人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力4 力的合成和分解优秀第2课时学案设计

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一、合力的求解
如图所示，一个物体静止在斜面上，斜面与水平方向的夹角为37°，物体所受斜面的支持力和摩擦力分别为4 N、3 N，你能求出斜面对物体的作用力(支持力和摩擦力的合力)的大小吗？
答案 方法一 如图所示，先作出支持力和摩擦力的图示，根据平行四边形定则，作出力F的图示，由图可知，斜面对物体的支持力与摩擦力的合力大小为5 N。
方法二 先作出支持力和摩擦力的示意图，根据平行四边形定则作出合力，由于FN与Ff间的夹角为90°，根据勾股定理可得，
F＝eq \r(42＋32) N＝5 N。
合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路：
②如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
(2)计算法
两分力不共线时，可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况：
例1 有两个力，它们的合力为0。现把其中一个向东的6 N的力改为向南(大小不变)，它们合力的大小、方向如何？
答案 见解析
解析 两个力合力为0，则这两个力大小相等，方向相反，一个向东(6 N)，则另一个一定是向西(6 N)，当把向东的6 N的力改为向南时，而向西的力大小、方向均未变，这时两个力方向垂直，如图所示。根据平行四边形定则，作出力的示意图，合力为F，由直角三角形知识可得F＝eq \r(F12＋F22)＝6eq \r(2) N，由图可知tan α＝eq \f(F1,F2)＝1，所以α＝45°，即合力方向为西偏南45°。
例2 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图所示。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
答案 5.2×104 N，方向竖直向下
解析 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小：
方法一 作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
方法二 计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝eq \f(1,2)OC。对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝eq \f(1,2)OC，则有F＝2F1cs 30°＝2×3×104×eq \f(\r(3),2) N≈5.2×104 N。
二、合力与分力的关系
两个大小相等的共点力F1、F2，都为20 N，则当它们间的夹角为0°、60°、120°、180°时：
(1)请利用几何知识分别计算出合力F的大小，填入下表。
(2)当两分力大小一定时，随着夹角的增大，合力大小如何变化？
(3)通过以上计算可知，合力一定大于分力吗？
答案 (1)40 20eq \r(3) 20 0
(2)两分力大小一定时，随夹角增大，合力大小变小。
(3)不一定。
合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大。(0°≤θ≤180°)
(1)两分力同向(θ＝0°)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
如图所示，矢量合成遵从平行四边形定则，平行四边形的一半是三角形，求合力时能否只画三角形？
答案 能，只要把原来两个力的矢量首尾相连，然后从第一个力的箭尾向第二个力的箭头画一个矢量(如图)，这个矢量就表示原来两个力的合力。
(1)若分力F1和F2大小不变，θ越大，合力就越大。( × )
(2)合力F总比分力F1和F2中任一个力大。( × )
(3)合力可能小于它的任意一个分力。( √ )
(4)如果夹角θ不变，F1大小不变，只增大F2，合力一定变大。( × )
例3 两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于( )
A．9 N B．25 N
C．8 N D．21 N
答案 B
解析 F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，故选B。
例4 如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形。下列四个图中，这三个力的合力最大的是( )
答案 C
解析 由矢量合成的法则可知，A中F3、F2首尾相接，其合力F23与F1相同，故三个力的合力的大小为2F1；同理，B中F2、F3的合力F23与F1相反，故三个力的合力大小为0；C中F1、F3的合力F13与F2相同，故三个力的合力的大小为2F2；D中F1、F2的合力F12与F3相同，故三个力的合力的大小为2F3，因为F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，所以合力最大的是C选项。
例5 (2023·洛宁县第一高级中学月考)大小分别为10 N、6 N、4 N的三个力，它们合力的最大值和最小值分别为( )
A．23 N、0 B．23 N、3 N
C．20 N、0 D．20 N、3 N
答案 C
解析 它们合力的最大值为三个力大小相加，即最大值Fmax＝10 N＋6 N＋4 N＝20 N
较小的两个力的最大合力为10 N，与第三个力的大小相等，故三个力合力的最小值为0，C正确。
课时对点练
考点一 合力与分力的关系
1．(多选)(2022·东莞市高一期末)在力的合成中，下列关于两个分力与它们的合力关系的说法中，正确的是( )
A．合力可能小于某一个分力
B．合力大小一定等于两个分力大小之和
C．两个分力大小不变，夹角在0°～180°变化时，夹角越大合力越小
D．合力的方向一定在两分力夹角的角平分线上
答案 AC
解析 当两个分力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，则合力可能小于分力，故A正确，B错误；两个分力大小不变，夹角在0°～180°变化时，由公式F＝eq \r(F12＋F22＋2F1F2cs θ)可知夹角越大合力越小，故C正确；当两分力方向相反时，合力等于两个分力之差，与大的分力方向相同，合力的方向不在两分力夹角的角平分线上，故D错误。
