2024年高中物理新教材同步学案 必修第一册第4章　专题强化　传送带模型（含解析）

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专题强化　传送带模型[学习目标]　1.会对传送带上的物体进行受力分析，掌握传送带模型的一般分析方法(重点)。2.能正确解答传送带上的物体的运动问题(难点)。一、水平传送带如图所示，传送带保持以1 m/s的速度顺时针转动。现将一定质量的煤块从离传送带左端很近的A点轻轻地放上去，设煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1。(1)煤块放上传送带最初一段时间内，受到_____________(填“静”或“滑动”)摩擦力，方向______________，煤块做__________________运动。(2)若传送带足够长，试分析煤块在传送带上的运动过程(注意摩擦力的突变)。(3)若A、B间的距离L＝2.5 m，(g取10 m/s2)，求：①煤块从A点运动到B点所经历的时间；②煤块在传送带上留下痕迹的长度。答案　(1)滑动　水平向右　匀加速直线　(2)煤块先做匀加速运动，达到共同速度后再做匀速运动(3)①对煤块，根据题意得a＝eq \f(μmg,m)＝μg＝1 m/s2，当速度达到1 m/s时，所用的时间t1＝eq \f(v,a)＝1 s，通过的位移x1＝eq \f(v2,2a)＝0.5 m＜2.5 m，x2＝L－x1＝2.5 m－0.5 m＝2 m中，当煤块速度达到1 m/s后，煤块与传送带间无摩擦力，所以煤块以1 m/s的速度随传送带做匀速运动，所用时间t2＝eq \f(x2,v)＝2 s因此煤块从A点运动到B点所经历的时间t＝t1＋t2＝3 s②煤块在传送带上留下的痕迹为二者的相对位移，在前1 s时间内，传送带的位移x1′＝vt1＝1 m由①可知煤块的位移x1＝0.5 m ，故煤块在传送带上留下的痕迹长度为Δx＝x1′－x1＝0.5 m。例1　(2022·昆明市高一期末)如图所示，水平传送带以v＝10 m/s的速度顺时针匀速转动，将工件(可视为质点)轻轻放在传送带的左端，由于摩擦力的作用，经过时间t＝6 s，工件到达传送带的右端，已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，求：(1)工件在水平传送带上滑动时的加速度的大小；(2)工件从水平传送带的左端到右端通过的距离。答案　(1)5 m/s2　(2)50 m解析　(1)对工件由牛顿第二定律可得ma＝μmg解得a＝5 m/s2(2)工件加速运动阶段v＝at1得t1＝2 sx1＝eq \f(1,2)at12＝10 m工件匀速运动阶段x2＝v(t－t1)＝40 m工件通过的距离x＝x1＋x2＝50 m。例2　如图所示，绷紧的水平传送带足够长，始终以恒定速率v1＝2 m/s沿顺时针方向运行。初速度为v2＝4 m/s的小物块(可视为质点)从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带，小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，g＝10 m/s2，若从小物块滑上传送带开始计时，求：(1)小物块在传送带上滑行的最远距离；(2)小物块从A处出发到再回到A处所用的时间。答案　(1)4 m　(2)4.5 s解析　(1)小物块滑上传送带后开始做匀减速运动，设小物块的质量为m，由牛顿第二定律得：μmg＝ma得a＝μg＝2 m/s2因小物块在传送带上滑行至最远距离时速度为0，由x＝eq \f(v22,2a)得x＝4 m(2)由(1)分析知小物块从A出发至速度减为0经历的时间t1＝eq \f(v2,a)＝2 s小物块速度减为0后，再向右做匀加速运动，加速度为a′＝μg＝2 m/s2设小物块与传送带共速所需时间为t2，t2＝eq \f(v1,a′)＝1 st2时间内小物块向右运动的距离x1＝eq \f(v12,2a′)＝1 m最后小物块做匀速直线运动的位移x2＝x－x1＝3 m匀速运动时间t3＝eq \f(x2,v1)＝1.5 s所以小物块从A处出发到再回到A处所用的时间t总＝t1＋t2＋t3＝4.5 s。二、倾斜传送带某飞机场利用如图所示的传送带将地面上的货物运送到飞机上，传送带与地面的夹角θ＝30°，传送带以v＝5 m/s的恒定速度顺时针方向运动。在传送带底端A轻放上一质量m＝5 kg的货物(可视为质点)，货物与传送带间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(1)货物放在传送带上最初一段时间内，受到_________(填“静”或“滑动”)摩擦力作用，摩擦力的方向____________，货物做____________运动。(2)若传送带足够长，试分析货物的运动过程。(注意摩擦力的突变)(3)若传送带两端A、B的距离L＝10 m，求货物从A端运送到B端所需的时间。(g取10 m/s2)答案　(1)滑动　沿传送带斜面向上　匀加速直线(2)货物在传送带上先做匀加速运动，当货物速度与传送带速度相等时，因最大静摩擦力Ffm＝μmgcos 30°，大于重力沿传送带向下的分力mgsin 30°，故货物与传送带速度相等后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，货物将做匀速运动。