2022年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷

这是一份2022年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7B．7C．D．﹣
2．（3分）光年（lightyear）是天文学中使用的长度单位，主要用于计算太阳系外天体之间的距离，1光年是指光在真空中一年时间所走的距离，约等于94600亿千米，数值“94600亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．9.46×1012B．9.46×1011C．9.46×105D．9.46×104
3．（3分）下列不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2y＝5xyB．7x2﹣3x2＝4
C．（a2）3⋅a4＝a9D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
6．（3分）若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值不能是（ ）
A．2B．0C．D．
7．（3分）如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A．AE⊥BCB．AB＝AC
C．AE＝BCD．AE是△ABC的角平分线
8．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线必定不经过（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，3）C．（3，9）D．（1，﹣3）
9．（3分）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转，使点B、C、D分别落在E、F、G处，且B、E、D、F在一直线上，若E恰好是BD的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）例如44x+64＝328，等，像这样的方程叫做一元一次方程．请写出一元一次方程的共同特点： ．
12．（3分）因式分解：2am2﹣8a＝ ．
13．（3分）要想了解一本300页的书稿大约共有多少字，从中随机地选定一页做调查，数一数该页的字数．以下说法：①这本300页书稿的字数是总体；②每页书稿是个体；③从该书稿中选定的那一页的字数是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 ．
14．（3分）如图1，在扇形OAB中，∠O＝60°，点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动到点B．图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则扇形OAB的周长是 cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E是BC上一动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF交CD于点M，当△DFM是直角三角形时，线段BE的长为 ．
三、解答题。（共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）求不等式组2≤3x﹣7＜8的所有整数解．
17．（9分）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：
90，91，91，92．
b．乙校20名志愿者的成绩成绩是：
82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，α＝ °．
（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．
（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？
18．（9分）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．据统计，近五年该村农户老王年度纯收入如表所示：
若记2017年度为第1年，在直角坐标系中用点A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）表示近五年农户老王纯收入的年度变化情况，如图所示．
拟用下列三个函数模拟农户老王从2017年开始的年度纯收入变化趋势：，y＝kx+b（k＞0），y＝ax2+0.5x+c（a＞0），以便估算农户老王2022年度的纯收入．
（1）能否选用函数）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）农户老王准备在2022年底购买一台价值22万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测农户老王2022年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
19．（9分）如图，一艘货船以20nmile/h的速度向正南方向航行，在A处测得灯塔B在南偏东40°方向，航行5h后到达C处，测得灯塔B在北偏东60°方向，求C处距离灯塔B的距离BC．（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，）
20．（9分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G．
（1）求证：AF＝FG；
（2）从以下两题中任选一题解答，若两题都答仅以第1题计分：
①过D作⊙O的切线交BA延长线于点H，如图2，当E是OA中点时，求的值；
②图1中，连接BC，若BC＝4，AB＝6，求AE的长．
21．（9分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．
（1）求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
（2）该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？
22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）当m＝3时，设点P（x，y1），Q（4，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，直接写出x1的取值范围；
（2）若点A（1，y3）、B（4，y4）在该抛物线上，且y3＞y4，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．
23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务：
任务：
（1）小明的作图依据是 ．
（2）判断小军作图得到的直线CP是否是线段AB的垂直平分线？并说明理由；
（3）如图③，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝30°，点D、E分别是射线CA、CB上的动点，且CD＝CE，连接BD、AE，交点为P，当，∠PAB＝45°时，直接写出线段CD的长．
2022年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共30分。下列各小题只有一个答案是正确的。）
