2023-2024学年河南省驻马店市确山县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市确山县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4D. 1， 2，3
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 24B. 0.2C. 8a+4D. a2+1
3.如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C.已知SA=64，SB=225，那么正方形C的边长是( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
4.下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 2 3− 3=2C. 3× 2=6D. 8÷ 2=2
5.若 (3−b)2=3−b，则b满足的条件是( )
A. b>3B. b<3C. b≥3D. b≤3
6.下列命题的逆命题成立的是( )
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
7.如图，公园里有一块草坪，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是( )
A. 24平方米B. 36平方米C. 48平方米D. 72平方米
8.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(−3,2)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A. −4和−3之间
B. −5和−4之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
10.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A. 1013 13B. 913 13C. 813 13D. 713 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简： (3−π)2= ．
12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．
13.在直角坐标系中，点P(−4,3)到原点的距离是______．
14.把 a −1a中根号外面的因式移到根号内的结果是______．
15.如图，△MNG中，MN=5，∠M=75°，MG=3 2，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1) 18+ 50− 32；
(2)( 27+ 13)× 3；
(3) 12× 23−6 12；
(4) 21÷ 13+13 28− 700．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x( 6−x)+(x+ 5)(x− 5)，其中x= 6− 2．
18.(本小题8分)
已知a= 3+1，b= 3−1．
(1)求ab的值；
(2)求a2+b2的值．
19.(本小题9分)
【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)依题知BC= ______米，用含有x的式子表示AC为______米；
(2)请你求出旗杆的高度．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，CD⊥AB于D．
(1)求CD的长．
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题10分)
我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 ba的形式，我们把形如 ba的式子称为根分式，例如 32， x−1x都是根分式．
(1)下列式子中①aa2+1，② 3 x+1，③ a2+32，______是根分式(填写序号即可)；
(2)写出根分式 x−1x−2中x的取值范围______；
(3)已知两个根分式M= x2−6x+7x−2，N= 2x−1x−2．
①若M2−N2=1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值：______．
22.(本小题10分)
已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒2cm，在AC边上的运动速度是每秒1.5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，t为何值时，△ACQ的面积是△ABC面积的13；
(3)当点Q在边CA上运动时，t为何值时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A.42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C.22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D.12+( 2)2=3≠32，而且它们不符合三角形的三边关系，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、 24=2 6，故A不符合题意；
B、 0.2= 15= 55，故B不符合题意；
C、 8a+4=2 2a+1，故C不符合题意；
D、 a2+1是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
则SA=a2=64，SB=b2=225，
Sc=c2，
∵a2+b2=c2，
∴Sc=64+225=289，
∴c=17，
故选：C．
根据勾股定理即可得到：正方形A，B的面积的和，等于正方形C的面积，即可求得结果．
本题主要考查了勾股定理，正确理解正方形A，B的面积的和，等于正方形C的面积是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A. 2与 3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. 2 3− 3= 3，原选项错误，不符合题意；
C. 3× 2= 6，原选项错误，不符合题意；
D. 8÷ 2=2，选项正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类二次根式的法则和二次根式的乘除法逐一进行计算进行判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
直接利用二次根式的性质得出3−b的符号，进而得出答案．
【解答】
解：∵ (3−b)2=3−b，
∴3−b≥0，
解得：b≤3．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：A.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故A选项不符合题意；
B.“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，是假命题，故B选项不符合题意；
C.“如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2”的逆命题是“如果三角形三条边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，故C选项符合题意；
D.“如果两个角都是45°，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角都是45°”，是假命题，故D选项不符合题意；
故选：C．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅DC=12(3×4+5×12)=36米 ​2．
故选：B．
先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点，关键是根据勾股定理求出AC的长．
8.【答案】A
【解析】解：A.大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B.由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴12ab+12ab+12c2=12(a+b)(a+b)，
整理得a2+b2=c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C.大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×12ab+c2=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D.整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
∴b2+a2+2×12ab=c2+2×12ab，
整理得a2+b2=c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵点P坐标为(−3,2)，
∴OP= 22+32= 13，
∴OA=OP= 13，
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标为− 13，
∵ 9< 13< 16，
∴3< 13<4，
∴−4<− 13<−3，
∴点A的横坐标− 13介于−4和−3之间，
故选，A．
首先利用勾股定理求出OA=OP= 22+32= 13，得出点A的横坐标为− 13，再得出3< 13<4，从而得出− 13的范围．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，无理数的估算等知识，注意负数的大小比较是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：AC= 22+32= 13，
∵S△ABC=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴ 13⋅BD=7，
∴BD=7 1313，
故选：D．
