2024年高中物理新教材同步学案 必修第一册第2章　专题强化　匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度（含解析）

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专题强化　匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度[学习目标]　1.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。2.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度(重难点)。3.能够理解偶然误差及系统误差的产生原因，并会按要求保留有效数字(重点)。4.会解决用现代技术测量加速度的有关问题。一、位移差公式1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。答案　v1＝v0＋aTx1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2x2＝v1T＋eq \f(1,2)aT2x2与x1的位移差：Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT22．对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝________。答案　方法一　如图所示设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则v3＝v0＋3aTx1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2x4＝v3T＋eq \f(1,2)aT2x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。方法二　由x2－x1＝aT2x3－x2＝aT2x4－x3＝aT2得x4－x1＝3aT2。位移差公式：Δx＝aT21．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。2．推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。例1　(2022·马鞍山二中高一期中)一个物体做匀加速直线运动。它在第1 s内的位移为2.4 m，它在第3 s内的位移为3.6 m。求：(1)该物体运动的加速度是多大？(2)该物体在第5 s内的位移是多大？答案　(1)0.6 m/s2　(2)4.8 m解析　(1)根据位移差公式有Δx＝x3－x1＝2aT2解得a＝0.6 m/s2(2)x3－x1＝2aT2，x3－x1＝1.2 m，x5－x3＝2aT2，故x5＝x3＋2aT2＝3.6 m＋1.2 m＝4.8 m。例2　从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：(1)小球的加速度的大小；(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；(3)拍摄时C、D间的距离xCD；(4)A点的上方滚动的小球还有几个。答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2个解析　(1)由Δx＝aT2可知，小球加速度为a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(xBC－xAB,T2)＝eq \f(20－15×10－2,0.12) m/s2＝5 m/s2。(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即vB＝eq \f(xAC,2T)＝eq \f(20＋15×10－2,2×0.1) m/s＝1.75 m/s。(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB，得xCD＝0.25 m。(4)设A点处小球的速度为vA，由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，所以A点处小球的运动时间为tA＝eq \f(vA,a)＝0.25 s，所以在A点的上方滚动的小球还有2个。二、逐差法求加速度一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2－x1＝aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？答案　偶然误差较大，没有充分利用实验数据。纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，a＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)＝eq \f(x6＋x5＋x4－x3＋x2＋x1,9T2)。此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝eq \f(s2－s1,Δt2)＝eq \f(x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x3,3T2)。1．如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度公式？答案　a＝eq \f(x3＋x4－x1＋x2,4T2)。2．若n为大于4的奇数段，应怎么处理？答案　舍去位移最小的一段或中间一段假设n＝5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则a＝eq \f(x4＋x5－x2＋x3,4T2)，同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则a＝eq \f(x5－x2＋x4－x1,2×3T2)＝eq \f(x5＋x4－x1＋x2,6T2)。两种情况下，在保留有效数字位数相同时，计算结果一般相同。例3　(2022·清华附中高一期中)某实验小组利用打点计时器测量小车做匀变速直线运动的速度，打点计时器应接________电源(填“直流”或“交流”)。该实验小组选取了一条点迹清晰的纸带，如图所示。图中O、A、B、C、D是按打点先后顺序依次选取的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.10 s，由图中的数据可知，打点计时器打下B点时小车运动的速度vB＝________ m/s，小车运动的加速度a＝________ m/s2(均保留两位有效数字)。