2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )
A. 4B. 5C. 9D. 20
2.若复数z满足(1−i)⋅z=2i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A. (−1,1)B. (−1,−1)C. (1,1)D. (1,−1)
3.下列各式化简结果正确的是( )
A. AB+AC=BCB. AM+MB+BO+OM=AM
C. AB+BC−AC=0D. AB−AD−DC=BC
4.已知函数f(x)=ax2−lnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=3x平行，则该切线的方程为( )
A. x−3y+5=0B. 3x−y−1=0C. 3x−y+1=0D. x−3y+1=0
5.若α∈(0,π2)，tan2α=csα2−sinα，则tanα=( )
A. 1515B. 55C. 53D. 153
6.如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数f(x)=x−4x−alnx单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−4]C. [−4,4]D. (−∞,4]
8.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如：φ(1)=1；φ(3)=2(与3互素有1、2)；φ(9)=6(与9互素有1、2、4、5、7、8).记Sn为数列{n⋅φ(3n)}的前n项和，则S10=( )
A. 192×310+12B. 212×310+12C. 194×311+34D. 214×311+14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于导数运算正确的有( )
A. (xsinx)′=sinx+xcsxB. (x3−2x+1)′=3x2−2xln2
C. (lnxx)′=1−lnxxD. (e−2x)′=−2e−2x
10.已知函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32，则( )
A. f(x)在区间[0,π2]上单调递增B. f(x)的值域是[−1,1]
C. f(x)的图象关于点(π6,0)对称D. f(x−π12)为偶函数
11.已知函数f(x)=(x+1)lnx，则( )
A. f(x)存在唯一的极值点B. f(x)存在唯一的零点
C. 直线2x−y−2=0与f(x)的图像相切D. 若f(ax)≥f(lnx)，则a≥1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4，则a+b= ______．
13.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有______种.
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的点，若∠F1PF2=60°，|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=12n2+72n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tk>425(k∈N*)，求k的最小值．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=2 2，且tanB+tanC= 2sinAcsC．
(1)求B和b的值；
(2)求AC边上高的最大值．
17.(本小题15分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M为CC1的中点，∠A1MB=120°．
(1)求CC1的长；
(2)求二面角M−AB−C的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2−alnx．
(1)若a=2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)在(1,e)上的单调性．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线y=k(x−1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若MB=AN，求k的值；
(3)若点Q的坐标为(74,0)，求证：QA⋅AN为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据分类加法计数原理可知，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有4+5=9种选派方法．
故选：C．
根据分类加法计数原理求解即可．
本题主要考查了计数原理的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵(1−i)⋅z=2i，∴(1+i)(1−i)z=2i(1+i)，
∴2z=2(i−1)，
∴z=−1+i，
∴在复平面内，z对应的点的坐标是(−1,1)．
故选：A．
利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：AB+AC≠BC，A错误；
AM+MB+BO+OM=AB+BO+OM
=AO+OM=AM，B正确；
AB+BC−AC=AC−AC=0，C错误；
AB−AD−DC=DB−DC=CB，D错误．
故选：B．
根据向量的加减法运算法则求解．
本题主要考查向量的加减法运算法则，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由f(x)=ax2−lnx，得f′(x)=2ax−1x，
∴f′(1)=2a−1，
由2a−1=3，得a=2．
∴f(x)=2x2−lnx，可得f(1)=2，
∴所求切线的方程为y=3(x−1)+2，即3x−y−1=0．
故选：B．
求出原函数的导函数，利用导函数值为3求解a值，进一步求出f(1)，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为α∈(0,π2)，tan2α=csα2−sinα=sin2αcs2α=2sinαcsα1−2sin2α，
因为csα≠0，
所以4sinα−2sin2α=1−2sin2α，
所以sinα=14，csα= 154，tanα= 1515．
故选：A．
由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简可求sinα，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，D1，
对于A选项，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，M(1,2,2)，N(2,1,0)，
所以直线l的方向向量a=(2,2,−2)，
