2022-2023学年福建省漳州市漳浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年福建省漳州市漳浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若aA. a−5−5bC. ac2.下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为( )
A. 17B. 22C. 13D. 17或22
4.交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志．则通过该桥洞的车高x(m)的范围在数轴上可表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，∠BAC=100°，若DF和EG分别垂直平分AB和AC，则∠DAE的度数是( )
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
6.下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是( )
A. 两条直角边分别相等
B. 斜边和一条直角边分别相等
C. 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等
D. 两个锐角分别相等
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15B. 30C. 45D. 60
8.数轴上A、B、C三点依次从左向右排列，表示的数分别为−2，1−2x，x+3，则x可能是( )
A. 0B. −1C. −2D. 3
9.在平面直角坐标系中，线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2,1)的对应点A′(−2,−3)，则点B′(−6,−1)的对应点B的坐标为( )
A. (−10,−5)B. (−2,−1)C. (−2,3)D. (−6,3)
10.一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为( )
A. k>−13B. −1313D. k<−13或k>0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.x与3的和是负数，用不等式表示为______．
12.某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为80m，则荷塘的周长为______m.
13.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b.”第一步应假设______．
14.在平面直角坐标系中，点A(a,−1)与点B(2,b)关于原点成中心对称，则a+b= ______．
15.对于三个数a、b、c，用M{a,b,c}表示这三个数的中位数，用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.例如：M{−2,−1,0}=−1，max{−2,−1,0}=0，max{−2,−1,a}=a(a≥−1)−1(a<−1).若max{3,5−3x,2x−1}=M{5,1,3}，则x的取值范围为______．
16.如图，等腰△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若∠CFE=60°，AE=2，则EF的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式，并把解集在数轴上表示出来：2x−13−5x+12≥1．
18.(本小题8分)
解不等式组：2x−7<3(x−1)−43x+3≥1+23x．
19.(本小题8分)
如图，BD平分∠ABC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//BC.求证：△ADE是等腰三角形．
20.(本小题8分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小．
21.(本小题8分)
求证：等腰三角形两底角相等．
22.(本小题10分)
第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会吉祥物“江南忆”组合(琮琮、莲莲、宸宸三个机器人)正在火热销售中.某单位准备购进“江南忆”组合商品琮琮机器人和宸宸机器人共20个.已知琮琮机器人每个180元，宸宸机器人每个70元．
(1)若准备用不超过3000元的资金购进琮琮机器人和宸宸机器人，最多可以购进琮琮机器人多少个？
(2)若购进宸宸机器人的数量不超过琮琮机器人数量的3倍，求此时所用的最少资金．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕点C旋转一定的角度得到Rt△DEC，点D恰好落在边AB上．
(1)求证：CD平分∠ADE；
(2)连接AE，若DE=6，AD=3，求AE的长．
24.(本小题12分)
已知一次函数y1=(k−1)x+2k−1．
(1)若点(2,−1)在y1的图象上，求k的值；
(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y1的函数表达式；
(3)对于一次函数y2=(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y1>y2都成立，求k、a满足的数量关系及k的取值范围．
25.(本小题14分)
如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= 3，BD平分∠ABC，BE⊥AB于点B.动点P从点C出发沿折线CD−DB以每秒3个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发沿折线DB−BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时P、Q同时停止运动．

