2024年中考数学复习专项试题--12 压轴题

这是一份2024年中考数学复习专项试题--12 压轴题，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题（共10小题）
1．（2024•南岸区校级模拟）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；
以上说法中正确的个数为
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（2024•广平县模拟）如图，线段上有一动点从右向左运动，和分别是以和为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点，为线段的中点；、为线段上两点，且满足，当点从点运动到点时，设点到直线的距离为，点的运动时间为，则与之间函数关系的大致图象是
A．B．
C．D．
3．（2023•资阳模拟）如图，点是双曲线上一点，过作轴，交直线于点，点是轴上一点，连接交双曲线于点，连接，若，的面积为，，则的值为
A．B．C．D．
4．（2023•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是
A．B．C．256D．
5．（2023•龙湾区一模）如图，点为正方形的中心，以的中点为圆心，为半径画弧交的延长线于点．以为边向上作正方形，过点作交于点，取的中点，连结．已知，则的长为
A．B．C．D．3
6．（2023•海曙区模拟）如图，是等边三角形的内切圆，半径为，是的切线，的内切圆切于点，半径为，则
A．B．C．D．
7．（2023•佳木斯三模）如图，在中，，，的平分线交于点，于点，交于点，连接，．下列结论：
①；
②四边形是菱形；
③；
④．
上述结论中正确的序号是
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
8．（2023•濠江区模拟）如图，在中，，分别以，，为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点作分别交三个半圆于点，，．则下列说法：①四边形为矩形；②；③；④两月牙形的面积等于四边形面积的；⑤两月牙形的面积．其中正确结论的个数有
A．1B．2C．3D．4
9．（2023•罗定市三模）如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，，下列结论中：①；②，③，④若，则，正确的有
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
10．（2023•源城区二模）如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点、分别在边和上，且．线段与相交于点，过点作，交于点，射线交的延长线于点，设．下列说法正确的有几个
（1）四边形为平行四边形时，；
（2）；
（3）当点运动时，四边形的面积始终等于；
（4）当是以线段为腰的等腰三角形时，则、2或．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共10小题）
11．（2024•大庆一模）斐波那契数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．若我们把斐波那契数列中第1项表示为，第2项表示为，第3项表示为，以此类推，则 （用含的式子表示）
12．（2023•肇东市校级模拟）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下
①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．
②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．
③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2020圈，求4号箱内有 颗红球．
13．（2023•南安市校级模拟）若正整数，且为整数，，则 ．
14．（2023•铜梁区校级一模）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列；与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于，且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“绝对等差对称数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且，因此12321是一个“绝对等差对称数”，又如262，85258，，都是“绝对等差对称数”，若一个“绝对等差对称数” 各个数位上的数字之和记为．已知一个五位“绝对等差对称数” 能被4整除，且也能被4整除，则的个位数字是 ，的最大值是 ．
15．（2023•思明区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为，现给出以下结论：
①一定是直角三角形；
②一定不是等腰直角三角形；
③存在实数，使得；
④对于任意的正数，都存在，使得；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．（2023•滨湖区二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，则 ；是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于，交于点，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 ．
17．（2023•石家庄模拟）二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，，四边形都是菱形，，则△的边长为 ，菱形的周长为 ．
18．（2024•三元区一模）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：
①；
②若，，则；
③；
④当是的中点时，．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
19．（2023•西城区校级三模）如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有，，的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙” 一定获胜；
（2）若甲首次取走写有，的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
20．（2022•西城区一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数，则由图1可知 1（填“”“ ”或“” ．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为 （结果保留小数点后两位）．
三、解答题（共5小题）
21．（2024•钢城区一模）问题背景：某农户要建一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米．
（1）设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得：水池底面另一边长为 米，可得与的函数关系式为：．
（2）若底面造价为1千元，则得与的函数关系式为 ．
