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2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−1A. {x|02.已知a=(3,2)，b=(−6,x)，若a与b共线，则x=( )
A. −4B. 4C. 9D. −9
3.“sinx=12”是“csx= 32”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.e1，e2是平面内不共线两向量，已知AB=e1−ke2，CB=2e1+e2，CD=3e1−e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知偶函数f(x)=2sin(ωx+φ−π6)(ω>0,π2<φ<π)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(3π8)=( )
A. 22B. − 2C. − 3D. 2
6.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增B. 在区间[3π4,π]上单调递减
C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增D. 在区间[3π2,2π]上单调递减
7.扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图2)AO=120cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为( )
A. 15π2cm2B. 1350πcm2C. 1350cm2D. 1800πcm2
8.如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F，G分别是边BC，CD，AD的中点，点P是线段EF上的动点，则GP⋅AP的最小值为( )
A. 238
B. 3
C. 278
D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对任意向量a，b，都有|a⋅b|≤|a||b|
B. 对任意非零向量a，b，都有|a+b|<|a|+|b|
C. 若向量a，b满足(a+b)⊥(a−b)，则|a|=|b|
D. 若非零向量a，b满足a⊥b，则|a+b|=||a|−|b||
10.已知函数f(x)=tan(12x+π3)，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为2π
B. (−π3,0)是函数y=f(x)的一个对称中心
C. 2π是函数y=|f(x)|的一个周期
D. 不等式f(x)> 3的解集为(2kπ,π3+2kπ),k∈Z
11.下列命题为真命题的是( )
A. 在△ABC中，若AB⋅AC>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若P为△ABC 的垂心，AB⋅AC=2，则AP⋅AB=2
C. △ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则2PA⋅(PB+PC)的最小值为−3
D. O为△ABC内部一点，3OA+4OB+5OC=CB，则△OAB，△OAC，△OBC的面积比为2：1：1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若θ∈(0,π2),tanθ=12，则sinθ−csθ= ______．
13.已知向量a=(−1,2)，b=(1,3).则a在b上的投影向量的坐标为______．
14.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP=xe1+ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(x,y)，向量OP的斜坐标为(x,y)，OM=(3,1)，ON=(1,3)，则△OMN的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=4,|b|=2,a,b的夹角为2π3．
(1)求3a+b的值；
(2)当k为何值时，a+2b⊥ka−b．
16.(本小题15分)
己知向量a=(sinθ,csθ−2sinθ)，b=(1,2)．
(1)若a//b，求sinθ⋅csθ1+3cs2θ的值；
(2)若|a|=|b|，0<θ<π，求θ的值．
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，N是边AB的中点，且4BM=BC，设AM与CN交于点P.记AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AM，CN；
(2)若2|a|=|b|，且CP⊥AB，求〈a,b〉的余弦值．
18.(本小题17分)
已知向量m=( 3csωx,−1)，n=(sinωx,cs2ωx)(ω>0)，函数f(x)=m⋅n图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x0∈[π4,7π12]且f(x0)= 33−12，求cs2x0的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．
①当x∈[−π3,π2]时，求函数g(x)的值域；
②若方程g(x)−m=0在[0,7π3]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
先求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】
解：因为集合A={x|−1则A∩B={1,2}．
故答案选：C．
2.【答案】A
【解析】解：因为a=(3,2),b=(−6,x),a与b共线，
所以3x=2×(−6)，解得x=−4．
故选：A．
根据平面向量共线的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：sinx=12，x可为30°，150°等等，当x=150°时，cs150°=− 32，csx≠ 32，
所以“sinx=12”是“csx= 32”的不充分条件；
反之，当csx= 32时，x可为30°，330°等等，当x=330°时，sin330°=−12，
所以“sinx=12”是“csx= 32”的不必要条件．
故选：D．
已知三角函数值求角，注意角的取值不唯一，从而可判断两个条件之间的关系．
本题考查三角函数值，既不充分也不必要条件，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量共线的条件，属于中档题．
由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【解答】
解：∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，
∴存在实数λ，使得AB=λBD；
∵BD=CD−CB=3e1−e2−(2e1+e2)=e1−2e2，
∴e1−ke2=λ(e1−2e2)，
∵e1,e2是平面内不共线的两向量，
∴1=λ−k=−2λ解得k=2．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ−π6)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，∴φ=2π3，
∵函数图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，∴T2=π2，T=π=2πω，∴ω=2，f(x)=2cs2x，
∴f(3π8)=2cs3π4=− 2．
故选：B．
根据f(x)为偶函数求得φ的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π8).
