2024八年级数学下学期期中测试模拟卷第1~5章含解析新版浙教版

这是一份2024八年级数学下学期期中测试模拟卷第1~5章含解析新版浙教版，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列等式正确的是（ ）
A．＝B．C．＝﹣3D．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的定义分析得出答案．
【解答】解：A.＝，故此选项符合题意；
B.根号下是负数无意义，故此选项不合题意；
C.无法化简，故此选项不合题意；
D.＝，故此选项不合题意；
故选：A．
2．下列几种名车标志中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：左起第一、三、四共3个标志都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
第二个标志不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x﹣2）2＝﹣9
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
4．为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如表，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）
A．25.5cm，26cmB．26cm，25.5cmC．25.5cm，25.5cmD．26cm，26cm
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：数据26出现了3次最多，这组数据的众数是26，
共10个数据，从小到大排列此数据处在第5、6位的数都为26，故中位数是26．
故选：D．
5．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等实数根
【分析】先计算根的判别式，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
6．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值共为180亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2＝180B．50+50（1+x）2＝180
C．50（1+x）+50（1+x）2＝180D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝180
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：50（1+x）（亿元），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2（亿元），
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝180．
故选：D．
7．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（ ）
A．没有一个角是锐角B．每一个角都是钝角或直角
C．至少有一个角是钝角或直角D．所有角都是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．
故选：D．
8．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝6，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4.5C．5D．无法计算
【分析】根据图形得出S△PAB+S△PCD＝S△ADC，求出S△ADC﹣S△PCD＝S△PAB，求出S△PAC＝S△PAB﹣S△PAD，代入求出即可．
【解答】解：∵S△PAB+S△PCD＝S平行四边形ABCD＝S△ADC，
∴S△ADC﹣S△PCD＝S△PAB，
则S△PAC＝S△ACD﹣S△PCD﹣S△PAD
＝S△PAB﹣S△PAD
＝6﹣2
＝4．
故选A．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1B．1.3C．1.5D．2
【分析】延长AB至M，使BM＝AE，连FM，然后证明△DAE≌△EMF，再证明△BMF是等边三角形，可得BF＝AE，然后根据题意可得AE＝t，CF＝2t，再根据BC＝CF+BF＝6列方程求解即可．
【解答】解：延长AB至M，使BM＝AE，连FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AB＝AD，∠A＝60°，
∴∠AED+∠ADE＝120°，
∵BM＝AE，
∴AD＝ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∴∠MEF+∠AED＝120°
∴∠MEF＝∠ADE，
在△ADE和△MEF中
，
∴△DAE≌△EMF（SAS），
∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，
又∵BM＝AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF＝AE，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BC＝CF+BF＝3t，
∵BC＝6，
∴t＝2．
故选D．
10．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，根据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根据直角三角形的性质得到DH＝3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为OA•DH＝×3×10＝15，故②正确；
③根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故③正确．
【解答】解：①∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBC＝90°，
∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，
∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，
∵∠BOP＝45°，
∴∠DOP＝∠BOP＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，
∴四边形OBPD是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，
∵点A（10，0），点B（0，6），
∴OA＝10，OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，
∴∠DOA＝30°，
∴DH＝OD＝3，
∴△OAD的面积为OA•DH＝×3×10＝15，故②正确；
③∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠ODP＝∠OBP＝90°，
∴∠ADP＝180°，
∴P，D，A三点共线，
∵OA∥CB，
∴∠OPB＝∠POA，
∵∠OPB＝∠OPD，
∴∠OPA＝∠POA，
∴AP＝OA＝10，
∵AC＝6，
∴CP＝＝8，
∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故③正确；
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形每个外角的度数为 ．
【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
【解答】解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×3，
解得：n＝8．
∴这个正多边形的每个外角＝＝45°．
故答案为：45°．
12．已知，y＝+﹣2，则2x﹣y的值是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝4，
∴y＝+﹣2＝﹣2，
∴2x﹣y＝8+2＝10．
故答案为：10．
13．若x1，x2，⋯，x9这9个数的平均数，方差S2＝2，则x1，x2，⋯，x9，这10个数的平均数是 ，方差是 ．