问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数的图象可以由正比例函数的图象向上（下平移个单位得到：受此启发，给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对进行如图象探索：
列表如下
（3）请直接写出，的值；
（4）请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（5）请结合函数的图象，写出当 ，有最小值为 ；
学以致用
根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：
（6）与的函数关系式为 ．
（7）当水池底边长分别为 米时，水池总造价的最低费用为 千元；
（8）若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出的值应控制在什么范围？
22．（2023•宛城区二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）填空： ， ．
（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根 ， ．
（3）已知关于的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．
23．（2023•裕华区校级模拟）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：△，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求△中的值；
（2）证明：△中，无论为何值，总有两个不同的值．
24．（2024•会东县模拟）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．
比如：，当即时，原式；当即时，原式．
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式；
乙的答案：原式．
（3）化简并求值：，其中．
25．（2023•射洪市校级模拟）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔．，年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉，年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，；理由如下：
设，，则，
，由对数的定义得
又
解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：．
（3）拓展运用：计算．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”，
得：，
故①正确；
②对，，5进行“差绝对值运算”得：
，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，
故②不正确；
③对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，只有一个正确的，即①，
故选：．
2．【解答】解：如图，分别延长，交于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
为的中点，
的中点为，
从点运动到点时，始终为的中点，
运动的轨迹是三角形的中位线，
又，
到直线的距离为一定值，
与点移动的时间之间函数关系的大致图象是一平行于轴的射线．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图作于．延长交轴于．
，
，
，设，，则，，
，
，，
的面积为，
，
，
，
故选：．
4．
【解答】解：△是等边三角形，，
的横坐标为，，
设，，则，
解答或（舍，
，，
所在的直线的解析式为，
，，△是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的横坐标为，
，
，，
同理：，，
，，
总结规律：
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
，
点的横坐标是．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：连接，，，，
点为正方形的中心，
点在线段上，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
△△，
，，
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，且，
，
点为的中点，且，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值已舍），
故选：．
6．【答案】
【解答】解：设与、的切点分别是、，与、的切点分别是、，连接、、、、、，过作垂直于，垂足为，则，，，，，，，
，，，
是的角平分线，
，，，
在上，
中，，
①，
中，，
②，
②①得，
，
，
四边形是矩形，
，，
中，，，
，
，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：是直角三角形，，
，
，
，，
，
，
于点，交于点，
，
的平分线交于点，
，
，，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
故②正确；
，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故③正确；
，，
，
故①错误；
，，
，
，
，，
，
，
故④正确，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：①是直径，
．
是直径，
．
，
，
，
四边形是矩形；故①正确；
②四边形是矩形，
，
是直径，
，
，
，故②正确；
③四边形是矩形，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
，
；故③正确；
④直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积
矩形面积的，故④错误；
⑤两月牙形的面积，
，，
，
，故⑤正确，
综上所述：正确结论的个数有①②③⑤，共4个，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确，
，
取的中点，连接、．
，
，
、、、四点共圆，
，故②正确，
如图1中，作于，于，易证，四边形是正方形，
，，
，
，
，即，故③错误，
如图2中，延长到，使得．连接、．
，，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：（1）如图，作，垂足为点，
在中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形时，；
（2）在梯形中，
，
，
，
，
又，
；
（3）在中，
，
，
，
，
又，
，
．
，即．
作，垂足为点．
，
，
．
；
（4）作，垂足为点．
当时，，
，
解得，
当时，，
解得或，
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为、2或．
所以正确的结论有4个．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
【解答】解：由题意可知，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即，，，
原式
，
，
原式，
故答案为：．
12．