本题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性、单调性，以及图象的对称性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．
【解答】
解：将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，
得到的函数为：y=sin2x，
增区间满足：−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，
减区间满足：π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，
减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，
∴将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[3π4,5π4]上单调递增．
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
根据扇形面积S=12αR2，并结合割补法，即可得解．
【解答】
解：因为AO=120cm，且C为AO的中点，
所以CO=60cm，
所以该扇形窗子的面积S=S扇形OAB−S扇形OCD
=12|AO|2⋅∠AOB−12|CO|2⋅∠AOB
=12×1202×π4−12×602×π4=1350πcm2．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：取AG中点为M，连接EM，FM，PM，
此时GP⋅AP=14[(GP+AP)2−(GP−AP)2]
=14(4|PM|2−|GA|2)=|PM|2−14，
要求GP⋅AP的最小值，
即求|PM|的最小值，
易知S△EFM=S四边形ECDM−S△CEF−S△DFM
=2(1+32)2−1×12−1×322=54，
又EF= 12+12= 2，
此时S△EFM= 2|PM|2=54，
解得|PM|=5 24，
所以(GP⋅AP)min=|PM|2−14=(5 24)2−14=238．
故选：A．
由题意，取AG中点为M，连接EM，FM，PM，根据向量的线性运算将求GP⋅AP的最小值，转化成求|PM|的最小值，利用梯形面积公式和三角形面积公式得到△EFM的面积，结合三角形面积公式列出等式，即可求出|PM|的值，进而即可求解．
由题意，本题考查平面向量数量积的应用以及线性运算，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：设θ=〈a,b〉，则|csθ|≤1，
所以|a⋅b|=|a||b|csθ≤|a||b|，故A正确；
对于B：当向量a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|，故B错误；
对于C：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，
所以|a|2=|b|2，
所以|a|=|b|，故C正确；
对于D：若非零向量a，b满足a⊥b，则θ=90°，即a⋅b=0，
所以|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=a2+b2=|a|2+|b|2，
又(|a|−|b|)2=|a|2−2|a||b|+|b|2，
所以|a+b|2≠(|a|−|b|)2，即|a+b|≠|a|−|b|，D错误．
故选：AC．
根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较|a+b|2,||a|−|b||2可判断D．
本题考查向量的运算，解题中需要熟练掌握向量的概念和运算，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=tan(12x+π3)，
∴T=π12=2π，A正确；
又12×(−π3)+π3=π6≠kπ2(k∈Z)，
∴(−π3,0)不是函数y=f(x)的一个对称中心，B错误；
令g(x)=|tan(12x+π3)|，则g(x+2π)=|tan[12(x+2π)+π3]|=|tan(12x+π3)|=g(x)，
∴2π是函数y=g(x)=|f(x)|的一个周期，C正确；
由f(x)> 3，得tan(12x+π3)> 3，
∴π3+kπ<12x+π3解得2kπ∴不等式f(x)> 3的解集为(2kπ,π3+2kπ),k∈Z.D正确．
故选：ACD．