1．（3分）﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7B．7C．D．﹣
【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
【解答】解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）＝0，则﹣7的相反数是7．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）光年（lightyear）是天文学中使用的长度单位，主要用于计算太阳系外天体之间的距离，1光年是指光在真空中一年时间所走的距离，约等于94600亿千米，数值“94600亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．9.46×1012B．9.46×1011C．9.46×105D．9.46×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：94600亿＝9460000000000＝9.46×1012．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列不是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：选项A、B、C中三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
选项D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确棱柱的展开图的特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+2y＝5xyB．7x2﹣3x2＝4
C．（a2）3⋅a4＝a9D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、3x与2y不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、7x2﹣3x2＝4x2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a2）3⋅a4＝a6⋅a4＝a10，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x﹣y）2+4xy＝x2﹣2xy+y2+4xy＝（x+y）2，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式．解题的关键是掌握合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【分析】根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝25°，∠PCB＝40°，
∴∠BPC＝115°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值不能是（ ）
A．2B．0C．D．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2+4k＞0，然后解不等式得到k的范围，则可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，
解得k＜，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A．AE⊥BCB．AB＝AC
C．AE＝BCD．AE是△ABC的角平分线
【分析】连接DE，FE．利用三角形中位线定理和菱形的判定与性质进行分析判断．
【解答】解：如图，连接DE，FE．
∵D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AF，EF∥AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
若AE、DF互相垂直平分，则四边形ADEF是菱形．
A、若AE⊥BC时，AE⊥DF，四边形ADEF是菱形，不符合题意；
B、若AB＝AC时，AD＝AF＝EF＝DE，四边形ADEF是菱形，不符合题意；
C、若AE＝BC时，不能判定四边形ADEF是菱形，符合题意；
D、若AE是△ABC的角平分线时，四边形ADEF是菱形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线必定不经过（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，3）C．（3，9）D．（1，﹣3）
【分析】先求出二次函数平移后的解析式，然后将x＝0，﹣1，3，1代入解析式求解．
【解答】解：将y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到抛物线解析式为y＝3（x﹣1）2﹣3，
将x＝0代入y＝3（x﹣1）2﹣3得y＝0，
将x＝﹣1代入y＝3（x﹣1）2﹣3得y＝9，
将x＝3代入y＝3（x﹣1）2﹣3得y＝9，
将x＝1代入y＝3（x﹣1）2﹣3得y＝﹣3，
∴抛物线不经过（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数平移的规律，掌握二次函数与方程的关系．
9．（3分）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球颜色相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
所有可能的结果有9种，两次摸出颜色相同球的结果有5种；
则两次摸出的球颜色相同的概率是；
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）如图，将平行四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转，使点B、C、D分别落在E、F、G处，且B、E、D、F在一直线上，若E恰好是BD的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】先利用旋转的性质得∠1＝∠2，BE＝BD，AB＝AE，再证明∠1＝∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得，然后证明AD＝BD即可得到的值．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，
∴∠1＝∠2，BE＝BD，AB＝AE，
∵EF∥AG，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB：BD＝BE：AB，∠AEB＝∠DAB，
∴AB2＝BD2，
∴，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴DB＝DA，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）例如44x+64＝328，等，像这样的方程叫做一元一次方程．请写出一元一次方程的共同特点： 只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1 ．
【分析】利用一元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵只含有一个未知数，并且未知数的最高次为1的整式方程是一元一次方程，
