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四川省绵阳南山中学实验学校2024届高三下学期4月月考理科数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2024届高三下学期4月月考理科数学试题（原卷版+解析版），文件包含四川省绵阳南山中学实验学校2024届高三下学期4月月考理科数学试题原卷版docx、四川省绵阳南山中学实验学校2024届高三下学期4月月考理科数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
命题人：唐建伟 王诗洁 审题人：朱礼臣 李如成
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的焦点和准线为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则的值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 32
5. 已知函数，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
8. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：）
A. 2452年B. 2750年C. 3150年D. 3856年
9. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知三棱锥四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ）
A. 8B. C. D.
11. 在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用卷和卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相邻考生答卷不相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到卷的概率（ ）
A. B. C. D.
12. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为________．
14. 若满足约束条件，则的最大值为_____________．
15 已知，则_____________．
16. 倾斜角为锐角直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列，满足，，.
（1）证明：为等差数列.
（2）设数列的前项和为，求.
18. 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
（1）若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．
19. 如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
（1）求三棱锥的体积的最大值；
（2）记平面与平面所成的锐二面角为，当点为中点时，求的值．
20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.
21. 已知函数，
（1）讨论时函数在上的单调性；
（2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围．
选作题：共10分，请考生在22、23题中任选一个作答，如果多做，按第一个给分．
选修4—4：极坐标与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求的面积．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
零件数（个）
18
20
22
加工时间（分）
27
33
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
6
产值y/百万辆
9
18
30
51
59
80
命题人：唐建伟 王诗洁 审题人：朱礼臣 李如成
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的焦点和准线为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则的值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 32
5. 已知函数，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
8. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：）
A. 2452年B. 2750年C. 3150年D. 3856年
9. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知三棱锥四个顶点在球O的球面上， ，，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ）
A. 8B. C. D.
11. 在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用卷和卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相邻考生答卷不相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到卷的概率（ ）
A. B. C. D.
12. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为________．
14. 若满足约束条件，则的最大值为_____________．
15 已知，则_____________．
16. 倾斜角为锐角直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列，满足，，.
（1）证明：为等差数列.
（2）设数列的前项和为，求.
18. 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
（1）若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．
19. 如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
（1）求三棱锥的体积的最大值；
（2）记平面与平面所成的锐二面角为，当点为中点时，求的值．
20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.
21. 已知函数，
（1）讨论时函数在上的单调性；
（2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围．
选作题：共10分，请考生在22、23题中任选一个作答，如果多做，按第一个给分．
选修4—4：极坐标与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求的面积．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
零件数（个）
18
20
22
加工时间（分）
27
33
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
6
产值y/百万辆
9
18
30
51
59
80
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