利用正切函数的周期性、对称性、单调性等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正切函数的周期性、单调性与对称性的应用，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由AB⋅AC>0，可得|AB|⋅|AC|csA>0，
所以csA>0，所以角A为锐角，而角B，C不能确定，
所以△ABC不一定为锐角三角形，所以A错误；
对于B，因为P为△ABC的垂心，所以CP⋅AB=0，因为AB⋅AC=2，
所以AP⋅AB=(AC+CP)⋅AB=AC⋅AB+CP⋅AB=2+0=2，所以B正确；
对于C，如图建立平面直角坐标系，
则A(0, 3),B(−1,0),C(1,0)，设P(x,y)，
则PA=(−x, 3−y),PB=(−1−x,−y),PC=(1−x,−y)，
所以2PA⋅(PB+PC)=(−2x,2 3−2y)⋅(−2x,−2y)
=4x2−4 3y+4y2=4x2+4(y− 32)2−3，
所以当x=0且y= 32时，2PA⋅(PB+PC)取得最小值−3，所以C正确；
对于D，在△ABC中，因为3OA+4OB+5OC=CB，
所以3OA+4OB+5OC=OB−OC，即3OA+3OB=−6OC，
所以OA+OB=−2OC，即OA+OB=2CO，
取AB边上的中点D，连接OD，
则OA+OB=2OD，所以CO=OD，
所以C，O，D三点共线，且O为CD的中点，
所以S△AOC=S△AOD=S△BOC=S△BOD，
所以S△OAB：S△OAC：S△OBC=2：1：1，所以D正确．
故选：BCD．
对于A，由AB⋅AC>0可判断角A为锐角，不能判断角B，C是否为锐角；对于B，由题意可得CP⋅AB=0，再结合数量积的运算律和向量的加法运算化简变形即可；对于C，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出点P的坐标，化简计算2PA⋅(PB+PC)可得结果；对于D，由已知得OA+OB=2CO，从而得
S△AOC=S△AOD=S△BOC=S△BOD，进而可求得△OAB，△OAC，△OBC的面积比．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
12.【答案】− 55
【解析】解：因为θ∈(0,π2)，则sinθ>0，csθ>0，
又因为tanθ=sinθcsθ=12，则csθ=2sinθ，
且cs2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sinθ= 55或sinθ=− 55(舍去)，
所以sinθ−csθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=− 55．
故答案为：− 55．
根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
13.【答案】(12,32)
【解析】解：a=(−1,2)，b=(1,3)，
则a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|×b|b|=5 10×b 10=12b=(12,32)．
故答案为：(12,32)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】2 3
【解析】解：设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2，
则OM=3e1+e2，ON=e1+3e2，NM=OM−ON=2e1−2e2，e1⋅e2=csθ=12，
所以|NM|2=(2e1−2e2)2=4e12+4e22−8e1⋅e2=4，所以|NM|=2，
又因为|OM|2=(3e1+e2)2=9e12+e22+6e1⋅e2=13，所以|OM|= 13；|ON|2=(e1+3e2)2=e12+9e22+6e1⋅e2=13，所以|ON|= 13；
故S△OMN=12×2× ( 13)2−1=2 3．
故答案为：2 3．
设平面内一组不共线的基底，则根据题意可以将 OM=(3,1)，ON=(1,3)用e1，e2表示，即可求得三角形的三边长，进而可以求得三角形的面积．
本题考查平面向量基本定理，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由|a|=4，|b|=2，a与b的夹角是为2π3，
则a⋅b=4×2×cs2π3=−4，
所以|3a+b|= (3a+b)2
= 9|a|2+6a⋅b+|b|2
= 9×16+6×(−4)+4
=2 31；
(2)由(a+2b)⊥(ka−b)，
则(a+2b)⋅(ka−b)=0，
即ka2−2b2+(2k−1)a⋅b=0，
即有16k−2×4−4(2k−1)=0，
解得k=12．
即有当k为12时，(a+2b)⊥(ka−b).