【分析】由于若x1，x2，…，x9这9个数的平均数，那么x1，x2，…，x9，这10个数的平均数为[（10×9）+10]÷10＝10，而原来的方差S2＝2，平均数没有改变，由此即可求出新数据的方差．
【解答】解：∵若x1，x2，…，x9这9个数的平均数，
∴x1，x2，…，x9，这10个数的平均数为[（10×9）+10]÷10＝10，
而原来的数据的方差为S2＝2，
∴＝2，
∴（x1﹣10）2+…+（x9﹣10）2＝18，
∴x1，x2，…，x9，这10个数的方差是
＝＝1.8．
故答案为：10，1.8．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为 ．
【分析】由韦达定理得出a，b与m的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m的取值范围，再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b和ab整体代入化简，然后再配方，结合m的取值范围可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，
∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）
＝4m2+4m+1﹣4m2+4
＝4m+5≥0，
∴m≥﹣．
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2m+1）2﹣3（m2﹣1）
＝4m2+4m+1﹣3m2+3
＝m2+4m+4
＝（m+2）2，
∴a2﹣ab+b2的最小值为：＝．
故答案为：．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝4，
∴BE＝8．
16．综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5．
（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ．
【分析】（1）过点F作FM⊥AB于M，则四边形ADFM是矩形，证明△FME∽△ABC，可以求出ME＝4，EF＝8即可；
（2）连接FN，EN，设A′H＝x，根据GH垂直平分线段EF，可得HF＝HE，根据勾股定理可得D′F2+D′H2＝A′E2+A′H2，列出方程12+（4﹣x）2＝52+x2，解方程求出x，可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点F作FM⊥AB于M，则四边形ADFM是矩形，
∵四边形ADFM是矩形，
∴AD＝FM＝BC，BF＝AM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝12，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝4，
∴AC＝2BC＝8，
∴AD＝FM＝BC＝4，
∵∠MFE+∠AEN＝90°，∠BAC+∠AEN＝90°，
∴∠MFE＝∠BAC，
∵∠FME＝∠B＝90°，
∴△FME∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴ME＝4，EF＝8，
故答案为：8；
（2）如图，连接FH，EH，设AC交EF于N．
∵ME＝4，EF＝8，
∴DF＝AM＝AE﹣ME＝5﹣4＝1，
设A′H＝x，
∵GH垂直平分线段EF，
∴HF＝HE，
∵A′E＝AE＝5，D′F＝DF＝1，D′H＝A′D′﹣A′H＝4﹣x，
根据勾股定理，得：
D′F2+D′H2＝A′E2+A′H2，
∴12+（4﹣x）2＝52+x2，
∴x＝，
∴HE＝＝＝2，
∵EF＝8，
∴EG＝EF＝4，
∴GH＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（6分）计算
（1）；（2）
【分析】（1）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（2）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝+
＝×+×
＝1+；
（2）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+．
18．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）（x+1）（x+2）＝2x+4．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
则x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵（x+1）（x+2）＝2x+4，
∴（x+1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
则（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
19．（6分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）直接写出点B关于点A对称的点的坐标 ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标 ；
（3）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【分析】（1）根据中心对称的概念求解即可；
（2）将三个顶点分别绕坐标原点O逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的概念作图即可．
【解答】解：（1）如图所示，点P即为点B关于点A的对称点，坐标为（2，6），
故答案为：（2，6）；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，点B的对应点的坐标为（0，﹣6），
故答案为：（0，﹣6）；
（3）如图所示，点D即为所求，其坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3），
故答案为：（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．
20．（8分）某工厂第一车间有工人20人，每人日均加工螺杆数统计如图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）该车间工人日均生产螺杆数的平均数、中位数和众数分别是多少？
（2）若要从平均数、中位数、众数中选一个作为该车间工人日生产定额，超额部分给予奖励．为鼓励大多数工人，你认为选哪个统计量比较合适，请说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数及平均数的计算公式进行解答即可；
（2）根据（1）求出的中位数、众数及平均数，然后找到一个大多数人能达到的统计量即可．
【解答】解：（1）该车间工人日均生产螺杆数的平均数为（10×2+12×7+14×6+16×5）÷20＝13.4（个），
某工厂第一车间有20个工人，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数为＝14（个）．
日加工螺杆数为12个的有7名工人，
所以众数为12个；
（2）为鼓励大多数工人，选众数比较合适．
21．（8分）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当∠DEF＝90°，AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC．再由SAS证明△BFE≌△BFC，得出EF＝CF．由EF∥AC得出∠EFD＝∠BDC，从而∠EFD＝∠BDE，根据等角对等边得出DE＝EF，从而DE＝EF＝CF＝DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得∠DFE＝45°，然后证明∠FEB＝∠CBE＝2∠FBE即可．
【解答】（1）证明：在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（SAS）；
∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC
同理△BFE≌△BFC，
∴EF＝CF
∵EF∥AC
∴∠EFD＝∠BDC，
∴∠EFD＝∠BDE，
∴DE＝EF，