答案　交流　0.72　2.4解析　打点计时器应接交变电源，打点计时器打下B点时小车运动的速度vB＝eq \f(xAC,2T)＝eq \f(18.00－3.60,2×0.10)×10－2 m/s＝0.72 m/s，由公式Δx＝aT2得a＝eq \f(xBD－xOB,2T2)＝eq \f(28.81－9.61－9.61,0.22)×10－2 m/s2≈2.4 m/s2。例4　在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G等7个计数点，每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器接周期为T＝0.02 s的交变电源，经过测量得：d1＝3.62 cm，d2＝8.00 cm，d3＝13.20 cm，d4＝19.19 cm，d5＝25.99 cm，d6＝33.61 cm。(结果均保留两位有效数字)(1)物体在B点的瞬时速度大小vB＝________m/s；(2)物体的加速度大小a＝________m/s2；(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。答案　(1)0.40　(2)0.80　(3)偏小解析　(1)每相邻两个计数点之间还有4个点，打点计时器接周期为T＝0.02 s的交变电源，则计数点间的时间间隔为T′＝5T＝0.10 s，打点计时器打B点时，物体的速度vB＝eq \f(d2,2T′)＝eq \f(8.00×10－2,0.20) m/s＝0.40 m/s(2)物体的加速度为a＝eq \f(DG－AD,3T′2)＝eq \f(d6－d3－d3,3T′2)＝eq \f(33.61－2×13.20×10－2,0.09) m/s2≈0.80 m/s2(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；据Δx＝aT2得，真实的加速度大于测量的加速度，即加速度的测量值与实际值相比偏小。专题强化练1．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)A．物体的加速度为20 m/s2B．物体的加速度为25 m/s2C．CD＝4 mD．CD＝5 m答案　BC解析　由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a＝eq \f(BC－AB,T2)＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。2．(2023·北京东城区汇文中学高一期末)一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s内、第2 s内、第3 s内前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，可进一步推断汽车的加速度大小为(　　)A．2 m/s2 B．5 m/s2C．7 m/s2 D．9 m/s2答案　A解析　据匀变速直线运动相邻的相等时间内的位移之差相等可以判断汽车做匀变速直线运动，则根据逐差法有x2－x1＝at2，代入数据可得a＝－2 m/s2，即加速度大小为2 m/s2，故选A。3．(2023·珠海市第一中学高一期中)某质点由A经B、C到D做匀加速直线运动，历时6 s。前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和CD＝12 m，该质点的加速度及经B点的瞬时速度大小分别是(　　)A．1 m/s2,5 m/s B．0.5 m/s2,4.5 m/sC．1 m/s2,10 m/s D．0.5 m/s2,9 m/s答案　B解析　由匀变速直线运动规律CD－AB＝2aT2该质点的加速度a＝eq \f(CD－AB,2T2)＝eq \f(12－8,2×22) m/s2＝0.5 m/s2由匀变速直线运动规律Δx＝CD－BC＝BC－AB，BC＝10 m经B点的瞬时速度的大小vB＝eq \f(AB＋BC,2T)＝eq \f(8＋10,2×2) m/s＝4.5 m/s，故选B。4．(2023·潍坊市高一月考)在滑雪场游玩中，小明从雪坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑，途中依次经过A、B、C三个标志点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，通过AB和BC两段所用时间均为2 s，则他通过A、B、C三个标志点的瞬时速度大小分别为(　　)A．2 m/s,3 m/s,4 m/sB．2 m/s,4 m/s,6 m/sC．3 m/s,4 m/s,5 m/sD．3 m/s,5 m/s,7 m/s答案　B解析　根据匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故B点的瞬时速度就是AC段的平均速度，vB＝eq \f(AB＋BC,2t)＝4 m/s；又因为两个连续相等时间间隔内的位移之差等于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2，解得a＝1 m/s2；再由vB＝vA＋at，vC＝vB＋at，解得vA＝2 m/s，vC＝6 m/s，故选项B正确。5．一物体做匀减速直线运动，在开始连续的两个1 s内通过的位移分别为3 m和2 m，速度减为零后不再运动，下列说法正确的是(　　)A．物体的初速度大小为2.5 m/sB．物体的加速度大小为2 m/s2C．物体运动的时间为4.5 sD．物体的总位移大小为6.125 m答案　D解析　取初速度方向为正方向，根据Δx＝at2得a＝eq \f(Δx,t2)＝eq \f(2－3,12) m/s2＝－1 m/s2，由x1＝v0t1＋eq \f(1,2)at12，解得物体的初速度v0＝3.5 m/s，故A、B错误，由v＝v0＋at得物体运动的时间为t′＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－3.5,－1) s＝3.5 s，故C错误，物体的总位移为x＝eq \f(v0,2)t′＝eq \f(3.5,2)×3.5 m＝6.125 m，故D正确。6．如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交变电源。(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行计算，并将数据填入下表内。(单位：cm)由此可以得出结论：小车的运动是________。(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝________ s。(3)小车的加速度的表达式a＝________(用题中的字母表示)，加速度a＝________ m/s2(结果保留三位有效数字)。(4)打计数点B时小车的速度vB＝________ m/s。