2022-2023学年四川省南充九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省南充九中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 57B. 12C. 6.4D. 21
2.以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成直角三角形的木架( )
A. 3cm，4cm，5cmB. 7cm，12cm，15cm
C. 7cm，12cm，13cmD. 8cm，15cm，16cm
3.如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是( )
A. 1B. 2C. 12D. 4
4.若1 2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥12B. x≥−12C. x>12D. x≠12
5.关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形
C. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形
6.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 7
B. 9
C. 10
D. 11
8. 24n是整数，则正整数n的最小值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.如图，点O是矩形ABCD对角线的交点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为( )
A. 2 3
B. 3 32
C. 3
D. 6
10.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=( )
A. 2
B. 2 2
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为 2，则输出的结果应为______．
12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于 ．
13.已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED= ______度．
14.若015.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 ．
16.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°.给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=14BD
其中正确结论的为 (请将所有正确的序号都填上)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1)2 12+3 113− 513−23 48；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−( 3−1)2．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
19.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：AE=CF；
(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
21.(本小题8分)
小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°.请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．(参考数据 21≈4.6)
22.(本小题8分)
如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．(不要求证明)
23.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG//BD，交CB的延长线于点G．
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
24.(本小题10分)
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN/​/BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
25.(本小题12分)
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)证明：PC=PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 57=17 35，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 12=2 3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 6.4=45 10，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 21是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)的二次根式叫最简二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，此选项正确，符合题意；
B、72+122≠152，故不是直角三角形，此选项错误，不符合题意；
C、72+122≠132，故不是直角三角形，此选项错误，不符合题意；
D、82+152≠162，故不是直角三角形，此选项错误，不符合题意；
故选：A．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，
∵点E是BC边的中点，
即BE=CE，
∴OE=12AB，
∵OE=1，
∴AB=2．
故选：B．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得，2x−1>0，
解得x>12．
故选：C．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5.【答案】B
【解析】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项B正确；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项C错误；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：B．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：作BF⊥DC于F，如图，
∵∠CDA=90°，BE⊥AD，BF⊥DF，
∴四边形BEDF为矩形，
∴∠EBF=90°，即∠EBC+∠CBF=90°，
∵∠ABC=90°，即∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBF中
∠AEB=∠CFB∠ABE=∠CBFAB=CB，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，S△ABE=S△CBF，
∴四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=四边形ABCD的面积，
∴BE= 16=4．
故选C．
作BF⊥DC于F，如图，易得四边形BEDF为矩形，再证明△ABE≌△CBF得到BE=BF，S△ABE=S△CBF，则可判断四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=四边形ABCD的面积，然后根据正方形的面积公式计算BE的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=12BC=EF，EH=FG=12AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．
【解答】
解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC= BD2+CD2=5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG=12BC=EF，EH=FG=12AD，
∵AD=6，
∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：∵ 24n= 4×6n=2 6n，
∴当n=6时， 6n=6，
∴原式=2 6n=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
本题可将24拆成4×6，先把 24n化简为2 6n，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．
本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
9.【答案】A
【解析】解：∵△CBE沿CE折叠落到△COE，
∴BC=CO，
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴AO=CO，
∴AC=2BC=2×3=6，
∴AB= AC2−BC2= 62−32=3 3，
∵∠COE=∠B=90°，
∴EO垂直平分AC，
∴AE=EC，
设CE=x，则BE=AB−AE=3 3−x，
∵CE2=BE2+BC2，
∴x2=(3 3−x)2+32，
∴x=2 3，
∴CE=2 3．
故选：A．
由翻折变换的性质得到BC=CO，由矩形的性质得到BC=12AC，得到AC=6，由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到AE=EC，设CE=x，由勾股定理求，出x即可得到CE的长．