【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，主要考查向量垂直的应用，属于基础题．
(1)运用向量的数量积的定义和向量的模的计算即可得到；
(2)运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程即可得到k．
16.【答案】解：(1)∵a//b，∴2sinθ=csθ−2sinθ，∴4sinθ=csθ，
∵csθ≠0，∴tanθ=14，
∴sinθ⋅csθ1+3cs2θ=sinθ⋅csθsin2θ+4cs2θ=tanθtan2θ+4=465
(2)∵|a|=|b|，∴sin2θ+(csθ−2sinθ)2=5，
∴1−4sinθcsθ+4sin2θ=5，
∴−2sin2θ+2(1−cs2θ)=4，
∴sin2θ+cs2θ=−1，
∴sin(2θ+π4)=− 22
∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，
∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，
∴θ=π2或θ=3π4．
【解析】(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；
(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=− 22，再结合三角函数的性质可得到结果．
本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)BC=AC−AB=b−a，
AM=AB+BM=AB+14BC
=a+14(b−a)=34a+14b，
CN=CA+AN=−AC+12AB=12a−b；
(2)∵N，P，C三点共线，又CP⊥AB，
∴CN⊥AB，
0=CN⋅AB=(12a−b)⋅a，即12|a|2=b⋅a，
∴12|a|2=|a||b|cs〈a,b〉=2|a|2cs〈a,b〉，
∴cs〈a,b〉=14，∴〈a,b〉的余弦值为14．
【解析】(1)根据平面向量的基底与三角形法则即可用a，b表示向量AM，CN；
(2)由CP⊥AB得CN⊥AB，代入向量数量积公式即可求得〈a,b〉的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx= 32sin2ωx−1+cs2ωx2．
=sin(2ωx−π6)−12，
∵T=2×π2=π，∴2ω=2ππ=2，即f(x)=sin(2x−π6)−12．
(2)∵f(x0)= 33−12，∴sin(2x0−π6)= 33．
∵x0∈[π4,7π12]，∴2x0−π6∈[π3,π]，
∴sin(2x0−π6)= 33< 32．
∴2x0−π6∈[2π3,π]，∴cs(2x0−π6)=− 63．
∴cs2x0=cs[(2x0−π6)+π6]=cs(2x0−π6)csπ6−sin(2x0−π6)sinπ6=−3 2+ 36．
【解析】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量数量积，考查了运算求解能力，属于基础题．
(1)由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f(x)=sin(2ωx−π6)−12，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式．
(2)由f(x0)= 33−12，可得sin(2x0−π6)= 33.结合x0∈[π4,7π12]，得cs(2x0−π6)=− 63.由cs2x0=cs[(2x0−π6)+π6]计算即可．
19.【答案】解：由图示得：A=32−122=12，
B=(32+12)÷2=1，
又T2=7π12−π12=π2，
∴T=π，∴ω=2πT=2，
∴f(x)=12sin(2x+φ)+1，又因为f(x)过点(π12,32)，∴32=12sin(2×π12+φ)+1，∴sin(π6+φ)=1，
∴π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=12sin(2x+π3)+1．
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，当x∈[−π3,π2]时，x+π6∈[−π6,2π3]，
sin(x+π6)∈[−12,1]．
∴g(x)=12sin(x+π6)+1∈[34,32]，∴函数g(x)的值域为[34,32]；
②当x∈[0,7π3]时，x+π6∈[π6,5π2]，令t=x+π6∈[π6,5π2]，∴h(t)=12sint+1，
则函数h(t)的图象如下图所示，
且h(π6)=12sinπ6+1=54，h(3π2)=12sin3π2+1=12，
h(5π2)=12sin5π2+1=32，
由图象得h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3(t1所以t1+2t2+t3=4π，即(x1+π6)+2(x2+π6)+(x3+π6)=4π，
所以x1+2x2+x3=10π3，所以tan(x1+2x2+x3)=tan10π3=tan(4π−2π3)= 3，
故tan(x1+2x2+x3)= 3．
【解析】本题考查利用图象求函数的解析式，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移与伸缩变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力．
(1)由图象得A，B，ω，再代入点(π12,32)，求解可得函数的解析式，
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，由x∈[−π3,π2]求得sin(x+π6)∈[−12,1]，继而求得g(x)的值域；
②令t=x+π6∈[π6,5π2]，h(t)=12sint+1，做出函数h(t)的图象，设h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3，(t1
1.设集合A={x|−1
A. −4B. 4C. 9D. −9
3.“sinx=12”是“csx= 32”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.e1，e2是平面内不共线两向量，已知AB=e1−ke2，CB=2e1+e2，CD=3e1−e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知偶函数f(x)=2sin(ωx+φ−π6)(ω>0,π2<φ<π)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(3π8)=( )
A. 22B. − 2C. − 3D. 2