(结果保留三位有效数字)。答案　(1)1.57　1.58　1.58　匀变速直线运动　(2)0.1(3)eq \f(x6＋x5＋x4－x3－x2－x1,9Δt2)　1．57　(4)0.517解析　(1)由纸带计数点的数据可知x4－x3＝7.52 cm－5.95 cm＝1.57 cmx5－x4＝9.10 cm－7.52 cm＝1.58 cmx6－x5＝10.68 cm－9.10 cm＝1.58 cm由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差Δx相等，小车的运动是匀变速直线运动。(2)每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝0.02 s×5＝0.1 s(3)小车的加速度的表达式a＝eq \f(x6＋x5＋x4－x3－x2－x1,9Δt2)代入题中数据可得a≈1.57 m/s2(4)由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，打计数点B时小车的速度vB＝eq \f(x2＋x3,2Δt)＝eq \f(4.38＋5.95,2×0.1)×10－2 m/s≈0.517 m/s。7．(2023·天津市南开中学滨海生态城学校高一期中)在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，如图为接在周期为T＝0.02 s低压交变电源上的打点计时器，在纸带做匀加速直线运动时打出的一条纸带，图中所示的是每打5个点(每隔四个点)所取的计数点，但第3个计数点没有画出。由图中的数据可求得：(1)该小车的加速度为________ m/s2；(保留两位有效数字)(2)第3个计数点与第2个计数点的距离约为________ cm；(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝49 Hz，而做实验的同学并不知道，则加速度的测量值比实际值偏________。(填“大”或“小”)答案　(1)0.64　(2)4.25　(3)大解析　(1)由于每打5个点(每隔四个点)取一个计数点，则相邻计数点间的时间间隔为T0＝5T＝5×0.02 s＝0.1 s由于第3个计数点没有画出，且总共有4段，根据x4－x1＝3aT02解得a＝eq \f(x4－x1,3T02)＝eq \f(5.53－3.61×10－2,3×0.12) m/s2＝0.64 m/s2(2)根据x4－x1＝3aT02，x2－x1＝aT02，解得x2＝4.25 cm(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝49 Hz，而实验的同学仍然采用50 Hz运算，则运算时相邻计数点间的时间间隔T0偏小，根据上述，可知加速度的测量值比实际值偏大。8．(2023·甘肃高一期中)小明在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，进行如下操作(1)实验中如图甲所示调整好仪器，接通打点计时器的电源，松开小车，使重物下落，打点计时器会在纸带上打出一系列小点。(2)在打出的纸带上每5个点取一个计数点，打点计时器所用电源的频率为50 Hz。测得的数据如图乙所示。利用这些数据，可以得出如下结果：①打计数点1时纸带运动的速度是________ m/s；(结果保留三位有效数字)②计算小车的加速度大小为________ m/s2；(结果保留三位有效数字)③根据实验结果可以判断计数点0________(选填“是”或“不是”)小车运动的起点。答案　(2)①0.201　②1.14　③不是解析　(2)①在打出的纸带上每5个点取一个计数点，则相邻计数点时间间隔为T＝5×0.02 s＝0.1 s 打计数点1时纸带运动的速度为v1＝eq \f(x02,2T)＝eq \f(1.44＋2.57×10－2,2×0.1) m/s≈0.201 m/s②根据逐差法，小车的加速度大小为a＝eq \f(x24－x02,4T2)＝eq \f(3.71＋4.85－1.44－2.57×10－2,4×0.12) m/s2≈1.14 m/s2③打计数点0时的速度为v0＝v1－aT＝0.201 m/s－1.14×0.1 m/s＝0.087 m/s，可知计数点0不是小车运动的起点。9.(2023·黄冈中学高一上期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D是轨迹上的四点，测得AB＝4 m，BC＝6 m，CD＝8 m，且物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则O、A之间的距离为(　　)A.eq \f(9,8) m B.eq \f(9,4) mC.eq \f(7,4) m D.eq \f(7,2) m答案　B解析　设物体的加速度为a，通过AB的时间为t，B点的速度等于AC段的平均速度，则有vB＝eq \f(AC,2t)＝eq \f(5,t)(m/s)，又因为两个连续相等时间间隔内的位移差为恒量，有at2＝2 m，那么OA＝eq \f(vB2,2a)－AB＝eq \f(25,4) m－4 m＝eq \f(9,4) m，B正确。10．某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图甲所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴)(1)由图乙可知，小车在桌面上是________(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。(2)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为________ m/s，加速度大小为________ m/s2。(结果均保留两位有效数字)答案　(1)从右向左　(2)0.19　 0.038解析　(1)小车在阻力的作用下，做减速运动，由题图乙知，从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小，即速度减小，所以小车在桌面上是从右向左运动的。(2)已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴，所以相邻两水滴间的时间间隔为T＝eq \f(30,45) s＝eq \f(2,3) s，所以A点位置的速度为vA＝eq \f(0.117＋0.133,2×\f(2,3)) m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a＝eq \f(x5＋x4－x2＋x1,6T2)≈－0.038 m/s2，故加速度的大小为0.038 m/s2。x2－x1x3－x2x4－x3x5－x4x6－x51.581.57____________