∴一元一次方程的共同特点有：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，
故答案为：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
12．（3分）因式分解：2am2﹣8a＝ 2a（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提公因式2a，再利用平方差公式分解因式可求解．
【解答】解：原式＝2a（m2﹣4）
＝2a（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2a（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题主要考查因式分解﹣提公因式法与公式法的综合运用，找准公因式是解题的关键．
13．（3分）要想了解一本300页的书稿大约共有多少字，从中随机地选定一页做调查，数一数该页的字数．以下说法：①这本300页书稿的字数是总体；②每页书稿是个体；③从该书稿中选定的那一页的字数是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 ①③ ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：①这本300页书稿的字数是总体，故①说法正确；
②每页书稿的字数是个体，故②说法错误；
③从该书稿中选定的那一页的字数是总体的一个样本，故③说法正确；
④样本容量是一，故④说法错误；
故答案为：①③．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
14．（3分）如图1，在扇形OAB中，∠O＝60°，点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动到点B．图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则扇形OAB的周长是 （8+） cm．
【分析】当点P在点A时，此时△OBP的面积y＝OB×AH＝4，求出a的值；当点P在上运动时，AB的弧长为：×2π×OA，进而求解．
【解答】解：①当点P在OA段运动时，
连接AB，过点A作AH⊥OB于点H，
则当点P在点A时，AO＝a＝OB，
则此时△OBP的面积y＝OB×AH＝a•asin∠AOB＝a2＝4，
解得：a＝4（负值已舍去）；
②当点P在上运动时，
AB的弧长为：×2π×OA＝×2π×4＝，
∴扇形OAB的周长是：2a+b＝2×4+＝8+．
故答案为：（8+）．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、弧长的求法、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E是BC上一动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF交CD于点M，当△DFM是直角三角形时，线段BE的长为 或7 ．
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，当∠FMD＝90°时，
∵∠F＝∠B，∠FMD＝∠ACB＝90°，
∴△FDM∽△BAC，
∴，
∴，
∴DM＝3，
∴CM＝CD﹣DM＝2，
∵∠ECM＝∠B，
∴∠CME＝∠ACB＝90°，
∴△CEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴CE＝，
∴BE＝；
当∠FDM＝90°时，如图，
∵∠F＝∠BCD，∠FMD＝∠CME，
∴∠CEM＝∠FDM＝90°，
∴∠FED＝∠BED＝45°，
作DH⊥BC于H，
则△BDH∽△BAC，
∴，
∴，
∴DH＝3，BH＝4，
∴EH＝DH＝3，
∴BE＝3+4＝7．
综上所述，BE＝或7，
故答案为：或7．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题。（共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）求不等式组2≤3x﹣7＜8的所有整数解．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先将2≤3x﹣7＜8转化为不等式组，然后解出每个不等式的解集，从而可以得到不等式组的解集，再写出该不等式组的整数解即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣1+（﹣2）
＝0；
（2）由2≤3x﹣7＜8可得：
，
解不等式①，得：x≥3，
解不等式②，得：x＜5，
∴原不等式组的解集是3≤x＜5，
∴该不等式组的所有整数解是3，4．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数的运算法则．
17．（9分）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：
90，91，91，92．
b．乙校20名志愿者的成绩成绩是：
82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．
d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：a＝ 91.5 ，b＝ 96 ，α＝ 126° °．
（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．
（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？
【分析】（1）求出甲校D组的占比，进而求出C组的占比，求出C组的人数，根据中位数的意义，可得a，从乙校成绩中找出出现次数最多的数即为众数b，求出A、B、C三组人数的比例乘以360°即可得α的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数、方差等比较做出判断即可；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．80，82，85，87，88，89，89，91，92，92，93，94，96，96，96，96，97，98，99，100．
【解答】解：（1）甲校D组所占的百分比为：＝20%，
甲校C组所占的百分比为：1﹣5%﹣5%﹣45%﹣20%＝25%，
C组的人数为20×25%＝5（名），
∴甲校的中位数a＝＝91.5，
乙校的出现次数最涉感是96，因此众数是96，即b＝96．
a＝360°x （5%+5%+25%）＝126°，
故答案为：91.5，96，126；
（2）乙校志愿者测试成绩较好．理由如下：
∵甲、乙两校的平均数虽然相同，但是乙校的中位数、众数均比甲校的大，
甲校的方差为36.6，乙校的方差是31.4，
而36.6＞31.4，
∴乙校的成绩较为稳定，
∴乙校志愿者测试成绩较好；
（3）根据题意得：甲校20名志愿者成绩在90分以上的人数为：20×（45%+20%）﹣1＝12，
20名志愿者成绩在90分以上的人数为13，
∴（人），
答：成绩在90分以上的志愿者有315人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
18．（9分）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．据统计，近五年该村农户老王年度纯收入如表所示：