6.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增B. 在区间[3π4,π]上单调递减
C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增D. 在区间[3π2,2π]上单调递减
7.扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图2)AO=120cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为( )
A. 15π2cm2B. 1350πcm2C. 1350cm2D. 1800πcm2
8.如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F，G分别是边BC，CD，AD的中点，点P是线段EF上的动点，则GP⋅AP的最小值为( )
A. 238
B. 3
C. 278
D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对任意向量a，b，都有|a⋅b|≤|a||b|
B. 对任意非零向量a，b，都有|a+b|<|a|+|b|
C. 若向量a，b满足(a+b)⊥(a−b)，则|a|=|b|
D. 若非零向量a，b满足a⊥b，则|a+b|=||a|−|b||
10.已知函数f(x)=tan(12x+π3)，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为2π
B. (−π3,0)是函数y=f(x)的一个对称中心
C. 2π是函数y=|f(x)|的一个周期
D. 不等式f(x)> 3的解集为(2kπ,π3+2kπ),k∈Z
11.下列命题为真命题的是( )
A. 在△ABC中，若AB⋅AC>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若P为△ABC 的垂心，AB⋅AC=2，则AP⋅AB=2
C. △ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则2PA⋅(PB+PC)的最小值为−3
D. O为△ABC内部一点，3OA+4OB+5OC=CB，则△OAB，△OAC，△OBC的面积比为2：1：1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若θ∈(0,π2),tanθ=12，则sinθ−csθ= ______．
13.已知向量a=(−1,2)，b=(1,3).则a在b上的投影向量的坐标为______．
14.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP=xe1+ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(x,y)，向量OP的斜坐标为(x,y)，OM=(3,1)，ON=(1,3)，则△OMN的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=4,|b|=2,a,b的夹角为2π3．
(1)求3a+b的值；
(2)当k为何值时，a+2b⊥ka−b．
16.(本小题15分)
己知向量a=(sinθ,csθ−2sinθ)，b=(1,2)．
(1)若a//b，求sinθ⋅csθ1+3cs2θ的值；
(2)若|a|=|b|，0<θ<π，求θ的值．
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，N是边AB的中点，且4BM=BC，设AM与CN交于点P.记AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AM，CN；
(2)若2|a|=|b|，且CP⊥AB，求〈a,b〉的余弦值．
18.(本小题17分)
已知向量m=( 3csωx,−1)，n=(sinωx,cs2ωx)(ω>0)，函数f(x)=m⋅n图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x0∈[π4,7π12]且f(x0)= 33−12，求cs2x0的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．
①当x∈[−π3,π2]时，求函数g(x)的值域；
②若方程g(x)−m=0在[0,7π3]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
先求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】
解：因为集合A={x|−1
故答案选：C．
2.【答案】A
【解析】解：因为a=(3,2),b=(−6,x),a与b共线，
所以3x=2×(−6)，解得x=−4．
故选：A．
根据平面向量共线的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：sinx=12，x可为30°，150°等等，当x=150°时，cs150°=− 32，csx≠ 32，
所以“sinx=12”是“csx= 32”的不充分条件；
反之，当csx= 32时，x可为30°，330°等等，当x=330°时，sin330°=−12，
所以“sinx=12”是“csx= 32”的不必要条件．
故选：D．
已知三角函数值求角，注意角的取值不唯一，从而可判断两个条件之间的关系．
本题考查三角函数值，既不充分也不必要条件，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量共线的条件，属于中档题．
由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【解答】
解：∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，
∴存在实数λ，使得AB=λBD；
∵BD=CD−CB=3e1−e2−(2e1+e2)=e1−2e2，
∴e1−ke2=λ(e1−2e2)，
∵e1,e2是平面内不共线的两向量，
∴1=λ−k=−2λ解得k=2．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ−π6)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，∴φ=2π3，
∵函数图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，∴T2=π2，T=π=2πω，∴ω=2，f(x)=2cs2x，
∴f(3π8)=2cs3π4=− 2．
故选：B．
根据f(x)为偶函数求得φ的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π8).
