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2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期中数学试卷(含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期中数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式1a−2有意义，则a的取值范围是( )
A. a≠2B. a≠1C. a>1D. a>2
3.如图所示的是一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是( )
A. −1≤x<2B. −14.已知a+b=2，ab=3，则a2b+ab2的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，如果AD=2CE，那么BC的长是( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=18，则△ABD的面积是( )
A. 15B. 30C. 45D. 60
7.如图，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 100°
B. 180°
C. 210°
D. 270°
8.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是( )
A. 2B. 125C. 3D. 245
10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG.连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF.则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③EF=EG；④BC=24E；⑤S△ABC=S△FAG，其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：m2−4n2=______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为______．
13.如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P，则不等式kx+3>2x的解集为______．
14.若关于x的分式方程3xx−1=m+21−x+2有增根，则m的值是______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AD=10，AB=8，点P在边AD上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF=______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解不等式组5x>3x−1①x+23−2≤x−56②．
17.(本小题7分)
先化简(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：______．
19.(本小题8分)
某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
(2)七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
(3)八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ；
(4)该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
20.(本小题8分)
随着人们“节能环保、绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行和运动，这也给自行车商家带来商机.某自行车行2月份销售A品牌和B品牌两款运动型自行车共80辆，已知B型车销售单价比A型车销售单价高20%，A型车销售总额为10万元，B型车销售总额为7.2万元．
(1)2月份A型车每辆售价多少万元？
(2)3月份该车行计划新进一批A型车和B型车共100辆，已知A型车不少于B型车数量，且不超过B型车数量的1.5倍.A型车和B型车的进货价格分别为0.15万元和0.17万元，若3月份自行车行全部销售完这批车辆，所获取的利润为W万元，求W的取值范围．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF//BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；
(2)若∠A=30°，BC=4，CF=6，求四边形DBCF的面积．
22.(本小题10分)
综合与实践.刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，
(1)探究1：如图1，点D为等腰△ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为______；
(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵分式1a−2有意义，
∴a−2≠0，
解得a≠2．
故选：A．
根据分式有意义的条件得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由数轴知，该不等式组的解集为−1≤x<2，
故选：A．
根据不等式解集在数轴上的表示可得答案．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4.【答案】D
【解析】解：∵a+b=2，ab=3，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=3×2
=6．
故选：D．
先把原式用提取公因式法进行因式分解，再代入已知中的值即可解答．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解把原式化为含已知条件的式子是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，
∴AD=BE=2×2=4(cm)，
∵AD=2CE，
∴CE=2cm，
∴BC=BE+CE=6(cm)，
故选：B．
根据平行的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．
6.【答案】C
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴△ABD的面积=12AB×DE=45，
故选：C．
根据角平分线的性质得到DE=DC=5，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB//CD，
∴∠4+∠5=180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−(∠4+∠5)=360°−180°=180°．
故选：B．
先根据平行线的性质得出∠4+∠5=180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得x⊗(−2)=1x−(−2)2=1x−4，
即1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，
理由是：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴12AC⋅BC=12AB⋅CM，
∴12×6×8=12×10×CM，
∴CM=245，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM=12×245=125，
即DE的最小值是125，
故选：B．
连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE=12CM即可．
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB(SAS)，
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD(AAS)，