∴DE＝EF＝CF＝DC，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）∵四边形CDEF是正方形，
∴∠CDE＝∠DEF＝2∠EFD＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠A+∠AED＝180°﹣90°＝90°，∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠A＝∠FEB＝∠CBE＝2∠EBF，
∵∠ABD+∠FEB＝∠DFE＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠FEB＝30°，
∴∠A＝∠ABC＝∠FEB＝30°，
∵△BFE≌△BFC，
∴∠FEB＝∠FCB＝30°，
综上所述，度数为∠ABD的度数2倍的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．
22．（10分）安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 台，当天共盈利 元．
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用销售数量＝30+2×降低的价格，即可求出当天的销售量，再利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可求出结论；
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定x的值；
（3）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元．
【解答】解：（1）30+2×5＝30+10＝40（台），
（50﹣5）×40＝45×40＝1800（元）．
故答案为：40；1800．
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50﹣y）（30+2y）＝2500，
整理得：y2﹣35y+500＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝1225﹣2000＝﹣775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
23．（10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．
（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ＝ ；
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．
①四边形ABCD 损矩形（填“是”或“不是”）；
②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；
③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的长．
【分析】（1）以AD为公共边，有∠ABD＝∠ACD；
（2）①由菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝90°，可得四边形ABCD是损矩形；
②由四边形ABCD为损矩形，可得∠ACE＝2∠ACD＝90°，可得结论；
③由四边形ABCD为损矩形，可得∠ACD＝∠ABD＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求AD长，AC的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD；
故答案为：∠ABD，∠ACD（或∠DAC，∠DBC）；
（2）①∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是损矩形，
故答案为：是；
②四边形ACEF为正方形，理由如下：
证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵四边形ABCD为损矩形，
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠ACE＝2∠ACD＝90°，
∴四边形ACEF为正方形；
（3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，
∵四边形ACEF是菱形，∠ACE＝60°，
∴AC＝CE，∠ACF＝30°，AE⊥CF，
∵四边形ABCD为损矩形，
∴∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，
∴AH＝BH﹣AB＝，
∴AD＝＝，
∵∠ACF＝30°，AE⊥CF，
∴AC＝2，
∴BC＝＝＝6．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+11分别交x轴y轴于A，B两点，点D以每秒2个单位的速度从点A出发沿射线AD方向运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点B出发沿边BA方向运动，当E到达点A时，点D，E同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求点A的坐标及线段AB的长．
（2）如图1，当t＝4﹣2时，求∠AED的度数．
（3）如图2，以DE为对角线作正方形DFEG，在运动过程中，是否存在正方形DFEG的一边恰好落在△ADB的一边上？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+11分别交x轴y轴于A，B两点，求点A、点B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长；
（2）作DK⊥AB于点K，延长DK到点L，使KL＝DK，连结AL、BD，由AB•DK＝AD•OB＝S△ABD，求出DK的长，得到DL的长，可判断△ADL是等边三角形，∠DAK＝∠DAL＝30°；再通过计算证明AK＝EK，可得∠AED＝∠DAK，求得∠AED的度数；
（3）先证明含30°角的直角三角形的三边的比是1：2：，再按DF或DG在OA上、EG或EF在AB上分类讨论，求出相应的t的值．
【解答】解：（1）当y＝0时，由﹣x+11＝0得，x＝11；当x＝0时，y＝11，
∴A（11，0），B（0，11），
∵∠AOB＝90°，OA＝11，OB＝11，
∴AB＝＝22.
（2）如图1，作DK⊥AB于点K，延长DK到点L，使KL＝DK，连结AL、BD，
由题意得，AD＝2t，BE＝t，
当t＝4﹣2时，AD＝2（4﹣2）＝8﹣4，BE＝4﹣2，
∵AB•DK＝AD•OB＝S△ABD，
∴22DK＝（8﹣4）×11，
解得，DK＝4﹣2，
∴DL＝2DK＝2（4﹣2）＝8﹣4，
∴AD＝DL，
∴AD＝AL＝DL，
∵△ADL是等边三角形，
∴∠DAL＝60°，
∴∠DAK＝∠DAL＝30°；
∵∠AKD＝90°，
∴AK＝＝，
∴EK＝22﹣（4﹣2）﹣（）＝，
∴AK＝EK，
∴AD＝ED，
∴∠AED＝∠DAK＝30°．
（3）存在．
如图2，在BO的延长线上取一点H，使OH＝OB，连结AH，
由（2）得，∠OAB＝30°，
∵AO⊥BH，
∴AB＝AH，
∴∠OAH＝∠OAB＝30°，
∴∠BAH＝60°，
∴△BAH是等边三角形；
设OB＝a，则AB＝BH＝2a，
∴OA＝＝a，
可得，在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么30°角所对的直角边与斜边、另一直角边的比为1：2：，
当DG边在OA上，如图2，则∠AGE＝90°，
∴EG＝AE＝（22﹣t），
∴（22﹣t）+2t＝×（22﹣t），
解得，t＝；
当EF边在AB上，如图3，则∠AFD＝90°，
∴EF＝DF＝AD＝2t＝t，
∴AF＝DF＝t，
∴2t+t＝22，
解得，t＝44﹣22；
当DF边在OA上，如图4，则∠AFE＝90°，
∴AF＝EF，
∵EF＝DF，AF+DF＝AD＝2t，
∴EF+EF＝2t，
∴EF＝（﹣1）t，
∵AE＝2EF，
∴22﹣t＝2（﹣1）t，
解得，t＝4+2；
当EG边AB上，如图5，则∠AGD＝90°，
∵EG＝DG＝AD＝t，AG＝DG，
∴22﹣t+t＝t，
解得，t＝．
综上所述，t＝或t＝44﹣22或t＝4+2或t＝．
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