2023-2024学年福建省莆田四中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田四中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(1,−1)，b=(−1,3)，则a⋅(2a+b)=( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
2.已知复数z=(1−i)+m(1+i)是纯虚数，则实数m=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
3.已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a⋅b=1，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
4.在△ABC中，若a= 2，∠A=π6，csC=−13，则c=( )
A. 33B. 23C. 8 39D. 83
5.在直角坐标系xOy中，已知a=(1,3)，b=(3,1)，若∀t∈R，|a−λb|≤|a−tb|恒成立，则λ=( )
A. 13B. 23C. 25D. 35
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=π3，b−c= 33a，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
8.图1是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图2是根据下左图作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB=8m，BO=16m，PO=12m，PB⋅PC=0.根据物理学知识得12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，则CD=( )
A. 28mB. 20mC. 31cmD. 22m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是( )
A. AC−AE=BFB. AE+AC=32AD
C. AF⋅AB=CB⋅CDD. AD在AB上的投影向量为AB
10.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( )
A. a=1，b= 2，B=45°B. a= 5，b= 15，A=30°
C. a=6，b=20，A=30°D. a=5，B=60°，C=45°
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+Sc⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1
D. 若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=− 66
12.已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，OC=xOA+12yOB，下列说法正确的有( )
A. 当C位于A点时，x+y的值最小B. 当C位于B点时，x+y的值最大
C. CA⋅CB的取值范围为[−12,0]D. OC⋅BA的取值范围[−32,32]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(m,−1)，若a⊥b，则m= ______．
14.在△ABC中，若BC=5，AC=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是______．
15.在△ABC中，AD=13AC,AE=14AB.若P为BD，CE的交点，满足AP=xAB+yAC，则x+y的值为______．
16.在△ABC中，BC= 3AC,∠BAC=π3，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD=1，DC= 3，则BD的长度的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，其中i为虚数单位，m∈R．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，求m的值．
18.(本小题12分)
设a,b是不共线的两个非零向量。
(1)若OA=2a−b,OB=3a+b,OC=a−3b，求证：A,B,C三点共线；
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；
19.(本小题12分)
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC=4，BC=2，AD=λAB(0A，即0°A，即30°