∴AM=BD，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，AN=CD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE(AAS)，
∴EM=EN，
∴BC=CD+BD=AN+AM=AE+EN+AE−EM=2AE．
故④正确，
∵△FME≌△GNE，
∴EF=EG．
故③正确．
∵△AFM≌△BAD，△ANG≌△CDA，△FME≌△GNE，
∴S△ABC=S△FAG，故⑤正确．
故选：D．
证得△CAF≌△GAB(SAS)，从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD(AAS)，得出AM=BD，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，AN=CD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE(AAS)，得出EM=EN.则可得出④正确，由△FME≌△GNE可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】(m+2n)(m−2n)
【解析】解：m2−4n2，
=m2−(2n)2，
=(m+2n)(m−2n)．
先将所给多项式变形为m2−(2n)2，然后套用公式a2−b2=(a+b)(a−b)，再进一步分解因式．
主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】10°
【解析】解：∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠B=180°−∠C−∠BAC=35°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=35°，
∵AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED−∠C=10°，
故答案为：10°．
先根据三角形内角和定理求出∠B=35°，再根据等边对等角分别求出∠C=35°，∠AED=45°，则由三角形外角的性质得到∠EDC=∠AED−∠C=10°．
本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确求出∠C=35°，∠AED=45°是解题的关键．
13.【答案】x<1
【解析】解：由图象得，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3交点P的横坐标为1，
当x<1时，直线l1的图象在直线l2图象的下方，
∴不等式kx+3>2x的解集为x<1，
故答案为：x<1．
根据不等式kx+3>2x，即为l1此题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，正确理解一次函数图象的交点与不等式的解集的关系是解题的关键．
14.【答案】−5
【解析】解：去分母，得：3x=−(m+2)+2(x−1)，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：m=−5．
故答案为：−5．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，过点M作MH//BC交CP于H，
则∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵ME⊥CP，
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，
∠NCF=∠MHF∠CFN=∠HFMCN=MH，
∴△NCF≌△MHF(AAS)，
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=12CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中，AP= BP2−AB2= 102−82=6，
∴PD=AD−AP=10−6=4，
在Rt△CPD中，CP= CD2+PD2= 82+42=4 5，
∴EF=12CP=12×4 5=2 5．
故答案为：2 5．
过点M作MH//BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF=∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根据等角对等边可得PM=MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE=EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=FH，从而求出EF=12CP，根据矩形的对边相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
16.【答案】解：解不等式5x>3x−1得：x>−12，
解不等式x+23−2≤x−56得：x≤3，
则不等式组的解集为：−12【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式=(a2−1a−3−a2−2a−3a−3)⋅(a−3)2a+1
=2(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=2a−6，
由题意得，a≠−1和3，
当a=1时，原式=2−6=−4．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】(3,0)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)由图可知，点A、B、C的坐标分别为A(−3,5)、B(−4,1)、C(−1,2)，
∴A1(−3+6,5)、A2(3,−5)、B1(−4+6,1)、B2(4,−1)、C1(−1+6,2)、C2(1,−2)，
即A1(3,5)、A2(3,−5)、B1(2,1)、B2(4,−1)、C1(5,2)、C2(1,−2)，
∴A1A2、B1B2、C1C2的中点的坐标均为(3,0)，
∴△A1B1C1与△A2B2C2是以点(3,0)为对称中心的中心对称图形，
则旋转中心的坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)．
(1)先根据平移的定义分别画出点A1，B1，C1，再顺次连接即可得；
(2)先根据中心对称的定义分别画出点A2，B2，C2，再顺次连接即可得；
(3)先根据平移的性质、中心对称的性质求出点A1、A2、B1、B2、C1、C2的坐标，再求出它们的中点的坐标判断出△A1B1C1与△A2B2C2是关于中点的中心对称图形，由此即可得．
本题主要考查了作图−平移变换、作图−旋转变换，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键．
19.【答案】6.2 8 7 90 25
【解析】解：(1)七年级10分的人数为20−2−6−5−4=3(人)，补全条形统计图如下：
(2)七年级学生成绩的平均数为6×2+7×6+8×5+9×4+10×320=6.2(分)，
将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是8+82=8分，即中位数是8，
七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，
故答案为：6.2，8，7；
(3)1−40%−15%−5%−15%=25%，即m=25，
360°×25%=90°，
故答案为：90，25；
(4)500×15%=75(人)，
答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．
(1)求出七年级得分为10分的人数即可补全条形统计图；
(2)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
(3)根据各组频率之和为100%，求出八年级“8分”所占的百分比，确定m的值，再求出相应圆心角的度数；
(4)根据样本中八年级成绩为“9分”所占的百分比，估计总体中“9分”所占的百分比，进而计算相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)设2月份A型车每辆售价为x万元，则B型车每辆售价为(1+20%)x万元，