若记2017年度为第1年，在直角坐标系中用点A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）表示近五年农户老王纯收入的年度变化情况，如图所示．
拟用下列三个函数模拟农户老王从2017年开始的年度纯收入变化趋势：，y＝kx+b（k＞0），y＝ax2+0.5x+c（a＞0），以便估算农户老王2022年度的纯收入．
（1）能否选用函数）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）农户老王准备在2022年底购买一台价值22万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测农户老王2022年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
【分析】（1）由数据的变化大小或者由m＝xy计算判断；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论．
【解答】解：（1）∵1×2.5＝2.5，2×4.5＝9，
∴2.5≠9，
∴不能选用函数进行模拟；
（2）选用y＝ax2+0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数，
由A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2+0.5x+c（a＞0）模拟；
（3）把A（1，2.5），B（2，4.5）代入y＝ax2+0.5x+c（a＞0）得：
，
解得：
∴y＝0.5x2+0.5x+1.5，
经检验，点C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）也满足，
当x＝6时，y＝0.5×36+0.5×6+1.5＝22.5，
∵22.5＞22，
∴农户老王2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．
19．（9分）如图，一艘货船以20nmile/h的速度向正南方向航行，在A处测得灯塔B在南偏东40°方向，航行5h后到达C处，测得灯塔B在北偏东60°方向，求C处距离灯塔B的距离BC．（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，）
【分析】过点B作BH⊥AC，垂足为H，由锐角三角函数定义得BH＝CH，BC＝2CH，AH＝，进而求出CH的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝40°，∠BCA＝60°，AC＝20×5＝100（nmile），
在Rt△CBH中，，，
∴，，
在Rt△BAH中，，
∴AH＝＝，
又∵AC＝AH+CH，
∴，
解得：，
∴，
答：C处距离灯塔B的距离BC约为65.4nmile．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（9分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G．
（1）求证：AF＝FG；
（2）从以下两题中任选一题解答，若两题都答仅以第1题计分：
①过D作⊙O的切线交BA延长线于点H，如图2，当E是OA中点时，求的值；
②图1中，连接BC，若BC＝4，AB＝6，求AE的长．
【分析】（1）连接AD，BC，根据同角的余角相等得到∠ADE＝∠ABD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠DAC＝∠ABD，进而证明AF＝DF，再证明DF＝FG，等量代换证明结论；
（2）①连接OD、AD，根据切线的性质得到OD⊥DH，证明△OAD是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可；
②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点，证明Rt△ADE≌Rt△CDH，△BDE≌△BDH，根据全等三角形的性质得到AE＝CH，BE＝BH，计算即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接AD，BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DAB+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵D是AC的中点，
∴∠DAC＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AF＝DF，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠CGB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠EDB＝90°，
∵∠DGF＝∠CGB，∠ABD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠DGF，
∴DF＝FG，
∴AF＝FG；
（2）解：①如图2，连接OD、AD，
∵DH是⊙O的切线，
∴OD⊥DH，
∵DE⊥AB，点E是线段OA的中点，
∴DA＝DO，
∵OA＝DO，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴OD＝OA＝OH，
∴OA＝AH＝AB，
∴＝；
②如图3，连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点，
∵D是AC的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠ABD，AD＝DC．
∵DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DH，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），△BDE≌△BDH（HL），
∴AE＝CH，BE＝BH，
∵BE＝AB﹣AE，BH＝BC+CH，
∴6﹣AE＝4+AE，
∴AE＝1．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
21．（9分）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．
（1）求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
（2）该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以写出费用与购买“雪容融”数量的函数关系式，根据购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，可以列出不等式，求出购买“雪容融”数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时，购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元．
【解答】解：（1）设“雪容融”毛绒玩具的单价为x元/件，则“冰墩墩”的毛绒玩具的单价为1.2x元/件，
由题意得：，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∴1.2x＝120，
答：“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具分别是120元/件、100元/件；