MN=(1,−1,−2)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，A选项错误；
对于选项B，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(0,1,2)，N(2,0,1)，
则MN=(2,−1,−1)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，B选项错误；
对于C选项，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(0,2,1)，N(1,0,0)，
则MN=(1,−2,−1)，显然MN⋅a=0，MN⊥l，C选项正确；
对于D选项，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(2,0,1)，N(1,2,0)，
则MN=(−1,2,−1)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，D选项错误．
故选：C．
根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得．
本题考查线线垂直的判定，坐标法的应用，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意f′(x)=1+4x2−ax=x2−ax+4x2≥0，即x2−ax+4≥0对任意x>0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，⋯，3n−1，共有2×3n−1，所以φ(3n)=2×3n−1，
则n⋅φ(3n)=2n×3n−1，于是Sn=2×30+4×31+6×32+⋯+2n×3n−1①，
3Sn=2×31+4×32+6×33+⋯+2n×3n②，
由①−②得−2Sn=2×30+2×31+2×32+⋯+2×3n−1−2n×3n=2⋅1−3n1−3−2n×3n，
则Sn=2n−12⋅3n+12，
于是S10=192×310+12．
故选：A．
根据欧拉函数定义得出φ(3n)，然后由错位相减法求得和Sn，从而可得S10．
本题考查了欧拉函数定义和错位相减求和，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由题意(xsinx)′=sinx+xcsx，(x3−2x+1)′=3x2−2xln2，
(lnxx)′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，(e−2x)′=−2e−2x．
故选：ABD．
由导数四则运算法则以及复合函数的导数即可验算．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由已知，f(x)=sinxcsx− 32(2cs2x−1)=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
对A，当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，
则f(x)不单调，故A选项不正确；
对B，因为f(x)max=1，f(x)min=−1，则f(x)的值域是[−1,1]，故B选项正确；
对C，因为f(π6)=0，则f(x)的图象关于点(π6,0)对称，故C选项正确；
对D，f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cs2x为偶函数，故D选项正确．
故选：BCD．
对于A选项，根据三角函数相关公式对f(x)化简，根据x的区间求出2x−π3的区间，据此即可判断单调性，对于B选项，根据f(x)表达式即可判断最大值和最小值，据此即可求出值域，对于C选项，根据f(π6)=0，据此即可判断C选项，对于D选项，根据偶函数定义判断即可．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，f(x)=(x+1)lnx，f′(x)=lnx+1x+1，
令g(x)=lnx+1x+1，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，
当x∈(0,1)时，g′(x)0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=2>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)没有极值点，故A错误；
对于B，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(1)=0，
所以f(x)存在唯一零点1，故B正确；
对于C，令f′(x)=lnx+1x+1=2，则x=1，即切点为(1,0)，
所以切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0，故C正确；
对于D，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(ax)≥f(lnx)，
所以lnx>0，ax≥lnx，可得x>1，a≥lnxx，
令h(x)=lnxx(x>1)，则h′(x)=1−lnxx2，
当x∈(1,e)时，h′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，h′(x)0可判断A；结合f(x)在(0,+∞)上单调性及f(1)=0可判断B；令f′(x)=2求出切点坐标可得切线方程可判断C；根据f(x)在(0,+∞)上单调递增得a≥lnxx(x>1)，令h(x)=lnxx(x>1)，求出h(x)max可判断D．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值等知识与方法，属于中档题．
12.【答案】3
【解析】解：由题意可知f′(x)=3x2+2ax，
因为函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4，
所以f(−2)=4a+b−8=4f′(−2)=12−4a=0，
解之得a=3b=0，
检验：此时f′(x)=3x(x+2)，
令f′(x)>0⇒x>0或x425，得k4k+16>425，解得k>649，
又k∈N*，所以k的最小值为8．
【解析】(1)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求解即可，注意检验n=1的情形；
(2)采用裂项相消法求和，再解不等式即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求通项公式，裂项相消法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵tanB+tanC= 2sinAcsC，∴sinBcsB+sinCcsC= 2sinAcsC，
即sinBcsC+csBsinC= 2sinAcsB，
∴sin(B+C)= 2sinAcsB，
∴sinA= 2sinAcsB，∵sinA≠0，
∴csB= 22，0