(3)以货物为研究对象，由牛顿第二定律得μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma解得a＝2.5 m/s2货物匀加速运动时间t1＝eq \f(v,a)＝2 s货物匀加速运动位移x1＝eq \f(1,2)at12＝5 m然后货物做匀速运动，运动位移x2＝L－x1＝5 m匀速运动时间t2＝eq \f(x2,v)＝1 s货物从A端运送到B端所需的时间t＝t1＋t2＝3 s。例3　如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s。在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5 kg的物体(可视为质点)。已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间。答案　(1)4 s　(2)2 s解析　(1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向上，物体沿传送带向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：mg(sin 37°－μcos 37°)＝ma，解得a＝2 m/s2，根据l＝eq \f(1,2)at2得t＝4 s。(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带向上运动，则物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向下，设物体的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma1则有a1＝10 m/s2设当物体运动速度等于传送带速度时经历的时间为t1，位移为x1，则有t1＝eq \f(v,a1)＝eq \f(10,10) s＝1 s，x1＝eq \f(1,2)a1t12＝5 m＜l＝16 m当物体运动速度等于传送带速度的瞬间，因为mgsin 37°＞μmgcos 37°，则此后物体相对传送带向下运动，受到沿传送带向上的滑动摩擦力，设当物体下滑速度大于传送带转动速度时，物体的加速度大小为a2，则由牛顿第二定律有mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2得a2＝2 m/s2x2＝l－x1＝11 m由x2＝vt2＋eq \f(1,2)a2t22，解得t2＝1 s(t2＝－11 s舍去)所以t总＝t1＋t2＝2 s。1．(1)求解传送带模型问题，首先要根据物体和传送带之间的相对运动情况，确定摩擦力的大小和方向。当物体的速度与传送带的速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变，速度相等前后对摩擦力的分析是解题的关键。(2)传送带模型分析流程2．水平传送带常见类型及物体运动情况3．倾斜传送带常见类型及物体运动情况 专题强化练训练1　水平传送带模型1.(多选)(2022·肇庆市高一期末)如图所示，一水平传送带沿顺时针方向以v0匀速转动，在传送带左端A处无初速度地轻放一小物块，则关于小物块从A端运动到B端过程中，速度v随时间t的变化图像，下列选项中可能正确的是(　　)答案　BD解析　物块先做匀加速运动，在到B端前可能已经和传送带共速，也可能一直加速运动到B端，B、D正确。2.(2023·石家庄市高一期末)自动化分拣为快递行业发展起到很大的促进作用，而物品的自动传输需要依靠传送带。如图所示为某水平传送带示意图，传送带以v＝4 m/s的速度顺时针匀速运动，将物品(可视为质点)从左端P处由静止释放，之后被传送到右端Q处。已知P、Q之间的距离为6 m，物品与传送带间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10 m/s2，物品匀速运动的位移大小为(　　)A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m答案　C解析　由牛顿第二定律得物品匀加速运动的加速度大小为a＝eq \f(μmg,m)＝μg＝4 m/s2由v2＝2ax得物品与传送带共速时运动的位移x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(42,2×4) m＝2 m则物品匀速运动的位移大小为Δx＝L－x＝6 m－2 m＝4 m，故C正确。3.(多选)(2022·浙江9＋1联盟高一联考)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速率v1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面。物体以恒定的速率v2沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面上，此时速率为v2′，则下列说法正确的是(　　)A．若v1＜v2，则v2′＝v1B．若v1＞v2，则v2′＝v2C．不管v2多大，总有v2′＝v2D．