【解答】解：根据题意，可知
第1圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，
第2圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，
第3圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，
第4圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，
且第1、4、7、圈会在4号箱内丢一颗红球，
所以为正整数）
解得．
故答案为674．
13．【答案】125．
【解答】解：，，为正整数，且，
，，，
，
即，
又为整数，
，．
若，则，
即，
只能为2，
即，
若，则，
即．
只能为3，
即，
综上，．
故答案为：125．
14．【答案】2或6，67876．
【解答】解：设某五位阶梯数为，
，
是4的倍数，
，，
，
，
是4的倍数，
，
，
，4，
，6，
当时， 为整数且，
，
，3，
，23432，25852；
当时， 为整数且，
，
，，
，65456，67876，
的个位数字是2或6，该五位“阶梯数” 的最大值是67876．
故答案为：2或6，67876．
15．【答案】①②④．
【解答】解：作直线，连接，如图：
直线与双曲线都关于直线对称，
点与点关于直线对称，
，
双曲线关于原点对称，
，
，
，，
，
，
，即，
一定是直角三角形，故①正确；
假设是等腰直角三角形，则，
，
，
设，则，
，，
，
，
这与反比例函数的图象与坐标轴无交点矛盾，
一定不是等腰直角三角形，故②正确；
设，则，
，
，
，
而为直线在轴上的截距，
由图可知，点的横坐标与纵坐标差的绝对值不可能等于，
不存在实数，使得，故③错误；
对于任意的正数，只需在双曲线上取点，使直线与轴正半轴的夹角为，取点，使直线与轴正半轴的夹角为，则，关于直线对称，如图：
，
由双曲线对称性知，
为等边三角形，
，
设，则，
可得直线为，即此时，
对于任意的正数，都存在，使得，故④正确；
正确的有①②④，
故答案为：①②④．
16．【答案】90，或．
【解答】解：在中，令得，令得或，
，，，
，，，
，
；
当时，过作轴于，设交轴于，如图：
，
轴，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，即，
，
；
当时，过作轴于，如图：
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，，
，
即，
，
，
线段的长为或．
故答案为：90，或．
17．【答案】，．
【解答】解：过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点于点，过点于点，
四边形，四边形，四边形，，四边形．都是菱形，，
△是等边三角形，
设点坐标为，则：，
，
，
在△中，，
，
解得：（舍去）或，
，
，
△的边长为，
菱形的周长；
设点坐标为，在△中，，
且，
，
解得，或（舍去），
，
，
，
，
菱形的周长；
同法可得：菱形的周长；
菱形的周长为：；
故答案为：，．
18．【答案】①②④．
【解答】解：①在矩形中，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
；故①正确；
②，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
；故②正确；
③若，，
，
，
，
，，
；故③错误；
④当是的中点时，
设，则，
，
，
，
，
，
．故④正确．
综上所述：①②④．
故答案为：①②④．
19．【答案】（1）乙；
（2）、．
【解答】解：（1）甲首次取走写有、、的三个球，
还剩下、、、、，
又乙首次也取走三个球，但必须相邻，
乙可以取、、或、、，
若乙取、、只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取、、，只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，
故乙拿走最后的一个，故乙胜；
故答案为：乙．
（2）甲首次拿走、两个球，还剩下、、、、、，
①若乙取三个球，
若乙取、、或、、，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取、、，此时甲取，则、不相邻，则甲胜；
若取、、，此时甲取，则不相邻，则甲胜；
②若乙取两个球：
若乙取、，此时甲取、，那么剩下、，不相邻，则甲胜；
若乙取、，此时甲取、，则、不相邻，则甲胜；
若乙取、，
此时甲取、或、，则乙胜；
若甲或，那么乙取或，则乙胜；
若甲取或，那么乙取或，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取、．
故答案为：、．
20．【答案】，1.27．
【解答】解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即，
，
，
由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，
稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，
矩形的长为，等腰三角形的高为，稻叶的宽为，
，
故答案为：，1.27．
三、解答题（共5小题）
21．【答案】（1）；
（2）；
（3），；
（4）答案见解析；
（5）1，3；
（6）；
（7）1，5；
（8）．
【解答】解：（1）水池底面一边长为米，底面积为1平方米，
水池的另一边长米．
故答案为：；
（2）底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米，
．
故答案为：；
（3）当时，；
当时，；
（4）
（5）由图象可得，当时，最小．
故答案为：1，3；
（6）底面造价为3千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米，
．
故答案为：；
（7）由函数平移的性质可得：函数是由函数向上平移2个单位得到的，
函数的最低点的坐标为，
函数的最低点的坐标为．
故答案为：1，5；
（8）该农户预算不超过5.5千元，函数是由函数向上平移2个单位得到的，
找到函数图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的的值即可．
．
22．【答案】（1），；
（2），；
（3）或4．
【解答】解：（1）根据题意得：，．
故答案为：，；
（2）对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
，；
故答案为：，；
（3），，，
方程的两根之和为，两根之积为．
两根之和与两根之积的和等于2，
，
解得或．
23．
【解答】解：（1）由题意可得：△，
整理得：，
解得：，．
故的值为或3；
（2）证明：由题意可得：△，
整理得：，
△．
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根，即无论为何值，总有两个不同的值．
24．【答案】（1）当即时，原式，
当即时，原式．
（2）乙的答案正确．
（3）．
【解答】解：（1）
，
当即时，原式，
当即时，原式．
（2），
，
原式．
乙的答案正确．
（3），
，，
．
25．【答案】（1）；
（2）见解答过程；
（3）1．
【解答】解：（1）转化为对数式为：，
故答案为：；
（2）证明：设，，则，，
，由对数的定义得，
又，
，
即；
（3）
．1
2
3
4
3
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得： ， ．