(1)求证：CD=12AD；
(2)若点P在CD上，点Q在DB上，且△DPQ是以DQ为斜边为直角三角形，求t的值；
(3)如图2，点P在BD上，点Q在BE上运动，PQ、BC交于点F，若a+7=(11+3 3)t，且△BPF为等腰三角形，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、∵aB、∵a−5b，故B不符合题意；
C、∵a0，∴acD、∵a故选：C．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；
B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；
D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误．
故选：B．
根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．
本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．
3.【答案】B
【解析】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；
∵4+4<9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22．
故选：B．
本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可得：
通过该桥洞的车高x(m)的取值范围是：0在数轴上表示如图：
故选：D．
此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据图表理解题意是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=80°，
∵DF和EG分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=80°，
∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=20°，
故选：A．
先根据三角形的内角和定理求得∠B+∠C=80°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠BAD+∠CAE=80°，进而可求解．
本题考查三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质得到∠BAD+∠CAE=80°是解答的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、两条直角边分别相等，满足“SAS”，能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等，满足“HL”定理，能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；
C、如图，Rt△ACB和Rt△DFE中，G、H分别为BC、EF的中点，
由AC=DF，AG=DH得Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，则CG=FH，
∴BC=EF，又∠C=∠F=90°，AC=DF，
∴Rt△ACB≌Rt△DFE(SAS)，
故此选项条件能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；
D、两个锐角分别相等，不能保证两个直角三角形一定全等，符合题意，
故选：D．
根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
本题考查全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定方法是解答的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
所以∠DAC=∠DAE，
又∵∠C=90°，
∴∠C=∠AED，
在△ADC和△ADE中，
∠ACD=∠AED∠DAC=∠DAEAD=AD
∴△ADC≌△ADE(AAS)，
∴CD=DE=4，
∴△ABD的面积为：12AB⋅DE=12×15×4=30．
故选：B．
【分析】
判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵数轴上表示的数从左到右依次增大，
∴−2<1−2x解得：−23故选：A．
根据“数轴上表示的数从左到右依次增大”列不等式组求解．
本题考查了数轴，解不等式组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵平移后，点A(2,1)的对应点A′(−2,−3)，
∴平移方式是将线段AB先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段A′B′，
∴点B′(−6,−1)的对应点B的坐标为(−2,3)，
故选：C．
根据点A和对应点A′的坐标得到平移方式，进而可得B′的对应点坐标．
本题考查坐标与图形变换−平移，根据已知对应点的坐标得到平移方式是解答的关键，注意是已知点B′的坐标求点B的坐标，不要弄错平移方向．
10.【答案】B
【解析】解：令y=0，由kx+3k+1=0得x=−3−1k，
∵一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，
∴−3−1k>0，
当k>0时，k<−13，不符合题意，舍去；
当k<0时，k>−13，
∴−13故选：B．
先求得一次函数图象与x轴的交点横坐标，利用横坐标大于0得到不等式求解即可．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、不等式的性质，正确求得图象与x轴的交点横坐标，并分类讨论求解是解答的关键．
11.【答案】x+3<0
【解析】解：根据题意，得x+3<0．
故答案是：x+3<0．
理解：x与3的和，即x+3；负数，即小于0．
考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准关键字，把文字语言转换为数学语言．
12.【答案】160
【解析】解：将水平方向的小桥平移到长边上，将竖直方向的小桥平移到宽边上，
则长方形的长+宽=80m，
因此长方形的周长=80×2=160(m)，
即荷塘的周长为160m．
故答案为：160．
将小桥平移到长方形的边上，可知长方形的长+宽=80m，由此可计算出长方形的周长．
本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
13.【答案】a≤b
【解析】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b.”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14.【答案】−1
【解析】解：∵点A(a,−1)与点B(2,b)关于原点成中心对称，
∴a=−2，b=1，
∴a+b=−2+1=−1．
故答案为：−1．
关于原点成中心对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案．
本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟知关于原点成中心对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
15.【答案】23≤x≤2
【解析】解：由题意，M{5,1,3}=3，
∴max{3,5−3x,2x−1}=3，
∴5−3x≤32x−1≤3，即x≥23x≤2，
∴23≤x≤2，
故答案为：23≤x≤2．
先根据中位数的求解方法求得M{5,1,3}=3，再根据题中定义列不等式组求解即可．
本题考查中位数、解一元一次不等式组，理解题中定义，正确得出不等式组是解答的关键．
16.【答案】2 13
【解析】解：如图，过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N，
∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即AF平分∠BAC，
∴FM=FN，且∠FMA=∠FNA=90°．
又∵四边形AMFN中∠BAC=120°，
∴∠MFN=360°−∠BAC−∠FMA−∠FNA=60°．
又∵∠CFE=60°，
∴∠MFN=∠CFE，
∴∠MFN−∠EFN=∠CFE−∠EFN，
即∠MFE=∠NFC．
又∵∠FME=∠FNC=90°，FM=FN，
∴△FME≌△FNC(ASA)，
∴FE=FC，
∴△EFC是等边三角形，
∴EF=EC．
作EH⊥BC于H，
则∠EHB=∠EHC=90°，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°．
∵AB=6，AE=2，
∴BE=AB−AE=4，
∴BH= BE2−EH2= 42−22=2 3．
∵Rt△ABD中AD=12AB=3，
∴BD= AB2−AD2= 62−32=3 3，
∴BC=2BD=6 3，
∴HC=BC−BH=6 3−2 3=4 3，
∴EC= EH2+HC2= 22+(4 3)2=2 13，
∴EF=2 13．
故答案为：2 13．
过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N，根据角平分线的性质可得FM=FN，∠FMA=∠FNA=90°.根据“四边形内角和等于360°”可求得∠MFN=60°，则∠MFN=∠CFE，由此可得∠MFE=∠NFC，再根据ASA证明△FME≌△FNC，则可得FE=FC，再求得∠B=30°，在Rt△BEH中，求出EH、BH的长．最后在Rt△EHC中根据勾股定理即可求出EC的长，也就可知EF的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出△EFC是等边三角形是解题的关键．
17.【答案】解：去分母，得2(2x−1)−3(5x+1)≥6，
去括号，得4x−2−15x−3≥6，
移项、合并同类项，得−11x≥11，
化系数为1，得x≤−1，
把解集在数轴上表示如图：