根据题意得：10x+7.2(1+20%)x=80，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意．
答：2月份A型车每辆售价0.2万元；
(2)设3月份该车行购进m辆A型车，则购进(100−m)辆B型车，
根据题意得：m≥100−mm≤1.5(100−m)，
解得：50≤m≤60．
∵3月份自行车行全部销售完这批车辆，所获取的利润为W万元，
∴W=(0.2−0.15)m+[0.2×(1+20%)−0.17](100−m)，
即W=−0.02m+7，
∵当m=50时，W=−0.02×50+7=6；
当m=60时，W=−0.02×60+7=5.8，
∴W的取值范围为5.8≤W≤6．
【解析】(1)设2月份A型车每辆售价为x万元，则B型车每辆售价为(1+20%)x万元，利用数量=总价÷单价，结合该自行车行2月份销售A品牌和B品牌两款运动型自行车共80辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设3月份该车行购进m辆A型车，则购进(100−m)辆B型车，根据“购进A型车不少于B型车数量，且不超过B型车数量的1.5倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，利用总利润=每辆的销售利润×销售数量，可找出W关于m的函数关系式，再结合m的取值范围，即可得出W的取值范围．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵E为CD中点，
∴CE=DE，
∵CF//BD，
∴∠CFE=∠DBE，∠FCE=∠BDE，
∴△CEF≌△DEB(AAS)，
∴CF=BD，
∵CF//BD，
∴四边形DBCF为平行四边形；
(2)解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=8，
∴AC= AB2−BC2= 82−42=4 3，
∵∠AHC=90°，∠A=30°，
∴CH=12AC=2 3，
∴S平行四边形DBCF=BD×CH=6×2 3=12 3．
【解析】(1)根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF=BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
(2)过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB=8，根据勾股定理求出AC=4 3，再求出CH=2 3，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】1
【解析】解：(1)当AD⊥BC时，如图1，由垂线段最短，此时AD有最小值，
∵等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2．
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=12AB=1，
故答案为：1；
(2)作EH⊥AB于H，如图2，则点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E，ED⊥AD，EH⊥AB，
∴点D与点H关于AE是轴对称，AH=AD=1，HF=DF，
∵HG⊥AD，AD⊥BC，
∴HG//BC，
∴∠AHG=∠B=30°，
∴HG= 32，
∴DF+FG=HG= 32；
∴DF+FG的最小值为 32；
(3)如图3，在AC上取一点K，使得AK=AD，连接MK，DK．
∵∠ADC=90°，∠C=30°，
∴∠DAK=60°，
∴∠NAM=∠DAK，
∴∠NAD=∠MAK，
∵NA=MA，AD=AK，
∴△NAD≌△MAK(SAS)，
∴DN=MK，
∵MK⊥DC时，MK的值最小，最小值为12，
∴线段DN的最小值为12．
(1)当AD⊥BC时，利用垂线段最短得出AD，进而利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(2)作EH⊥AB于H，点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(3)在AC上取一点K，使得AK=AD，连接MK，DK.由△NAD≌△MAK(SAS)，推出DN=MK，易知MK⊥DC时，MK的值最小，求出MK的最小值即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式1a−2有意义，则a的取值范围是( )
A. a≠2B. a≠1C. a>1D. a>2
3.如图所示的是一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是( )
A. −1≤x<2B. −1
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，如果AD=2CE，那么BC的长是( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=18，则△ABD的面积是( )
A. 15B. 30C. 45D. 60
7.如图，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 100°
B. 180°
C. 210°
D. 270°
8.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是( )
A. 2B. 125C. 3D. 245
10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG.连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF.则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③EF=EG；④BC=24E；⑤S△ABC=S△FAG，其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：m2−4n2=______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为______．
13.如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P，则不等式kx+3>2x的解集为______．
14.若关于x的分式方程3xx−1=m+21−x+2有增根，则m的值是______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AD=10，AB=8，点P在边AD上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF=______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解不等式组5x>3x−1①x+23−2≤x−56②．
17.(本小题7分)
先化简(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：______．
19.(本小题8分)
某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
(2)七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
(3)八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ；
(4)该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
20.(本小题8分)
随着人们“节能环保、绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行和运动，这也给自行车商家带来商机.某自行车行2月份销售A品牌和B品牌两款运动型自行车共80辆，已知B型车销售单价比A型车销售单价高20%，A型车销售总额为10万元，B型车销售总额为7.2万元．
(1)2月份A型车每辆售价多少万元？
(2)3月份该车行计划新进一批A型车和B型车共100辆，已知A型车不少于B型车数量，且不超过B型车数量的1.5倍.A型车和B型车的进货价格分别为0.15万元和0.17万元，若3月份自行车行全部销售完这批车辆，所获取的利润为W万元，求W的取值范围．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF//BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；