只有v1＝v2时，才有v2′＝v1答案　AB解析　由于传送带足够长，物体先减速向左滑行，直到速度减为零，然后在滑动摩擦力的作用下向右运动，分两种情况：①若v1≥v2，物体向右运动时一直加速，当v2′＝v2时，离开传送带；②若v1＜v2，物体向右运动时先加速，当速度增大到与传送带的速度相等时，物体还在传送带上，此后不受摩擦力作用，物体与传送带一起向右匀速运动，此时有v2′＝v1，故选项A、B正确，C、D错误。4．(多选)(2022·泉州市高一期末)如图，传送带顺时针匀速转动，在其左端无初速度的放上木块P，木块被运送到右端。现将传送带的转动速率调大，再次将木块P无初速度放在传送带左端，则木块(　　)A．加速过程中的加速度一定不变B．运动到传送带右端时的速度一定变大C．运动到传送带右端的时间一定变短D．与传送带之间相对滑动的路程一定变大答案　AD解析　对木块受力分析得μmg＝ma即加速度为a＝μg所以加速过程中的加速度一定不变，故A正确；对木块由运动学公式v2＝2ax可知，木块速度大小与木块加速位移有关，若木块在传送带上一直加速，则两次加速的位移都为传送带长度，则到达右端的速度相等，同理，由运动学公式x＝eq \f(1,2)at2可知，若木块在传送带上一直加速，则运动到传送带右端的时间也相等，故B、C错误；此过程中，木块位移为L，传送带位移为x′＝vt所以木块与传送带之间相对滑动的路程为Δx＝x′－L所以传送带的转动速率调大时，木块与传送带之间相对滑动的路程一定变大，故D正确。5．(多选)(2022·钦州市高一期末)如图甲，水平传送带逆时针匀速转动，一小物块以某一速度从最左端滑上传送带，取向右为正方向，从小物块滑上传送带开始计时，小物块的v－t图像(以地面为参考系)如图乙所示，g取10 m/s2，则(　　)A．传送带的速度大小为1.0 m/sB．小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2C．小物块相对传送带滑动的总时间为4.5 sD．小物块相对传送带滑动的总距离为4.5 m答案　AD解析　3.0～4.0 s的时间内，物块的速度与传送带速度相等，则传送带的速度大小为1.0 m/s，A正确；0～2.0 s时间内物块加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝1 m/s2，根据牛顿第二定律得μmg＝ma，得μ＝0.1，B错误；由题图乙可知，小物块相对于传送带滑动的总时间为3.0 s，C错误；由于v－t图像与t轴围成的面积表示位移大小，可知小物块相对传送带滑动的总距离为Δx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋2×1)) m＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×1－\f(1,2)×1×1)) m＝4.5 m，D正确。6.如图，一平直的传送带以速率v＝2 m/s顺时针匀速运行，在A处把物体轻轻地放到传送带上，经过6 s，物体到达B处，A、B相距L＝10 m，重力加速度g＝10 m/s2。则：(1)求物体在传送带上做匀加速运动的时间；(2)求物体与传送带之间的动摩擦因数；(3)若物体是煤块，求煤块在传送带上的划痕长度。答案　(1)2 s　(2)0.1　(3)2 m解析　(1)由题意可知，物体从A到B先做匀加速直线运动，后与传送带达到相同速度，匀速运动到B端，设物体做匀加速运动的时间为t所以eq \f(v,2)t＋v(6 s－t)＝L代入数据解得：t＝2 s(2)在匀加速运动过程中，根据牛顿第二定律可知μmg＝ma根据速度与时间的关系得：v＝at联立解得：μ＝0.1(3)在煤块匀加速运动过程中，传送带上表面相对于地面的位移x＝vt＝4 m煤块相对于地面的位移x′＝eq \f(1,2)at2＝2 m所以煤块在传送带上的划痕长度Δx＝x－x′＝2 m。7.如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带始终以恒定的速率v＝1 m/s顺时针运行，一质量为m＝4 kg的物体无初速度地放在A处，传送带对物体的滑动摩擦力使物体开始做匀加速直线运动，随后物体又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L＝2 m，g取10 m/s2。(1)求物体刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小；(2)求物体由A运动到B的时间；(3)如果提高传送带的运行速率，物体就能被较快地传送到B处，求使物体从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。答案　(1)4 N　 1 m/s2 　(2)2.5 s 　(3)2 s　2 m/s解析　(1)滑动摩擦力大小Ff1＝μmg＝0.1×4×10 N＝4 N，加速度大小a＝eq \f(Ff1,m)＝1 m/s2。(2)物体匀加速运动的时间t1＝eq \f(v,a)＝1 s物体匀加速运动的位移x1＝eq \f(v2,2a)＝0.5 m物体匀速运动的时间t2＝eq \f(L－x1,v)＝1.5 s则物体由A运动到B的时间t＝t1＋t2＝2.5 s。(3)物体一直做匀加速运动时从A处传送到B处的时间最短，加速度大小仍为a＝1 m/s2，当物体到达B处时，有vmin2＝2aL，得vmin＝2 m/s，所以传送带的最小运行速率为2 m/s。设物体传送到B的最短时间为tmin，则vmin＝atmin，得tmin＝eq \f(vmin,a)＝2 s。