2．(多选)两个共点力的大小分别为F1＝6 N，F2＝9 N，它们的合力大小可能等于( )
A．0 B．3 N
C．9 N D．16 N
答案 BC
考点二 合力的求解
3．两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10eq \r(2) N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．10 N B．10eq \r(2) N
C．15 N D．20 N
答案 A
解析 当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则可知：F1＝F2＝10 N。当这两个力的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则可知F合＝10 N，故选A。
4．如图所示，F1、F2、F3三个力恰好构成封闭的直角三角形，方向如图所示，则这三个力的合力大小为( )
A．0 B．2F1
C．2F2 D．2F3
答案 C
解析 由矢量合成的法则可知，F1与F3的合力为F2，则这三个力的合力大小为2F2，故选C。
5．(2022·濮阳市高一期末)如图A、B、C、D所示，等大的三个力F作用于同一点O，则哪个图中作用于O点的合力最大( )
答案 B
解析 A中，将相互垂直的F进行合成，则合力的大小为eq \r(2)F，再与第三个力F合成，即有合力的大小为(eq \r(2)－1)F。B中，将方向相反的两个力合成，则合力为0，再与第三个力F合成，则有合力的大小为F。C中，将任意两个力进行合成，可知这两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，这三个力的合力为零。D中，将左边两个力进行合成，则合力的大小为eq \r(3)F，再与右边的力合成，则有合力的大小为(eq \r(3)－1)F。可知，合力最小的是C选项，合力最大的是B选项，A、C、D错误，B正确。
6．两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F一定增大
答案 A
解析 根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；若F1、F2方向相反，F1、F2同时增加10 N，合力的大小不变，故B错误；若F1、F2方向相反，F1增加10 N，F2减少10 N，F一定变化，故C错误；若F1、F2方向相反，F1、F2中的一个增大，合力的大小不一定增大，故D错误。
7.如图所示，水平地面上固定着一根竖直立柱，某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端，且该端绳与水平方向夹角为30°，则柱顶所受压力大小为( )
A．200 N B．100eq \r(3) N
C．100 N D．50eq \r(3) N
答案 B
解析 对柱顶受力分析如图所示，定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1＝F2＝100 N，柱顶所受压力大小，F＝2F1cs 30°＝2×100×eq \f(\r(3),2) N＝100eq \r(3) N，故B选项正确。
8.(多选)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力大小F与θ角之间的关系图像(0°≤θ<360°)，下列说法中正确的是( )
A．合力大小的变化范围是0≤F≤10 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
答案 BC
解析 由题图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为2 N，则有|F1－F2|＝2 N，而当两分力夹角为90°时，两分力的合力为10 N，则有eq \r(F12＋F22)＝10 N，联立解得这两个分力大小分别为6 N、8 N，合力大小的变化范围为2 N≤F≤14 N，故B、C正确，A、D错误。
9．按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力。(已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)
(1)一个分力水平向右，大小等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向左下(如图所示)，求两个分力的大小。
答案 (1)300 N 方向与竖直方向夹角为53°斜向左下 (2)F1＝60eq \r(3) N，F2＝120eq \r(3) N
解析 (1)力的分解如图甲所示。
F2＝eq \r(F2＋F12)＝300 N
设F2与F的夹角为θ，则：
tan θ＝eq \f(F1,F)＝eq \f(4,3)，可得θ＝53°。
(2)力的分解如图乙所示。
F1＝Ftan 30°＝180×eq \f(\r(3),3) N＝60eq \r(3) N
F2＝eq \f(F,cs 30°)＝eq \f(180,\f(\r(3),2)) N＝120eq \r(3) N。
10．(2022·湖南卷)2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是( )
答案 A
解析 当风力大小恒定时，从飘带的下方开始分析，逐渐往上选择更长的飘带。设单位长度的飘带质量为m0，单位长度的飘带所受风力为F0，从底端取飘带上任意长度为x，G＝m0gx，F＝F0x，则重力与风力的合力与竖直方向的夹角为tan θ＝eq \f(F,G)＝eq \f(F0,m0g)，可知所选飘带与竖直方向夹角与所选飘带长度无关，合力方向恒定，飘带各处张力方向相同，则飘带为一条倾斜的直线，故选A。类型
作图
合力的计算
两分力相互垂直
大小：F＝eq \r(F12＋F22)
方向：tan θ＝eq \f(F1,F2)
两分力等大，夹角为θ
大小：F＝2F1cs eq \f(θ,2)
方向：F与F1夹角为eq \f(θ,2)(当θ＝120°时，F＝F1＝F2)
合力与其中一个分力垂直
大小：F＝eq \r(F22－F12)
方向：sin θ＝eq \f(F1,F2)
F1、F2的夹角
0°
60°
90°
120°
180°
合力F/N
20eq \r(2)