2024年江西省上饶市玉山县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 数字万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示，几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为（ ）
A. ﹣3B. 3C. ﹣5D. 5
6. 如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：=____．
8. 计算：_________
9. 不等式组的解集为__________．
10. 一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点分别在另一个三角板的斜边上，且，则的度数为_________．

11. 一个扇形的弧长是，圆心角的度数为，则扇形的面积为______.
12. 菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：；
（2）如图，已知，且．求证：．
14. 化简求值：，其中，．
15. 中考前，为了解各地市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从南昌市、九江市、景德镇市、赣州市、上饶市中随机抽签选取．
（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到上饶市的概率是_______；
（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图概率是的方法表示出所有可能的结果，并求出所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的概率．
16. 如图，已知正方形与，点E在上，且为的中点，点在线段的反向延长线上．请利用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图的痕迹）．
（1）在图1中，画出中点；
（2）在图2中，画出垂直平分线．
17. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与反比例函数的图象在第一象限内的部分交于点垂直于轴，垂足为，其中．
（1）直接写出点的坐标．
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛"并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．
知识竞赛成馈频数分布表
根据所给信息，解答下列问题．
（1）a=__________ ， ；
（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数；
（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图；
（4）已知该中学有名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于分的人数．
19. 如图，是的外接圆，，延长至点，连接，使．
（1）求证；与相切．
（2）若，，求的长．
20. 图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机（为矩形）与其下方套管连接于点E，E为的中点，，支架脚，与地面平行，．
（1）当时，求点E到地面的高度；
（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使，若，求点G到直线与交点的距离．
（参考数据：，结果精确到）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某超市购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润(元)最大?
（3）若超市要使销售该商品每天获得的利润为元，则每天的销售量应为多少件?
22. 对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等最距离”为0．
（1）请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；
（2）已知函数．
①若其“等量距离”为0，求的值；
②若，求其“等量距离”的取值范围；
③若“等量距离”，直接写出的取值范围．
六、解答题（12分）
23. （1）发现问题
如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；
（2）类比探究
①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）
（3）拓展应用
在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求EF的长．
组别
成绩（分数）
人数