【解析】先根据解一元一次不等式的解法步骤求得解集，再将解集表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键，注意去分母时要添括号和不要漏乘．
18.【答案】解：2x−7<3(x−1)①−43x+3≥1+23x②，
解不等式①，得x>−4，
解不等式②，得x≤1，
∴不等式组的解集为−4【解析】先求出每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答的关键熟知不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”．
19.【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∵AD⊥BD，
∴∠ABD+∠A=∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠A=∠ADE．
∴△ADE是等腰三角形．
【解析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠ABD=∠EDB，再利用等角的余角相等得到∠A=∠ADE，然后根据等腰三角形的判定定理证得结论．
本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、等角的余角相等，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作；

(2)如图，△A2B2C2即为所求作；
(3)如图，点P即为所求作．
【解析】(1)利用中心对称性质，先找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
(2)利用平移性质，先找到A1、B1、C1平移后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
(3)利用轴对称求最短路线方法，作点C2关于x轴对称点C′，连接C′A1交x轴于点P，此时PA1+PC2=PA1+PC′=C′A最小，则点P即为所求作．
本题主要考查了旋转变换以及平移变换、利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
因为AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB=ACAD=AD
所以Rt△ABD≌Rt△ACD．
所以∠B=∠C．
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形全等的判定求得Rt△ABD≌Rt△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．
本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设购进琮琮机器人x个，则购进宸宸机器人(20−x)个，
根据题意，得180x+70(20−x)≤3000，
解得x≤16011=14611，
∵x为整数，
∴x最大为14，
答：最多购进琮琮机器人14个；
(2)设购进琮琮机器人a个，则购进宸宸机器人(20−a)个，
根据题意，得20−a≤3a，则a≥5，
设所用资金为W，则W=180a+70(20−a)=110a+1400，
∵110>0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小，最小值为1950，
答：此时所用的最少资金为1950元．
【解析】(1)设购进琮琮机器人x个，则购进宸宸机器人(20−x)个，根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可；
(2)设购进琮琮机器人a个，则购进宸宸机器人(20−a)个，根据题意列出一元一次不等式求得a的取值范围，设所用资金为W，进而得到W关于a的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出不等式和一次函数表达式是解答的关键．
23.【答案】(1)证明：∵Rt△ABC绕点C旋转一定的角度得到Rt△DEC，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC，
∴∠CDE=∠CAD，CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠CDE=∠CDA
∴CD平分∠ADE．
(2)解：如图，连接EB，

∵Rt△ABC≌Rt△DEC，DE=6
∴AB=DE=6．
又∵AD=3，
∴BD=AB−AD=3，
∴CD=12AB=3．
又∵CD=CA，
∴CA=3，
∴△ACD是等边三角形，
∴∖angCDA=60°，∠CAB=60°．
又∵∠CDE=∠CDA，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=180°−∠CDE−∠CDA=60°，
∴∠BDE=∠CAB．
在△DEB和△ABC中，
BD=CA=3，∠BDE=∠CAB，DE=AB，
∴△DEB≌△ABC(SAS)，
∴∠EBD=∠BCA=90°，
∴EB= ED2−BD2= 62−32=3 3，
∴AE= BE2+AB2= (3 3)2+62=3 7．
∴AE的长为3 7．
【解析】(1)根据旋转的性质可得∠CDE=∠CAB，CD=CA，再由“等边对等角”可得∠CDA=∠CAD，因此可得∠CDE=∠CDA，即可得出CD平分∠ADE．
(2)连接EB，根据全等三角形的性质可得AB=DE=6，由此可得BD=AD=3.再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DC=3，又由CA=CD=3即可证△ACD是等边三角形，可得∠CAB=60°，再证∠BDE=60°，由此可得∠BDE=CAB，根据SAS证明△DEB≌△ABC，则可知∠EBD=90°，在Rt△EBD中，根据勾股定理求出EB的长，再在Rt△ABE中根据勾股定理即可求出AE的长．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，综合性较强．正确的作出辅助线，且证明出∠EBD=90°是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵点(2,−1)在y1的图象上，
∴2(k−1)+2k−1=−1，解得k=12；
(2)当k−1>0即k>1时，函数y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最大值为3，由3(k−1)+2k−1=3得k=75，
∴y1=25x+95；
当k−1<0即k<1时，函数y随x的增大而减小，
∴当x=−5时，y有最大值为3，由−5(k−1)+2k−1=3得k=13，
∴y1=−23x−13；
(3)整理y2得y2=(a+3)x−a−7，
∵对一切实数x，y1>y2都成立，
∴y1//y2，且直线y1在直线y2的上方，
∴k−1=a+3，且2k−1>−a−7，
∴k=a+4，且2k−1>−k+4−7，
解得k>−23，又k≠1，
∴k的取值范围为k>−23且k≠1．
【解析】(1)直接将点代入函数表达式中求解即可；
(2)根据一次函数的增减性，分k−1>0和k−1<0两种情况求解即可；
(3)整理y2=(a+3)x−a−7，将对一切实数x，y1>y2都成立转化为y1//y2，且直线y1在直线y2的上方，可得到k−1=a+3，且2k−1>−a−7，进而可求解．
本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的性质，(2)注意分类讨论思想的运用，(3)得到y1//y2，且直线y1在直线y2的上方是解答的关键．
25.【答案】(1)证明：如图1，过点D作DH⊥AB于点H，

∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴DH=DC，
在Rt△AHD中，∠A=30°，
∴DH=12AD，
∴CD=12AD；
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= 3，
∴AB=2BC=2 3，
∴AC= AB2−BC2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴AD+CD=2CD+CD=3CD=3，
∴CD=1，
∴BD= CD2+BC2= 12+( 3)2=2．
∵△DPQ是以DQ为斜边为直角三角形，
∴∠QPD=90°=∠C，
∴QP//BC，
∴∠PQD=∠CBD=12∠CBA=12(90°−∠A)=30°，
∴PD=12DQ，
点P在CD上，点Q在DB上时：
PD=CD−CP=1−3t，DQ=4t，
∴1−3t=12×4t，
解得t=15；
(3)解：点P在BD上，点Q在BE上运动时：
PB=CD+DB−3t=3−3t，BQ=4t−2，
由(2)知∠CBA=60°，∠CBD=30°，
∵BE⊥AB，
∴∠CBE=90°−∠CBA=30°，
∴∠QBP=∠EBC+∠CBD=30°+30°=60°．
△BPF为等腰三角形时，分三种情况：
①当FP=FB时，如图2：

∵FP=FB，
∴∠FPB=∠FBP=30°，
∴∠PQB=180°−∠FPB−∠QBP=180°−30°−60°=90°．
∴△BQP是含30度角的直角三角形，
∴BQ=12PB，
∴4t−2=12(3−3t)，
解得t=711，
∵a+7=(11+3 3)t，
∴a=(11+3 3)×711−7=2111 3；
②当FB=PB时，如图3，作FG⊥BQ于点G，

∵FB=PB，∠CBD=30°，
∴∠BPF=∠BFP=12(180°−∠CBD)=12×(180°−30°)=75°，
∵∠BFP=∠FQG+QBF，
∴∠FQG=∠BFP−QBF=75°−30°=45°，
又∵FG⊥BQ，
∴△FQG是等腰直角三角形，
∴FG=QG，
∵Rt△FGB中，∠GBF=30°，
∴FG=12BF=12BP=12(3−3t)，
∴QG=FG=12(3−3t)，GB= 3FG= 32(3−3t)，
∵QG+GB=QB，
∴12(3−3t)+ 32(3−3t)=4t−2，
解得t=7+3 311+3 3，
∵a+7=(11+3 3)t，
∴a=(11+3 3)×7+3 311+3 3−7=3 3；
③当FP=PB时，如图4：

∵FP=PB，
∴∠PFB=∠PBF=30°，
∴∠FPB=120°，即∠QPB=120°，
又∵∠QBP=60°，
∴∠QBP+∠QPB=180°，
∴PQ//BQ，与题意不符，故这种情况不存在；
综上可知，a的值为2111 3或3 3．
【解析】(1)过点D作DH⊥AB于点H，根据角平分线的性质可得DH=DC，根据含30度角的直角三角形的性质可得DH=12AD，等量代换可得CD=12AD；
(2)先根据勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出CD和BD，再证∠PQD=30°，推出PD=12DQ，再用含t的代数式表示出DP和DQ，列出等式，即可求解；
(3)分FP=FB，FB=PB，FP=PB三种情况，利用等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等分别求解即可．
本题考查三角形上的动点问题和等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，第三问注意分情况讨论，避免漏解．

2022-2023学年福建省漳州市漳浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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