(2)若∠A=30°，BC=4，CF=6，求四边形DBCF的面积．
22.(本小题10分)
综合与实践.刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，
(1)探究1：如图1，点D为等腰△ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为______；
(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵分式1a−2有意义，
∴a−2≠0，
解得a≠2．
故选：A．
根据分式有意义的条件得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由数轴知，该不等式组的解集为−1≤x<2，
故选：A．
根据不等式解集在数轴上的表示可得答案．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4.【答案】D
【解析】解：∵a+b=2，ab=3，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=3×2
=6．
故选：D．
先把原式用提取公因式法进行因式分解，再代入已知中的值即可解答．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解把原式化为含已知条件的式子是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，
∴AD=BE=2×2=4(cm)，
∵AD=2CE，
∴CE=2cm，
∴BC=BE+CE=6(cm)，
故选：B．
根据平行的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．
6.【答案】C
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴△ABD的面积=12AB×DE=45，
故选：C．
根据角平分线的性质得到DE=DC=5，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB//CD，
∴∠4+∠5=180°．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−(∠4+∠5)=360°−180°=180°．
故选：B．
先根据平行线的性质得出∠4+∠5=180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得x⊗(−2)=1x−(−2)2=1x−4，
即1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，
理由是：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴12AC⋅BC=12AB⋅CM，
∴12×6×8=12×10×CM，
∴CM=245，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM=12×245=125，
即DE的最小值是125，
故选：B．
连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小(垂线段最短)，此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE=12CM即可．
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB(SAS)，
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD(AAS)，
∴AM=BD，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，AN=CD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE(AAS)，
∴EM=EN，
∴BC=CD+BD=AN+AM=AE+EN+AE−EM=2AE．
故④正确，
∵△FME≌△GNE，
∴EF=EG．
故③正确．
∵△AFM≌△BAD，△ANG≌△CDA，△FME≌△GNE，
∴S△ABC=S△FAG，故⑤正确．
故选：D．
证得△CAF≌△GAB(SAS)，从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD(AAS)，得出AM=BD，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，AN=CD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE(AAS)，得出EM=EN.则可得出④正确，由△FME≌△GNE可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】(m+2n)(m−2n)
【解析】解：m2−4n2，
=m2−(2n)2，
=(m+2n)(m−2n)．
先将所给多项式变形为m2−(2n)2，然后套用公式a2−b2=(a+b)(a−b)，再进一步分解因式．
主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】10°
【解析】解：∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠B=180°−∠C−∠BAC=35°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=35°，
∵AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED−∠C=10°，
故答案为：10°．
先根据三角形内角和定理求出∠B=35°，再根据等边对等角分别求出∠C=35°，∠AED=45°，则由三角形外角的性质得到∠EDC=∠AED−∠C=10°．
本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确求出∠C=35°，∠AED=45°是解题的关键．
13.【答案】x<1
【解析】解：由图象得，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3交点P的横坐标为1，
当x<1时，直线l1的图象在直线l2图象的下方，
∴不等式kx+3>2x的解集为x<1，
故答案为：x<1．
根据不等式kx+3>2x，即为l1
14.【答案】−5
【解析】解：去分母，得：3x=−(m+2)+2(x−1)，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：m=−5．
故答案为：−5．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，过点M作MH//BC交CP于H，
则∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵ME⊥CP，
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，
∠NCF=∠MHF∠CFN=∠HFMCN=MH，
∴△NCF≌△MHF(AAS)，
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=12CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中，AP= BP2−AB2= 102−82=6，
∴PD=AD−AP=10−6=4，
在Rt△CPD中，CP= CD2+PD2= 82+42=4 5，
∴EF=12CP=12×4 5=2 5．
故答案为：2 5．
过点M作MH//BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF=∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根据等角对等边可得PM=MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE=EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=FH，从而求出EF=12CP，根据矩形的对边相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