本题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性、单调性，以及图象的对称性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．
【解答】
解：将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，
得到的函数为：y=sin2x，
增区间满足：−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，
减区间满足：π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，
减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，
∴将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[3π4,5π4]上单调递增．
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
根据扇形面积S=12αR2，并结合割补法，即可得解．
【解答】
解：因为AO=120cm，且C为AO的中点，
所以CO=60cm，
所以该扇形窗子的面积S=S扇形OAB−S扇形OCD
=12|AO|2⋅∠AOB−12|CO|2⋅∠AOB
=12×1202×π4−12×602×π4=1350πcm2．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：取AG中点为M，连接EM，FM，PM，
此时GP⋅AP=14[(GP+AP)2−(GP−AP)2]
=14(4|PM|2−|GA|2)=|PM|2−14，
要求GP⋅AP的最小值，
即求|PM|的最小值，
易知S△EFM=S四边形ECDM−S△CEF−S△DFM
=2(1+32)2−1×12−1×322=54，
又EF= 12+12= 2，
此时S△EFM= 2|PM|2=54，
解得|PM|=5 24，
所以(GP⋅AP)min=|PM|2−14=(5 24)2−14=238．
故选：A．
由题意，取AG中点为M，连接EM，FM，PM，根据向量的线性运算将求GP⋅AP的最小值，转化成求|PM|的最小值，利用梯形面积公式和三角形面积公式得到△EFM的面积，结合三角形面积公式列出等式，即可求出|PM|的值，进而即可求解．
由题意，本题考查平面向量数量积的应用以及线性运算，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：设θ=〈a,b〉，则|csθ|≤1，
所以|a⋅b|=|a||b|csθ≤|a||b|，故A正确；
对于B：当向量a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|，故B错误；
对于C：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，
所以|a|2=|b|2，
所以|a|=|b|，故C正确；
对于D：若非零向量a，b满足a⊥b，则θ=90°，即a⋅b=0，
所以|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=a2+b2=|a|2+|b|2，
又(|a|−|b|)2=|a|2−2|a||b|+|b|2，
所以|a+b|2≠(|a|−|b|)2，即|a+b|≠|a|−|b|，D错误．
故选：AC．
根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较|a+b|2,||a|−|b||2可判断D．
本题考查向量的运算，解题中需要熟练掌握向量的概念和运算，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=tan(12x+π3)，
∴T=π12=2π，A正确；
又12×(−π3)+π3=π6≠kπ2(k∈Z)，
∴(−π3,0)不是函数y=f(x)的一个对称中心，B错误；
令g(x)=|tan(12x+π3)|，则g(x+2π)=|tan[12(x+2π)+π3]|=|tan(12x+π3)|=g(x)，
∴2π是函数y=g(x)=|f(x)|的一个周期，C正确；
由f(x)> 3，得tan(12x+π3)> 3，
∴π3+kπ<12x+π3
故选：ACD．
利用正切函数的周期性、对称性、单调性等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正切函数的周期性、单调性与对称性的应用，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由AB⋅AC>0，可得|AB|⋅|AC|csA>0，
