点，由题意可知，利用三角函数分别求出，，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，即托片底部点C离底座的高度为，
，
不符合小明使用的舒适要求；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，
点C离底座的高度不小于时，才感觉舒适，
点C离底座的最低高度舒适要求为，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．
23. 如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
24. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
（1）求参加此次研学活动的师生共有多少人？
（2）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生共有600人
（2）至少租用2台乙种客车
【解析】
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的师生共有x人，
则：，
解得：，
答：加此次研学活动的师生共有600人．
【小问2详解】
设租用m台乙种客车，
由题意得：，
解得：，∵m为整数，
∴m最小为2，∴至少租用2台乙种客车．
答：至少租用2台乙种客车．
25. 已知，、为两条弦，于点E，连接，．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，连接，延长交于点N，点F为上一点，连接，在上方作等腰直角三角形，且，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，，当点G落在线段上时，过点O做，交于点L，交于点T，若，求半径的长．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键．
（1）连接，证明即可；
（2）过点G作交于点R，先证明，得，
所以，得到，故．
（3）过G作交的延长线于点R，连接，作于点K，于点H，先证明，∴，设，则，，证出，则，
最后在中运用勾股定理求．
【小问1详解】
连接，
∵为半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：过点G作交于点R，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
过G作交的延长线于点R，连接，作于点K，于点H，
由（2）得，得，
∴，
∵，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
则，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于点C，连接，且．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点Q是第四象限内抛物线上的一点，过点Q作轴于D，连接，点E在上，过E点作轴于F，点H在上，纵坐标为，连接，若，点Q的横坐标为t，的长为d，求d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点G，连接延长至点M，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，点P为抛物线顶点，连接并延长交y轴于点K，连接并延长分别交、的延长线于点R、T，连接，若，求点K的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，当时，得到， ，在中，由三角函数得到，代入，即可求解，
（2）设，表示出，，代入，结合 ，即可求解，
（3）将化为标准式和顶点式，得到，，在中，表示出，代入，求出，进而得到，，，轴，作，，设，则，，，由，，解出，得到，，由，得到，结合，得到等腰直角，依次求出，，，，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，三角函数，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是：根据已知条件，列出等量关系式．
【小问1详解】
解：当时，，
∵，
∴，解得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，代入中，解得：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：由（1）得，
设，则：，，
∴，（），
∴，
∴，
∴，即：，
故答案为：，
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，
在中，，
∵
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，，，
∴轴，
过点作于点，过点作于点，
设，则，，，
∵，
∴，
∴，即：，整理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．