（2）设购买“雪容融”毛绒玩具m件，购买两种玩具的总费用为w元，
由题意，得：w＝100m+120（200﹣m）＝﹣20m+24000，
∴w随m的增大而减小，
∵购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，
∴m≤（200﹣m），
解得m≤50，
∴当m＝50时，w取得最小值，此时w＝23000，
答：购买“雪容融”毛绒玩具50件时总费用最低，最低费用是23000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）当m＝3时，设点P（x，y1），Q（4，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，直接写出x1的取值范围；
（2）若点A（1，y3）、B（4，y4）在该抛物线上，且y3＞y4，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．
【分析】（1）由m＝3及抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出点Q的对称点的横坐标，进而求解．
（2）分别将A（1，y3）、B（4，y4）代入函数解析式，然后由y3﹣y4＞0求解．
（3）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，分类讨论x＝1时y取最小值，x＝3时y取最小值．
【解答】解：（1）m＝3时，y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
点Q（4，y2）关于对称轴对称的对称点为Q'（2，y2），
∵y1＞y2，
∴x＜2或x＞4．
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝m，
解法一：∵，a＝1开口向上，如图，
∴当对称轴大于时满足题意，
∴．
解法二：∵点A（1，y3）、B（4，y4）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，
∴，，
又∵y3＞y4，
∴，
解得．
（3）抛物线的对称轴为直线x＝m，
当m＜1时，y随x增大而增大，故当x＝1时，y有最小值3．
∴（1﹣m）2﹣1＝3，
解得m1＝3（舍去），m2＝﹣1；
当1＜m＜3时，x＝m，y＝﹣1不合题意舍去；．
当m＞3时，y随x增大而减小，故当x＝3时，y有最小值3，
∴（3﹣m）2﹣1＝3，
解得m1＝1（舍去），m2＝5，
综上所述，m的值为﹣1或5．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务：
任务：
（1）小明的作图依据是 等腰三角形的三线合一 ．
（2）判断小军作图得到的直线CP是否是线段AB的垂直平分线？并说明理由；
（3）如图③，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝30°，点D、E分别是射线CA、CB上的动点，且CD＝CE，连接BD、AE，交点为P，当，∠PAB＝45°时，直接写出线段CD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质写出依据；
（2）证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，得到CA＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（3）分点D、E分别在线段CA、CB上，点D、E分别在CA延长线上、CB延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）小明的作图依据是等腰三角形的三线合一，
故答案为：等腰三角形的三线合一；
（2）是，
理由如下：由作图可知，CA＝CB，CD＝CE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴AP＝BP，
∴直线CP是线段AB的垂直平分线；
（3）如图③，点D、E分别在线段CA、CB上，过点P作PF⊥AB于F，
由（2）的方法可证，PA＝PB，
∵PA＝PB，∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝，
∴PA＝PB＝AB＝，
∵CA＝CB，∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠CBA＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴CD＝BD＝AE，
在Rt△BPE中，∠PBE＝30°，PB＝，
∴PE＝PB•tan∠PBE＝×＝1，
∴AE＝AP+PE＝+1，
∴CD＝+1，
如图④，点D、E分别在CA延长线上、CB延长线上，过点P作PG⊥AB于G，
∵∠CAB＝75°，∠PAB＝45°，
∴∠PAD＝60°，
∴PD＝AP•tan∠PAD＝3，AD＝＝2，
∴CA＝CB＝BD＝+3，
∴CD＝3+3，
综上所述，线段CD的长为+1或3+3．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识，理解基本尺规作图、掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/26 10:02:57；用户：杜英芳；邮箱：13598200573；学号：21361214学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
36.6
乙
92
92.5
b
31.4
年度（年）
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
2.5
4.5
7.5
11.5
16.5
小明：如图①，
（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB上方交于点C，连接CA，CB；
（2）以点C为圆心，小于CA的长为半径作弧，分别交AC、BC于点D、E；
（3）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
（4）作直线CP．则直线CP即为线段AB的垂直平分线．
小军；我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，我的第（3）步改进如下：
如图②，连接BD、AE，交于点P．其它步骤与小明的完全相同．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
36.6
乙
92
92.5
b
31.4
年度（年）
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
2.5
4.5
7.5
11.5
16.5
小明：如图①，
（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB上方交于点C，连接CA，CB；
（2）以点C为圆心，小于CA的长为半径作弧，分别交AC、BC于点D、E；
（3）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
（4）作直线CP．则直线CP即为线段AB的垂直平分线．
小军；我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，我的第（3）步改进如下：
如图②，连接BD、AE，交于点P．其它步骤与小明的完全相同．