所以csA>0，所以角A为锐角，而角B，C不能确定，
所以△ABC不一定为锐角三角形，所以A错误；
对于B，因为P为△ABC的垂心，所以CP⋅AB=0，因为AB⋅AC=2，
所以AP⋅AB=(AC+CP)⋅AB=AC⋅AB+CP⋅AB=2+0=2，所以B正确；
对于C，如图建立平面直角坐标系，
则A(0, 3),B(−1,0),C(1,0)，设P(x,y)，
则PA=(−x, 3−y),PB=(−1−x,−y),PC=(1−x,−y)，
所以2PA⋅(PB+PC)=(−2x,2 3−2y)⋅(−2x,−2y)
=4x2−4 3y+4y2=4x2+4(y− 32)2−3，
所以当x=0且y= 32时，2PA⋅(PB+PC)取得最小值−3，所以C正确；
对于D，在△ABC中，因为3OA+4OB+5OC=CB，
所以3OA+4OB+5OC=OB−OC，即3OA+3OB=−6OC，
所以OA+OB=−2OC，即OA+OB=2CO，
取AB边上的中点D，连接OD，
则OA+OB=2OD，所以CO=OD，
所以C，O，D三点共线，且O为CD的中点，
所以S△AOC=S△AOD=S△BOC=S△BOD，
所以S△OAB：S△OAC：S△OBC=2：1：1，所以D正确．
故选：BCD．
对于A，由AB⋅AC>0可判断角A为锐角，不能判断角B，C是否为锐角；对于B，由题意可得CP⋅AB=0，再结合数量积的运算律和向量的加法运算化简变形即可；对于C，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出点P的坐标，化简计算2PA⋅(PB+PC)可得结果；对于D，由已知得OA+OB=2CO，从而得
S△AOC=S△AOD=S△BOC=S△BOD，进而可求得△OAB，△OAC，△OBC的面积比．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
12.【答案】− 55
【解析】解：因为θ∈(0,π2)，则sinθ>0，csθ>0，
又因为tanθ=sinθcsθ=12，则csθ=2sinθ，
且cs2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sinθ= 55或sinθ=− 55(舍去)，
所以sinθ−csθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=− 55．
故答案为：− 55．
根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
13.【答案】(12,32)
【解析】解：a=(−1,2)，b=(1,3)，
则a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|×b|b|=5 10×b 10=12b=(12,32)．
故答案为：(12,32)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】2 3
【解析】解：设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2，
则OM=3e1+e2，ON=e1+3e2，NM=OM−ON=2e1−2e2，e1⋅e2=csθ=12，
所以|NM|2=(2e1−2e2)2=4e12+4e22−8e1⋅e2=4，所以|NM|=2，
又因为|OM|2=(3e1+e2)2=9e12+e22+6e1⋅e2=13，所以|OM|= 13；|ON|2=(e1+3e2)2=e12+9e22+6e1⋅e2=13，所以|ON|= 13；
故S△OMN=12×2× ( 13)2−1=2 3．
故答案为：2 3．
设平面内一组不共线的基底，则根据题意可以将 OM=(3,1)，ON=(1,3)用e1，e2表示，即可求得三角形的三边长，进而可以求得三角形的面积．
本题考查平面向量基本定理，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由|a|=4，|b|=2，a与b的夹角是为2π3，
则a⋅b=4×2×cs2π3=−4，
所以|3a+b|= (3a+b)2
= 9|a|2+6a⋅b+|b|2
= 9×16+6×(−4)+4
=2 31；
(2)由(a+2b)⊥(ka−b)，
则(a+2b)⋅(ka−b)=0，
即ka2−2b2+(2k−1)a⋅b=0，
即有16k−2×4−4(2k−1)=0，
解得k=12．
即有当k为12时，(a+2b)⊥(ka−b).