16.【答案】解：解不等式5x>3x−1得：x>−12，
解不等式x+23−2≤x−56得：x≤3，
则不等式组的解集为：−12
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式=(a2−1a−3−a2−2a−3a−3)⋅(a−3)2a+1
=2(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=2a−6，
由题意得，a≠−1和3，
当a=1时，原式=2−6=−4．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】(3,0)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)由图可知，点A、B、C的坐标分别为A(−3,5)、B(−4,1)、C(−1,2)，
∴A1(−3+6,5)、A2(3,−5)、B1(−4+6,1)、B2(4,−1)、C1(−1+6,2)、C2(1,−2)，
即A1(3,5)、A2(3,−5)、B1(2,1)、B2(4,−1)、C1(5,2)、C2(1,−2)，
∴A1A2、B1B2、C1C2的中点的坐标均为(3,0)，
∴△A1B1C1与△A2B2C2是以点(3,0)为对称中心的中心对称图形，
则旋转中心的坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)．
(1)先根据平移的定义分别画出点A1，B1，C1，再顺次连接即可得；
(2)先根据中心对称的定义分别画出点A2，B2，C2，再顺次连接即可得；
(3)先根据平移的性质、中心对称的性质求出点A1、A2、B1、B2、C1、C2的坐标，再求出它们的中点的坐标判断出△A1B1C1与△A2B2C2是关于中点的中心对称图形，由此即可得．
本题主要考查了作图−平移变换、作图−旋转变换，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键．
19.【答案】6.2 8 7 90 25
【解析】解：(1)七年级10分的人数为20−2−6−5−4=3(人)，补全条形统计图如下：
(2)七年级学生成绩的平均数为6×2+7×6+8×5+9×4+10×320=6.2(分)，
将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是8+82=8分，即中位数是8，
七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，
故答案为：6.2，8，7；
(3)1−40%−15%−5%−15%=25%，即m=25，
360°×25%=90°，
故答案为：90，25；
(4)500×15%=75(人)，
答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．
(1)求出七年级得分为10分的人数即可补全条形统计图；
(2)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
(3)根据各组频率之和为100%，求出八年级“8分”所占的百分比，确定m的值，再求出相应圆心角的度数；
(4)根据样本中八年级成绩为“9分”所占的百分比，估计总体中“9分”所占的百分比，进而计算相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)设2月份A型车每辆售价为x万元，则B型车每辆售价为(1+20%)x万元，
根据题意得：10x+7.2(1+20%)x=80，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意．
答：2月份A型车每辆售价0.2万元；
(2)设3月份该车行购进m辆A型车，则购进(100−m)辆B型车，
根据题意得：m≥100−mm≤1.5(100−m)，
解得：50≤m≤60．
∵3月份自行车行全部销售完这批车辆，所获取的利润为W万元，
∴W=(0.2−0.15)m+[0.2×(1+20%)−0.17](100−m)，
即W=−0.02m+7，
∵当m=50时，W=−0.02×50+7=6；
当m=60时，W=−0.02×60+7=5.8，
∴W的取值范围为5.8≤W≤6．
【解析】(1)设2月份A型车每辆售价为x万元，则B型车每辆售价为(1+20%)x万元，利用数量=总价÷单价，结合该自行车行2月份销售A品牌和B品牌两款运动型自行车共80辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设3月份该车行购进m辆A型车，则购进(100−m)辆B型车，根据“购进A型车不少于B型车数量，且不超过B型车数量的1.5倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，利用总利润=每辆的销售利润×销售数量，可找出W关于m的函数关系式，再结合m的取值范围，即可得出W的取值范围．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵E为CD中点，
∴CE=DE，
∵CF//BD，
∴∠CFE=∠DBE，∠FCE=∠BDE，
∴△CEF≌△DEB(AAS)，
∴CF=BD，
∵CF//BD，
∴四边形DBCF为平行四边形；
(2)解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=8，
∴AC= AB2−BC2= 82−42=4 3，
∵∠AHC=90°，∠A=30°，
∴CH=12AC=2 3，
∴S平行四边形DBCF=BD×CH=6×2 3=12 3．
【解析】(1)根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF=BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
(2)过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB=8，根据勾股定理求出AC=4 3，再求出CH=2 3，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】1
【解析】解：(1)当AD⊥BC时，如图1，由垂线段最短，此时AD有最小值，
∵等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2．
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=12AB=1，
故答案为：1；
(2)作EH⊥AB于H，如图2，则点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E，ED⊥AD，EH⊥AB，
∴点D与点H关于AE是轴对称，AH=AD=1，HF=DF，
∵HG⊥AD，AD⊥BC，
∴HG//BC，
∴∠AHG=∠B=30°，
∴HG= 32，
∴DF+FG=HG= 32；
∴DF+FG的最小值为 32；
(3)如图3，在AC上取一点K，使得AK=AD，连接MK，DK．
∵∠ADC=90°，∠C=30°，
∴∠DAK=60°，
∴∠NAM=∠DAK，
∴∠NAD=∠MAK，
∵NA=MA，AD=AK，
∴△NAD≌△MAK(SAS)，
∴DN=MK，
∵MK⊥DC时，MK的值最小，最小值为12，
∴线段DN的最小值为12．
(1)当AD⊥BC时，利用垂线段最短得出AD，进而利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(2)作EH⊥AB于H，点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(3)在AC上取一点K，使得AK=AD，连接MK，DK.由△NAD≌△MAK(SAS)，推出DN=MK，易知MK⊥DC时，MK的值最小，求出MK的最小值即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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