四川省成都市锦江区锦江区教育科学研究院附属中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列交通标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
2. 下列各点中，位于第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标；每个象限点的坐标特征，第一象限的坐标；第二象限的坐标，第三象限的坐标，第四象限的坐标，据此作答即可．据此即可作答．
【详解】解：A、在第一象限，故不符合题意；
B、在第三象限，故符合题意；
C、在第二象限，故不符合题意；
D、第四象限，故不符合题意；
故选：B
3. 下面计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减混合运算——合并同类项，根据整式的合并同类项法则进行计算即可，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
【详解】、，此选项计算正确，符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4. 将质量分别为的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题图得到的数量关系，进而即可求解；
【详解】解：由题图知，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查代数式之间的大小比较，正确理解题意是解题的关键．
5. 若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A. ①②都可以B. ①②都不可以
C. 只有①可以D. 只有②可以
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段，
即只有①可以，②不可以，
故选：C．
6. 如图，在数轴上，点A，b，C是线段的中点．若且，则原点在（ ）
A. 点A的右边B. 点B的左边C. 线段上D. 线段上
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴、绝对值的几何意义，解题关键是理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示这个数与原点的距离，绝对值越大离原点越远．据此判断即可．
【详解】解：∵且，且B在A的左边，
∴，，即原点O在线段上且离点B较近，则选项A、B错误；
∴，
∵C是线段的中点，
∴，
∴，
∴原点O在线段上，则选项C正确，选项D错误，
故选：C．
7. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证，该选项不符合题意；
C、可以验证，该选项符合题意；
D、可以验证，即，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为x，下列方程正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．
直接利用总钱数不变得出方程进而得出答案．
【详解】解：依题意有：．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
10. 关于的一元一次方程的解是，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义，是解题的关键．把代入方程，即可求解．
【详解】解：把代入方程，
∴，
解得：，
故答案为：1
11. 如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是__________．

【答案】##105度
【解析】
【分析】根据方向角的定义即可作出判断．
【详解】解：如图，

由题意，得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．
12. 如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形，若正方形面积，，则正方形面积______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可．
【详解】
如图，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：11．
13. 为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，某旅游公司商议了四种收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在A城市调查1000名游客；方案三：在三个城市各调查5名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客，其中最合理的是_____方案．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查调查收集数据的过程和方法，理解抽样调查的合理性、代表性和普遍性是正确判断的关键．根据抽样调查的代表性、普遍性结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：根据抽样调查的代表性、普遍性可知，
方案一调查的是导游不是游客；方案二调查A城市不具有代表性；方案三调查游客太少，不具有代表性；方案四调查具有代表性、普遍性，故方案四比较合理，
故答案为：四．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解方程：；
（3）解方程：．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程及分式方程，关键是能准确确定运算顺序和方法．
（1）先计算零次幂、二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后计算加减；
（2）用配方法解该方程；
（3）根据解分式方程的步骤，可得答案．
【详解】解：（1）
；
（2）移项，得，
配方，得，
，
开平方，得或，
解得，；
（3）方程两边都乘以，得
解得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
15. 2024年2月16日，OpenAI发布“文生视频”工具Sra，又一次引起人们对人工智能的关注．人工智能是数字经济高质量发展的引擎；A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（图1，不完整），解答下列问题：
（1）①此次共调查了 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为 °；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（如图2，卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）①400，90；②见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用列表或画树状图的方法求概率，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）利用B类的人数除以其所占的比例可求得调查人数，用乘以C类所占的比例可求解圆心角的度数；②求得D类的人数，进而可补全统计图；