【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，主要考查向量垂直的应用，属于基础题．
(1)运用向量的数量积的定义和向量的模的计算即可得到；
(2)运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程即可得到k．
16.【答案】解：(1)∵a//b，∴2sinθ=csθ−2sinθ，∴4sinθ=csθ，
∵csθ≠0，∴tanθ=14，
∴sinθ⋅csθ1+3cs2θ=sinθ⋅csθsin2θ+4cs2θ=tanθtan2θ+4=465
(2)∵|a|=|b|，∴sin2θ+(csθ−2sinθ)2=5，
∴1−4sinθcsθ+4sin2θ=5，
∴−2sin2θ+2(1−cs2θ)=4，
∴sin2θ+cs2θ=−1，
∴sin(2θ+π4)=− 22
∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，
∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，
∴θ=π2或θ=3π4．
【解析】(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；
(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=− 22，再结合三角函数的性质可得到结果．
本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)BC=AC−AB=b−a，
AM=AB+BM=AB+14BC
=a+14(b−a)=34a+14b，
CN=CA+AN=−AC+12AB=12a−b；
(2)∵N，P，C三点共线，又CP⊥AB，
∴CN⊥AB，
0=CN⋅AB=(12a−b)⋅a，即12|a|2=b⋅a，
∴12|a|2=|a||b|cs〈a,b〉=2|a|2cs〈a,b〉，
∴cs〈a,b〉=14，∴〈a,b〉的余弦值为14．
【解析】(1)根据平面向量的基底与三角形法则即可用a，b表示向量AM，CN；
(2)由CP⊥AB得CN⊥AB，代入向量数量积公式即可求得〈a,b〉的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx= 32sin2ωx−1+cs2ωx2．
=sin(2ωx−π6)−12，
∵T=2×π2=π，∴2ω=2ππ=2，即f(x)=sin(2x−π6)−12．
(2)∵f(x0)= 33−12，∴sin(2x0−π6)= 33．
∵x0∈[π4,7π12]，∴2x0−π6∈[π3,π]，
∴sin(2x0−π6)= 33< 32．
∴2x0−π6∈[2π3,π]，∴cs(2x0−π6)=− 63．
∴cs2x0=cs[(2x0−π6)+π6]=cs(2x0−π6)csπ6−sin(2x0−π6)sinπ6=−3 2+ 36．
【解析】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量数量积，考查了运算求解能力，属于基础题．
(1)由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f(x)=sin(2ωx−π6)−12，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式．
(2)由f(x0)= 33−12，可得sin(2x0−π6)= 33.结合x0∈[π4,7π12]，得cs(2x0−π6)=− 63.由cs2x0=cs[(2x0−π6)+π6]计算即可．
19.【答案】解：由图示得：A=32−122=12，
B=(32+12)÷2=1，
又T2=7π12−π12=π2，
∴T=π，∴ω=2πT=2，
∴f(x)=12sin(2x+φ)+1，又因为f(x)过点(π12,32)，∴32=12sin(2×π12+φ)+1，∴sin(π6+φ)=1，
∴π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=12sin(2x+π3)+1．
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，当x∈[−π3,π2]时，x+π6∈[−π6,2π3]，
sin(x+π6)∈[−12,1]．
∴g(x)=12sin(x+π6)+1∈[34,32]，∴函数g(x)的值域为[34,32]；
②当x∈[0,7π3]时，x+π6∈[π6,5π2]，令t=x+π6∈[π6,5π2]，∴h(t)=12sint+1，
则函数h(t)的图象如下图所示，
且h(π6)=12sinπ6+1=54，h(3π2)=12sin3π2+1=12，
h(5π2)=12sin5π2+1=32，
由图象得h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3(t1
所以x1+2x2+x3=10π3，所以tan(x1+2x2+x3)=tan10π3=tan(4π−2π3)= 3，
故tan(x1+2x2+x3)= 3．
【解析】本题考查利用图象求函数的解析式，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移与伸缩变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力．
(1)由图象得A，B，ω，再代入点(π12,32)，求解可得函数的解析式，
(2)①由已知可得g(x)=12sin(x+π6)+1，由x∈[−π3,π2]求得sin(x+π6)∈[−12,1]，继而求得g(x)的值域；
②令t=x+π6∈[π6,5π2]，h(t)=12sint+1，做出函数h(t)的图象，设h(t)−m=0有三个不同的实数根t1，t2，t3，(t1
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