本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理，关键是掌握矩形的性质，翻折变换的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°−90°−45°=45°，
∴∠DTG=180°−∠GDT−∠CGE=180°−45°−45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8−4=4，
∴GT= 22×4=2 2．
故选：B．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 22倍求解即可．
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
11.【答案】−2 33
【解析】【分析】
此题考查了二次根式的混合运算，弄清数值转换机中的运算是解本题的关键．把a的值代入数值转换机中计算即可确定出结果．
【解答】
解：把a= 2代入数值转换机中得：[( 2)2−4]÷ 3=−2 33．
故答案为：−2 33．
12.【答案】2π
【解析】【分析】
此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
【解答】
解：S1=12π(AC2)2=18πAC2，S2=18πBC2，
所以S1+S2=18π(AC2+BC2)=18πAB2=2π．
故答案为：2π．
13.【答案】22.5
【解析】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，AC=BD，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
根据三角形的外角性质，∠ABD=∠BDE+∠BED，
∴∠BED=12∠ABD=12×45°=22.5°．
故答案为：22.5．
连接BD，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=45°，再根据正方形的对角线相等可得AC=BD，然后求出BD=BE，再根据等边对等角可得∠BDE=∠BED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，正方形的对角线相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：∵a+1a=6，
∴( a−1 a)2=a−2+1a=6−2=4，
∵0∴0< a<1，1 a>1，
∴ a−1 a=− 4=−2．
故答案为：−2．
根据完全平方公式把 a−1 a两边平方并代入数据求出值，再根据平方根的定义求解．
本题考查了完全平方公式的利用，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键，需要注意判断 a与1 a的大小，也是本题容易出错的地方．
15.【答案】1
【解析】【分析】
由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的124．
本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．
【解答】
解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的124，
∴则△A5B5C5的周长为(7+4+5)÷16=1．
故答案为：1
16.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．
根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
【解答】
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF//BC，
∵F是AB的中点，
∴HF=12BC，
∵BC=12AB，AB=BD，
∴HF=14BD，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA(AAS)，
∴AE=DF，
∵FE=AB=AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形，故②说法不正确；
∴AG=12AF，
∴AG=14AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说法正确，
故答案为：①③④．
17.【答案】解：(1)原式=4 3+2 3−4 33−8 33
=2 3；
(2)原式=49−48−(3−2 3+1)
=1−4+2 3
=2 3−3．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36．
故四边形ABCD的面积是36．
【解析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2，
∴∠5=∠6，
∵在△ADE与△CBF中，
∠3=∠4AD=BC∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF；
(2)证明：∵∠1=∠2，
∴DE/​/BF．
又∵由(1)知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
(1)通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
(2)根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
20.【答案】解：(1)BD=CD．
理由如下：依题意得AF/​/BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF/​/BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
21.【答案】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°−∠CBD=30°，
∴BD=12BC=12×20=10(米)，
∴CD= 202−102=10 3(米)，
∴AD=AB+BD=80+10=90(米)，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= 902+(10 3)2=20 21≈92(米)，
答：A、C两点之间的距离约为92米．
【解析】首先过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，然后可得∠BCD=30°，再根据直角三角形的性质可得BD=10米，然后利用勾股定理计算出CD长，再次利用勾股定理计算出AC长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
22.【答案】解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF/​/AC，且EF=AC2，
同理：HG/​/AC，且HG=AC2，
∴EF/​/HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)当BD=AC且BD⊥AC时，四边形EFGH是正方形，
同(1)得到四边形EFGH为平行四边形，且EH=GH=12AC=12BD，∠EHG=90°，
∴平行四边形EFGH为正方形．
【解析】(1)四边形EFGH为平行四边形，利用中位线的性质验证即可；
(2)根据原四边形对角线相等且垂直，得到中点四边形为正方形即可．
此题考查了中点四边形，以及正方形的判定，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB/​/CD且AB=CD，AD//BC且AD=BC
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD，
∴BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，
∴AE=BE=12AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四边形DEBF是菱形．
(2)解：四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD/​/BC且AG/​/DB
∴四边形AGBD是平行四边形
由(1)的证明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四边形AGBD是矩形．
【解析】(1)利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；
(2)利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是弄清菱形及矩形的判定方法．
24.【答案】：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN/​/BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
(2)解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF= 82+62=10，
∴OC=12EF=5；
(3)答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．
25.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
【解析】(1)欲证明PC=PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
(2)利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
(3)首先证明△ABP≌△CBP(SAS)推出PA=PC，∠BAP=∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC=CE，即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．