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】π−3
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3．
故答案是：π−3．
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
12.【答案】5
【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=17，一条直角边的平方=8，
由勾股定理可知：斜边的平方=8+17=25，即A所代表的正方形的面积为25．
∴A所代表的正方形的边长为5．
故答案为：5．
根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积=8+17=25，再根据正方形面积计算公式即可求出边长．
本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】5
【解析】解：在直角坐标系中，点P(−4,3)到原点的距离= 42+32=5，
故答案为：5．
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14.【答案】− −a
【解析】解：原式=− −1a⋅a2=− −a，
故答案为：− −a
判断得到a为负数，利用二次根式性质化简即可．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
15.【答案】 73
【解析】解：如图，以MG为边作等边△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形，
∴∠GMO=∠DME，
在△GMO和△DME中，
OM=ME∠GMO=∠DMEMG=MD，
∴△GMO≌△DME(SAS)，
∴OG=DE，
∴NO+GO+MO=DE+OE+NO，
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMD=75°+60°=135°，
∴∠DMF=180°−135°=45°，
∵MG=3 2=MD，
∴MF=DF= MD22=3，
∴NF=MN+MF=5+3=8，
∴ND= NF2+DF2= 82+32= 73，
∴MO+NO+GO最小值为 73．
故答案为： 73．
以MG为边作等边△MGD，以OM为边作等边△OME，通过全等即可将OM、OG进行转换，再分析当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，利用勾股定理求出即可．
本题考查了构造等边三角形，利用手拉手模型求解线段和最小值问题，能够熟练利用等边三角形的性质是解决本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3 2+5 2−4 2
=4 2；
(2)原式=(3 3+ 33)× 3
=9+1
=10；
(3)原式= 12×23−6× 22
=2 2−3 2
=− 2；
(4)原式= 21÷13+13×2 7−10 7
=3 7+23 7−10 7
=−193 7
【解析】(1)把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；
(3)先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
(4)先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化简成最简二次根式．
17.【答案】解：原式= 6x−x2+x2−5= 6x−5，
当x= 6− 2时，
原式= 6( 6− 2)−5=6−2 3−5=1−2 3．
【解析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x= 6− 2代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a= 3+1，b= 3−1，
∴ab=( 3+1)( 3−1)=3−1=2；
(2)∵a= 3+1，b= 3−1，
∴a+b=( 3+1)+( 3−1)=2 3，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(2 3)2−2×2=8．
【解析】(1)根据平方差公式计算即可；
(2)根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
19.【答案】5 (x+1)
【解析】解：(1)根据题意知：BC=5米，AC=(x+1)米．
故答案为：5；(x+1)；
(2)在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2=AC2，
即52+x2=(x+1)2．
解得x=12．
答：旗杆的高度为12米．
(1)根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
(2)因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=100，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴AB⋅CD=AC⋅BC，
∴10CD=6×8，
∴CD=4.8，
∴CD的长为4.8；
(2)∵∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴△ABC的面积为24．
【解析】(1)先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，然后利用面积法进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得∠ACB=90°，然后再根据三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
21.【答案】③ x≥1且x≠2 3或1
【解析】解：(1)①aa2+1不是根分式，
② 3 x+1不是根分式，
③ a2+32是根分式，
故答案为：③；
(2)由题意得：x−1≥0，x−2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
(3)当M= x2−6x+7x−2，N= 2x−1x−2时，
①M2−N2=1，
( x2−6x+7x−2)2−( 2x−1x−2)2=1，
x2−6x+7(x−2)2−2x−1(x−2)2=1，
x2−8x+8(x−2)2=1，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解；
②M2+N2
=( x2−6x+7x−2)2+( 2x−1x−2)2
=x2−6x+7(x−2)2+2x−1(x−2)2
=x2−4x+6(x−2)2
=(x−2)2+2(x−2)2
=1+2(x−2)2，
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
∴2(x−2)2是一个整数，
∴x−2=±1，
解得：x=3或1，
经检验，x=3或1符合题意，
故答案为：3或1．
(1)根据根分式的定义进行判断即可；
(2)根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
(3)①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
22.【答案】解：(1)当t=2s时，点Q在边BC上运动，
则AP=2cm，BQ=2t=4(cm)，
∵AB=8cm，
∴BP=AB−AP=8−2=6(cm)，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ= BP2+BQ2= 62+42=2 13(cm)，
∴PQ的长为2 13cm；
(2)∵S△ACQ=12CQ⋅AB，S△ABC=12BC⋅AB，点Q在边BC上运动时，△ACQ的面积是△ABC面积的13，
∴CQ=13BC=13×6=2(cm)，
∴BQ=BC−CQ=6−2=4(cm)，
∴t=42=2，
∴当点Q在边BC上运动时，t为2时，△ACQ的面积是△ABC面积的13；
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 82+62=10(cm)，
当点P达到点B时，t=81=8，
当点Q达到点A时，t=62+101.5=293，
∵当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，
∴0≤t≤8，
∵AP=t cm，
∴BP=(8−t)cm，点Q在CA上运动时，CQ=1.5×(t−62)=(1.5t−4.5)(cm)，
∴AQ=10−(1.5t−4.5)=(−1.5t+14.5)(cm)，
∴BP+BC+CQ=8−t+6+1.5t−4.5=(0.5t+9.5)(cm)，AP+AQ=t+(−1.5t+14.5)=(−0.5t+14.5)(cm)，
分两种情况：
①BP+BC+CQAP+AQ=2325，
即0.5t+9.5−0.5t+14.5=2325，
解得：t=4，
经检验，t=4是原方程的解，
∴t=4；
②BP+BC+CQAP+AQ=2523，
即0.5t+9.5−0.5t+14.5=2523，
解得：t=6，
经检验，t=6是原方程的解，
∴t=6；
综上所述，当点Q在边CA上运动时，t为4或6时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．
【解析】(1)当t=2s时，AP=2cm，BQ=2t=4(cm)，则BP=AB−AP=6(cm)，再由勾股定理求出PQ的长即可；
(2)由三角形面积关系得CQ=13BC=2(cm)，则BQ=BC−CQ=4(cm)，即可得出答案；
(3)求出0≤t≤8，BP=(8−t)cm，点Q在CA上运动时，CQ=(1.5t−4.5)cm，则AQ=(−1.5t+14.5)cm，再求出BP+BC+CQ(0.5t+9.5)cm，AP+AQ=(−0.5t+14.5)cm，然后分两种情况：①BP+BC+CQAP+AQ=2325，②BP+BC+CQAP+AQ=2523，分别求出t的值即可．
本题考查了勾股定理、三角形面积、分式方程的解法以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．