贵州省遵义市桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 设集合，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或2
【答案】D
【解析】
【分析】对分类讨论，结合交集的结果即可得解.
【详解】若，则或，
当时，与已知矛盾，当时，符合题意；
若，则或，
当时，符合题意，当时，与已知矛盾；
综上所述，0或2.
故选：D.
2. 3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得.
【详解】先排2名女生，有种排法，借助插空法，共有3个空位，故3名男生有种排法，
共有种排法.
故选：B.
3. 抛物线上的点到抛物线准线的距离为6，到轴的距离为3，那么抛物线的标准方程是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题得抛物线的准线到x轴的距离为6-3=3，所以，即得抛物线的方程.
【详解】由题得抛物线的准线到x轴的距离为6-3=3，
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面表示形式，判断与的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可.
【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：
1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，
2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，
所以.
故选：D.
5. 个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ ）．
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【详解】个节目全排列共有种可能，甲、乙、丙三个节目全排列共有种可能，由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定，所以不同的排法有种．
故选．
6. 的展开式中项的系数为
A -16B. 16C. 48D. -48
【答案】A
【解析】
【详解】∵展开式的通项公式为，∴的展开式中项的系数为，故选A.
7. 设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.
【详解】直线l的斜率为k，且，
∴，.
∴.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
8. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A. 504种B. 432种C. 384种D. 240种
【答案】A
【解析】
【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论
【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
故总共有种排法.
故选：A.
二、多选题
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量坐标运算法则求解即可．
【详解】因为向量，，
所以，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：AD
10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与同学不相邻，共有种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
【详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.
故选：ABD
11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆C的半径为16
B. 圆C截x轴所得的弦长为4
C. 圆C与圆E：相外切
D. 若圆C上有且仅有两点到直线距离为1，则实数m的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1
【详解】A:将一般式配方可得：，A错；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为B对；
C:外切，C对；
D: 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，解之: ,D错；
故选：BC
12. 已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 点到直线的距离是B. 点到平面的距离为
C. 点到直线的距离为D. 平面与平面间的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，所以．
对于A，设，则．
故到直线的距离，故A正确；
对于B，，因为平面，平面，所以，
又，,平面,
所以平面，平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B正确；
对于C，因为，所以，
则，所以点到的距离，
故C错误；
对于D，．
设平面的法向量为，所以
令，得，所以，
所以点到平面的距离，
因为平面，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故D正确．

故选： ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】由可得，可设，可得出关于、、的方程组，解出这几个未知数的值，进而可求得的值.
【详解】，则，设，
则，解得，因此，.
故答案为：.
14. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码______．
【答案】24
【解析】
【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.
【详解】依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，
所以共有不同的密码个数是.
故答案为：24
15. 求的常数项为____.
【答案】141
【解析】
【分析】以为整体求出展开式的通项，再利用二项式定理求出常数项.
【详解】依题意，的展开式的通项为，
当时，，
当时，展开式的通项，
于是，由，得，则，
此时常数项为，
所以的常数项是.
故答案为：141
16. 已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件与事件的概率，从而利用条件概率公式即可得解.
【详解】依题意，设事件为“所报两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出；
（2）根据分层抽样得到选取的6人中观看时长在和的人数，利用列举法求出相应的概率.
【小问1详解】
，
解得；
【小问2详解】
和的频率之比为，
故选取的6人中观看时长在的人数为，设为，
观看时长在的人数为，设为，
则抽取的2人有以下情况，，
，
共15种情况，
其中抽取的2人恰好观看时长在的有，
共6种情况，
故抽取的2人恰好观看时长在的概率为.
18. （1）求方程中x的值（其中）：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由排列组合数公式列方程求解即可；
（2）赋值法求得、，即可求部分系数和.
【详解】（1）因为且，所以，解得.
（2）令，则；令，得；
所以.
19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）方法一：利用余弦定理计算得到，再计算面积即可；方法二：由正弦定理求出，即可求出，从而求出，再由面积公式计算即可.
【小问1详解】
向量与平行，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，
又，所以；
【小问2详解】
方法一：因为，，，
由余弦定理可得，
可得，解得或（舍），
所以的面积为．
方法二：由正弦定理，得，所以.
又由，知，所以，
故，
所以的面积为.
20. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中，所以,
且平面，平面,所以平面.
【小问2详解】
因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知.
21. 某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
（1）若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
（2）这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【答案】（1）25 （2）72
【解析】
【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
【小问1详解】
分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，
②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，
所以共有选法种数为20+5=25；
【小问2详解】
分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案数为：．
22. 某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
【答案】（1）男生有6人，女生有3人.（2）（3）
【解析】
【分析】（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】解：（1）设男生有人，则，
即，解之得，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有种站队方法，
所以重新站队方法有
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：种站队方法.
【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.