（2）画树状图得到所有的等可能的结果数，找到符合条件的结果数，进而利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：①调查人数为（人），
C类对应的圆心角度数为，
故答案为：400，90；
②D类人数为（人），
补全条形统计图如图：
【小问2详解】
解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的有4种，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
16. 如图是某遮阳伞的侧面示意图．已知支架长为3.6米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，设入射角．
（1）试说明与光线的入射角α相等；
（2）某一时刻测得长为2米，求阴影的长度．
【答案】（1）见解析 （2）5米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键．
（1）利用等角的余角相等求解即可；
（2）过E作于M，过G作于N，根据等腰三角形的性质求得米，利用勾股定理求解米，根据锐角三角函数求得，证明四边形是矩形，求得米，，再利用锐角三角形函数求得结果即可．
【小问1详解】
证明：由题意，，
∴，
∴，
即与光线的入射角α相等；
【小问2详解】
解：过E作于M，过G作于N，
∵米，米，米，
∴（米），则（米），
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，，
∴，
∴（米）．
17. 如图1，已知为的直径，弦于点E，点G是上一点，连接、、．
（1）求证：；
（2）如图2，延长、相交于点F，记与的交点为P，若，，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得到，再利用圆周角定理即可得到结论；
（2）连接、、，先根据垂径定理得到，进而利用勾股定理求得，根据等腰三角形的判定与性质，平分，利用圆内接四边形的性质结合（1）结论可证明，进而求解．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接、、，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，平分，
∴，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、圆内接四边形的性质、弦与弧的关系、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的性质与运用，正确添加辅助线是解答的关键．
18. 在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线相交于，其中点．
（1）如图，当时，
①求点坐标；
②连接并延长，交双曲线于另一点，射线平分，若于点，求点的坐标；
（2）如图，若直线分别交双曲线于第一、三象限，点关于原点的对称点为点，连接，若线段的长为，求的值．
【答案】（1）①，②
（2）或3
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题：
（1）①将代入求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数解析式，联立一次函数与反比例函数，即可求得点的坐标；
②先求得点的坐标，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求得，结合等边对等角和角平分线的性质推出，可得直线的解析式为，进而求解；
（2）根据题意可知有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，求得点的坐标，进而可得点的坐标，根据两点间的距离公式建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：①将代入，得，
，
直线l：与双曲线相交于，
当时，，
将代入，得，
解得，
此时直线l解析式为，
联立，解得，
当时，，即点的坐标为；
②设直线的解析式为，
将点代入，得
直线的解析式为，
联立，解得，
当时，，即点坐标为，
，
如图，连接，
于点，
，且，
射线平分，
，
，
直线的解析式为，
设，
则
解得（舍去负值），
；
【小问2详解】
解：直线l：与双曲线相交于，，，
，整理得，方程有两个不相等的实数根，其中一个根为，
，即，
，则，
线段的长为，
，
解得：或3（舍去负值）．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组、代数式求值，先根据已知方程解方程组求得x、y值，再代值求解即可．
【详解】解：由得，代入中，得，
解得，
将代入中，得，
∴，
故答案为：1．
20. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为、宽为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 _____．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到有用信息．根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估计概率求解即可．
【详解】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于0.6，
所以小球落在不规则图案上的概率约为0.6，
则估计不规则图案的面积大约是，
故答案为：42．
21. 如图，是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象和圆的对称性，根据对称性得到阴影部分的面积等于圆面积的四分之一，进而求得圆的半径，利用勾股定理求得即可求得k值．
【详解】解：设的半径为r，根据圆和反比例函数图象的对称性得阴影部分的面积等于圆面积的四分之一，
∴，则，
∵是反比例函数的图象与的一个交点，
∴，，
则，故，
故答案为：．
22. 如图，坐标轴上有两点、，以为边作菱形，使得顶点D和对角线的中点E均在双曲线上，，取的中点M，连接，则的取值范围为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据中点坐标公式得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质得到，，进而求得，，，则，，，根据菱形性质求得，连接，根据三角形的中位线性质和圆周角定理得到点M在以为直径的圆上运动，设圆心为G，则，利用两点距离坐标公式求得，进而可求解．
【详解】解：设，
∵点E为的中点，
∴，
∵点D、E在均在双曲线上，
∴，D在第四象限，
由菱形得，则，
解得，，，
∴，，则，
设，根据菱形的对角线互相平分，得，则，
∴，
连接，
∵点M、F分别为、的中点，
∴，
∴，
∴点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为G，则，半径为，
∵，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合应用，涉及反比例函数的图象与性质、菱形的性质、两点距离坐标公式、中点坐标公式、圆周角定理、圆有关性质、三角形的中位线性质等知识，涉及知识点较多，是一道填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
23. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“和数”，将一个“和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．则______；若s是“和数”，其中，，（，，且x，y，z都是正整数），当能被7整除时，则满足条件的s的和为______．
【答案】 ①. 6 ②. 13299
【解析】
【分析】本题考查了新定义数，正确理解定义，列出等式计算是解题的关键．
【详解】设这个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字是c，个位数字为d，根据题意，，
故，，
∴
∴，
∴，
故答案为：6；
∵是“和数”，
且这个四位数的千位数字为2x，百位数字为4，十位数字是y，个位数字为z，
∴，
∴，
∵能被7整除，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，且整数，
∴z只能是1，3，5，7，9，
故的值为3，2，1，
故，
故符合题意的s有6431，4433，2435，
它们的和为，
故答案为：13299．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米，
（1）分别用含x的代数式表示与S；
（2）若，求x的值；
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？
【答案】（1），
（2）9 （3）当时，S有最大值，最大值为．
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，，
则矩形菜园的面积为；
【小问2详解】
解：当时，由得，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，则，
∴，
答：x值为9；
【小问3详解】
解：由题意，，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
25. 已知二次函数的图象关于y轴对称，且与x轴交于点、B，
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数图象与y轴交于点C，在y轴上另有一个动点D，连接，求的最小值，并写出此时点D的坐标；
（3）在y轴上还有一个动点E，连接，将绕点B逆时针旋转得到线段，若点的纵坐标为，求点的横坐标．
【答案】（1）
（2）最小值为，
（3）12
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，则，利用正切定义，得，过D作于M，利用正弦定义得，则，当点B、D、M三点共线，且时，有最小值，过点B作于点，交y轴于，当D与重合时，最小，最小值为的长，利用正切定义，求得，则；利用正弦求得即可；
（3）由旋转得，，连接，在x轴上取一点M，使，连接，过点作轴于点N，则，证明，得到，，进而利用正切定义求得，求得即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象关于y轴对称，
∴，则，
∵二次函数的图象关与x轴交于点，
∴，则，
∴该二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意，当时，，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
过D作于M，则，
∴，
∴，
∴当点B、D、M三点共线，且时，有最小值，
过点B作于点，交y轴于，当D与重合时，最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
由对称性得，则，
∴，则；
∵，，
∴，
即最小值为，
【小问3详解】
解：由旋转得，，连接，
在x轴上取一点M，使，连接，过点作轴于点N，则，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
在和中，∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，则，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
∴点的横坐标为12．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、最短路径问题、解直角三角形、旋转性质等知识，涉及知识点较多，综合性强的压轴题，熟练掌握涉及知识的综合运用，正确添加辅助线是解答的关键．
26. 如图1，在矩形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向右平移，点从点出发，以每秒个单位的速度向右平移，连接．
（1）当与点重合时，求四边形的面积；
（2）如图2，当在线段上运动时，过点作交直线于点，连接，为中点，当时，请判断此时四边形的形状；
（3）当在射线上运动至点的右侧时，按照（2）的方法构造图形，是否存在某时刻，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）
（2）平行四边形，理由见解析
（3）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质及三角形的面积公式即可求解；
（2）过点作于点，过作于点，过作于点，延长交于点，证明，得到，，，，根据勾股定理得到，继而得到，设，则，证明，得到，即，解得，根据勾股定理可得
，，得到，最后在中，根据勾股定理求得，即可得出结论；
（3）如图，设交射线于点，交射线于点，证明，得到，，根据平行四边形的性质得到
，，利用三角形中位线定理得到，继而得到
，再证明，得，，继而得到，最后根据正切的定义即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，
∵在矩形中，，，
∴，
∵点从点出发，以每秒个单位的速度向右平移，点从点出发，以每秒个单位的速度向右平移，
∴，
当与点重合时，则，
此时点的运算时间为：，
∴，
∴四边形的面积：，
即四边形的面积为；
【小问2详解】
四边形为平行四边形．
理由：
过点作于点，过作于点，过作于点，延长交于点，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，，
∴在中，，
∵为中点，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，，，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，为中点，即，
∴，
∴，
∴，即点为中点，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，，
∴四边形平行四边形；
【小问3详解】
如图，设交射线于点，交射线于点，
此时四边形为平行四边形，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵为中点，即，
∴，即为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴当的值为时，存在以、、、为顶点的平行四边形．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义等知识．通过作辅助线构造直角三角形、相似三角形，正确理解题意并画出图形是解题的关键．