黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：2024年4月7日 时长：120分钟 分值：150分
命题人：孙明岩 张思洋 校对人：杨晶玉
一、单项选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数乘法运算以及模的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，即得实数的取值范围.
【详解】由题意知表示椭圆，则，
解得.
故选：A.
3. 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据焦距可求，从而可求渐近线的方程.
【详解】因焦距为，故，故，故
故渐近线方程为，
故选：C.
4. 已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查双曲线的定义，涉及圆与圆位置关系，属于常考题型.
5. 点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知：为矩形，利用椭圆的定义结合勾股定理和面积关系运算求解.
【详解】根据椭圆的对称性可知：为平行四边形，且，
所以为矩形，

可知的面积即为的面积，
设，则，
可得，
由面积关系可得，即，
所以.
故选：A.
6. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设，中点，由抛物线的定义表示出，再由，即可得出答案.
【详解】设，中点，
则，
解得，所以.
故选：B．
7. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过作直线与及其渐近线在第一象限分别交于，两点，且为的中点．若等腰三角形的底边为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，根据双曲线的定义知，在直角三角形中应用勾股定理可得，的关系，即可求解.
【详解】
连接，由△是底边为的等腰三角形且为的中点，得，
由知，由双曲线的定义知，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以离心率.
故选：C.
8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知点、、、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，，则，故，A对；
对于B选项，，所以，，B对；
对于C选项，，所以，，C对；
对于D选项，，则，D错.
故选：ABC.
10. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是
B. 点F到C的一条渐近线的距离为2
C. 若直线与双曲线C有交点，则
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为
【答案】BD
【解析】
【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：由双曲线，可得，则，
对于A中，设点的坐标为， 其中，则，
所以，
根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确；
对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，
则焦点到的距离为，所以B正确；
对于C中，由由双曲线的近线方程为，
要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确；
对于D中，设点的坐标为，则，可得，
又由，则，
所以D正确.
故选：BD.
11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 直线是“最远距离直线”
C. 点的轨迹与圆没有交点
D. 平面上有一点，则的最小值为11
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：设出，结合题意计算即可得；对B、C：联立两方程，借助判断有无交点即可得；对D：借助题目定义，将转化为点到直线的距离，从而得到，计算出的最小值即可得.
【详解】对于A，设，则有，整理可得，
故点的轨迹方程是，故A正确；
对于B，联立直线与点的轨迹方程，有，可得，
，故直线与点的轨迹方程没有交点，
则直线不是“最远距离直线”，故B错误；
对于C，联立圆与点的轨迹方程，有，可得，
，
故点的轨迹与圆没有交点，故C正确；
对于D，过点作垂直直线于点，由题意可得，
故，
则当三点共线，即垂直直线时，
有，故的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题中D选项的判断需要注意结合题目所给定义，将转化为点到直线的距离，从而得到.
12. 已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为抛物线，则
B. 若为椭圆，则
C. 若为双曲线，则
D. 若为圆，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：

抛物线的焦点为，准线方程为，
设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得，
所以，，
由图可知，当、、三点共线时，取最小值，
且其最小值为点到直线的距离，即，A错；
对于B选项，如下图所示：

对于椭圆，，，则，
则点为椭圆的右焦点，取为该椭圆的左焦点，
由椭圆的定义可得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，取最小值，B对；
对于C选项，对于双曲线，，，则，
所以，点为双曲线的右焦点，
取为双曲线的右焦点，如下图所示：

当点在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当为线段与双曲线右支的交点时，等号成立；
当点在双曲线的左支时，由双曲线定义可得，
则，所以，，
当且仅当为线段与双曲线左支的交点时，等号成立.
综上所述，，C对；
对于D选项，记点，对于点，易知，，
，
如下图所示：

所以，，
当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，
即，D对.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解；
（3）在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在中，角的对边分别是，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为在中，，
所以，设，
所以，
故答案为：.
14. 抛物线的顶点到它准线的距离为_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由抛物线标准方程得准线方程、顶点即可得解.
【详解】抛物线即的准线方程为，顶点到它准线的距离为1.
故答案为：1.
15. 已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.
【详解】设坐标为，则，
作差可得，则，
根据题意可得，，则，解得.
当时，联立，可得，
其，满足题意；故.
故答案为：.
16. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果.
【详解】当时，设，
则有，解得，又，所以，
又，所以，两边同除，得到，
解得或（舍），
因为，有，
设，则，，，，
所以，
又，所以，
故答案为：；.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用，得到，设，，求出，化简并结合双曲线定义，即可求解.
四、解答题（本题共5小题，共58分）
17. 已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点.
（1）若为右焦点，求的周长；
（2）若直线的倾斜角为，求线段的长.
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.
（2）由题意结合左焦点的坐标以及直线的倾斜角为，可得直线的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.
【小问1详解】
由题意，由椭圆定义有，
所以的周长为.
【小问2详解】
设，
由题意直线的斜率为，，即，
所以直线的方程为，将它与椭圆方程联立得，
消去并化简整理得，
显然，由韦达定理得，
所以线段的长为.
18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
【小问2详解】
以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
19. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
（2）若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.
【答案】（1）甲2人，乙3人，丙3人
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据甲乙丙三个部分的人数之比，即可根据比例进行计算；
（2）根据超几何分布的概率求解，即可求得分布列，进而可求期望.
【小问1详解】
由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，
因此甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 .
【小问2详解】
的可能取值为0，1，2，3
，，，
，
的分布列为：
所以.
20. 已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线焦点坐标可得，再由，可解椭圆方程；
（2）由题意中角度分析可得，联立方程组，利用韦达定理可解.
【小问1详解】
由题意知，即，
．
从而,
故椭圆；
【小问2详解】
∵在中，,
且
,从而
由得,
设
，
则
，
解得：或（舍去），
所以直线l过定点．
21. 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由已知得，将代入方程可解得 ，故可得双曲线标准方程；
（2）设，则，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在讨论可得答案.
【小问1详解】
由已知得，故.
将代入方程，得，
由得，.
因此双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设，
则，则
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则,,
则
.
联立方程可得，
因为过点的直线与双曲线交于两点，
所以，即.
则.
故.
令，
整理得.
要使得对任意的上式恒成立，
则，解得,
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
X
0
1
2
3
P