训练2　倾斜传送带模型1.(多选)如图，倾角θ＝37°的足够长的传送带以恒定速率顺时针运行，现将一质量m＝2 kg的小物体轻放在传送带的A端，小物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则在上升过程中小物体(　　)A．加速度恒定B．先加速运动后匀速运动C．所受的摩擦力方向不变D．所受的摩擦力大小始终为12 N答案　BC解析　开始时物体受到沿传送带向上的滑动摩擦力，因Ff＝μmgcos 37°＝12.8 N>mgsin 37°＝12 N，则物体沿传送带加速向上运动，由于传送带足够长，当物体的速度与传送带的速度相等时，因μmgcos 37°>mgsin 37°，则之后物体相对传送带静止，随传送带一起匀速向上运动，物体所受静摩擦力大小为12 N，方向沿传送带向上，则选项B、C正确，A、D错误。2.如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针方向运行，在传送带的上端轻轻放上一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ＜tan θ，则下列图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是(　　)答案　D解析　开始时小木块相对传送带向上运动，受到的滑动摩擦力沿传送带向下，则小木块的加速度大小为a1＝gsin θ＋μgcos θ，则开始时小木块沿传送带向下做匀加速直线运动，因传送带足够长，则小木块和传送带能够共速，共速时，因μ＜tan θ，小木块将继续加速运动，加速度大小为a2＝gsin θ－μgcos θ，综上所述，小木块先以a1做匀加速直线运动，后以a2做匀加速直线运动，且a1>a2，故A、B、C错误，D正确。3.(2022·济宁一中高一月考)如图所示，在一条倾斜的、静止不动的传送带上，有一个滑块能够自由地向下滑动，该滑块由上端自由地滑到底端所用时间为t1，如果传送带以速度v0顺时针运动起来，保持其他条件不变，该滑块由上端滑到底端所用的时间为t2，那么(　　)A．t1＝t2 B．t1>t2C．t1tan θ，所以5 s后物块随传送带一起匀速运动，故6 s时物块的速度大小为3 m/s(2)物块匀速运动的位移x2＝L－x1＝6 m，匀速运动时间t2＝eq \f(x2,v)＝2 s物块从A运动到B所用的时间t＝t1＋t2＝7 s。6．倾角为θ的倾斜传送带以恒定的速率沿逆时针方向运行，如图甲所示。在t＝0时，将一小煤块轻放在传送带上A点处，1.5 s时小煤块从B点离开传送带。小煤块速度随时间变化的图像如图乙所示，设沿传送带向下为运动的正方向，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)0～0.5 s内和0.5～1.5 s内小煤块的加速度大小；(2)小煤块与传送带之间的动摩擦因数；(3)在0～1.5 s时间内小煤块在传送带上留下的痕迹长度。答案　见解析解析　(1)由题图乙知，0～0.5 s内a1＝eq \f(Δv1,Δt1)＝10 m/s20．5～1.5 s内a2＝eq \f(Δv2,Δt2)＝2 m/s2(2)0～0.5 s内，由牛顿第二定律得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma10．5～1.5 s内，由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma2联立解得μ＝0.5(3)由题图乙知，传送带的速率v1＝5 m/s，0～0.5 s内传送带比小煤块多运动Δx1＝v1t1－eq \f(1,2)v1t1＝1.25 m，0．5～1.5 s内小煤块比传送带多运动Δx2＝eq \f(1,2)(v1＋v2)t2－v1t2＝1 m痕迹覆盖，所以小煤块在传送带上留下的痕迹长度为1.25 m。7.(2023·广东实验中学高一期末)在工业化高度发展的今天，传送带已成为物流系统自动化不可缺少的组成部分。如图所示，在物流运输线上，传送带以v＝2 m/s的速度匀速转动，一可视为质点的包裹被静止释放于A点，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，此后其运动至B点最后到达C点，始终未脱离传送带，包裹通过B点前后速度大小不变。已知AB间距离为4 m，BC长度为3 m且与水平面的夹角θ＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(1)通过计算证明包裹到达B点时已经与传送带共速；(2)求包裹在传送带上从B点运动至C点所用时间；(3)若传送带速度很大，若使包裹在传送带上从A点由静止开始运动至C点的过程中速度一直未与传送带速度相等，求包裹运动到C点时的速度大小。答案　(1)见解析　(2)1 s　(3)10 m/s解析　(1)在水平传送带上，共速前，对包裹由牛顿第二定律可得μmg＝ma1，解得a1＝5 m/s2，设经过时间t1与传送带共速，则t1＝eq \f(v,a1)，x1＝eq \f(1,2)a1t12联立得x1＝0.4 m，x1<4 m，可见包裹到达B点时已经与传送带共速。(2)包裹进入传送带倾斜部分后，因为μmgcos θv时，可能一直减速，也可能先减速再匀速(2)v0＝v时，一直匀速(3)v0