2025高考物理一轮总复习第11章磁场第28讲带电粒子在匀强磁场中运动提能训练

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题组一 洛伦兹力的特点及应用
1.图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，一个带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( B )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
[解析] 在O点处，各导线中电流产生的磁场的磁感应强度叠加，d、b导线中电流在O点产生的磁场抵消，a、c导线中电流在O点产生的磁场合矢量方向向左。带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，由左手定则可判断出它所受洛伦兹力的方向向下，B正确。
2．(多选)如图所示，匀强磁场的方向竖直向下，磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑、底部有带电小球的试管，在水平拉力F的作用下，试管向右匀速运动，带电小球能从管口处飞出，则( BD )
A．小球带负电
B．小球运动的轨迹是一条抛物线
C．洛伦兹力对小球做正功
D．维持试管匀速运动的拉力F应逐渐增大
[解析] 小球能从管口处飞出，说明小球受到指向管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电，故A错误；由题知试管向右匀速运动，则小球在水平向右方向上做匀速运动，设试管运动速度为v1，小球沿试管方向受到的洛伦兹力F1＝qv1B，q、v1、B均不变，F1不变，则小球沿试管方向做匀加速直线运动，与平抛运动类似，小球运动的轨迹是一条抛物线，故B正确；洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C错误；设小球沿试管方向的分速度大小为v2，则小球受到垂直试管向左的洛伦兹力F2＝qv2B，v2增大，则F2增大，而拉力F＝F2，则F逐渐增大，故D正确。
题组二 带电粒子在匀强磁场中的运动
3．(2024·重庆市涪陵高三阶段练习)如图所示，虚线左侧的匀强磁场磁感应强度为B1，虚线右侧的匀强磁场磁感应强度为B2，且2B1＝B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的( B )
A．速率将加倍
B．轨迹半径将减半
C．周期将加倍
D．做圆周运动的角速度将减半
[解析] 由于洛伦兹力不做功，则带电粒子的速率不变，故A错误；根据牛顿第二定律qvB＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(mv,Bq)，又有2B1＝B2，则R1＝2R2，即粒子轨迹半径减半，故B正确；根据T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,Bq)，又有2B1＝B2，则T1＝2T2，即周期将减半，故C错误；根据ω＝eq \f(2π,T)，可知ω1＝eq \f(1,2)ω2，即做圆周运动的角速度将加倍，故D错误。
4．(多选)如图所示，在水平虚线MN边界的下方是一垂直纸面向里的匀强磁场，质子(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)先后从边界上的A点沿与虚线MN边界成θ＝45°角的方向射入磁场，两粒子均从B点射出磁场。不计粒子的重力，则( ABC )
A．两粒子在磁场中运动的轨迹相同
B．两粒子在磁场中运动的速度大小之比为2∶1
C．两粒子在磁场中运动的动能相同
D．两粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1
[解析] 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，质子和α粒子从同一点沿相同的方向射入磁场，然后从同一点离开磁场，则它们在磁场中运动的轨迹相同，A正确；两粒子的运动轨迹相同，则它们的轨道半径也一定相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，设质子的质量为m1，带电荷量为q1，在磁场中运动的速度大小为v1，α粒子的质量为m2，带电荷量为q2，在磁场中运动的速度大小为v2，则eq \f(m1v1,q1B)＝eq \f(m2v2,q2B)，即eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2q1,m1q2)＝eq \f(2,1)，B正确；设质子的动能为E1，α粒子的动能为E2，则eq \f(E1,E2)＝eq \f(\f(1,2)m1v\\al(2,1),\f(1,2)m2v\\al(2,2))＝eq \f(1,1)，C正确；两粒子在磁场中运动的轨迹相同，运动的速度大小之比为2∶1，则两粒子在磁场中运动的时间之比为1∶2，D错误。
5.如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是( D )
A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B．质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为eq \f(mvcs θ,eB)
C．质子做螺旋线运动的周期为eq \f(2πm,eBsin θ)
D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为eq \f(2πmvcs θ,eB)
[解析] 将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1＝vsin θ，沿磁场方向的速度v2＝vcs θ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝eq \f(mv1,eB)＝eq \f(mvsin θ,eB)，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为T＝eq \f(2πr,v1)＝eq \f(2πm,eB)，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝v2T＝eq \f(2πmvcs θ,eB)，选项D正确。
6．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( B )
A.粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶eq \r(3)
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为eq \r(3)∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
[解析] a粒子向上偏转，由左手定则得，a粒子带正电，b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故B正确；由qvB＝meq \f(v2,R)得v＝eq \f(qBR,m)，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故C错误；粒子运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，Ta＝Tb，a运动时间ta＝eq \f(60°,360°)Ta＝eq \f(1,6)Ta＝eq \f(1,6)T，b运动时间tb＝eq \f(30°,360°)Tb＝eq \f(1,12)Tb＝eq \f(1,12)T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。
7．(2024·湖北高三调研)如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb。当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( A )
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
[解析] 如图所示
设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝eq \f(2,3)π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝eq \f(π,3)，根据qvB＝meq \f(v2,r)得v＝eq \f(qBr,m)，故eq \f(vb,vc)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,2)，由T＝eq \f(2πr,v)得T＝eq \f(2πm,qB)，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又因为t＝eq \f(θ,2π)T，可得eq \f(tb,tc)＝eq \f(θ1,θ2)＝2，A正确，B、C、D错误。
8.如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是( C )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
[解析] 由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝meq \f(v2,R)，T＝eq \f(2πR,v)，解得T＝eq \f(2πm,qB)，可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝eq \f(θ,2π)T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝eq \r(3)r，根据qBv＝meq \f(v2,r)，可得eq \f(va,vb)＝eq \f(ra,rb)＝eq \f(\r(3),3)，C项正确；由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以eq \f(tb,td)＝eq \f(θb,θd)＝eq \f(60°,45°)＝eq \f(4,3)，D项错误。
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9.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为( C )
A.eq \r(3)∶2 B．eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
[解析] 设速率为v1的粒子最远出射点为M，速率为v2的粒子最远出射点为N，如图所示，则由几何知识得r1＝eq \f(PM,2)＝eq \f(R,2)，r2＝eq \f(PN,2)＝eq \f(\r(3),2)R，eq \f(r2,r1)＝eq \f(\r(3),1)，由qvB＝eq \f(mv2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，故eq \f(v2,v1)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(\r(3),1)，选项C正确。
10．(2023·北京卷)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l(l≫a)。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为＋q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是( C )
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为eq \f(Bqa,v)
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
[解析] 带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r＝a，故A正确，不符合题意；根据qvB＝meq \f(v2,r)，可得粒子的质量m＝eq \f(Bqa,v)，故B正确，不符合题意；管道内的等效电流为I＝NqSv，单位体积内电荷数为eq \f(n,πa2v)，则I＝eq \f(n,πva2)qπa2v＝nq，故C错误，符合题意；由动量定理可得FΔt＝2NmΔtv，粒子束对管道的平均作用力大小F′×eq \f(2a,l)＝F，联立解得F′＝nBql，故D正确，不符合题意。故选C。
11．(多选)如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ＝53°角垂直磁场射入，从磁场右边界上点P(7d，d)离开。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，重力不计，取sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。下列说法正确的是( BC )
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为eq \f(5qBd,m)
C．粒子从P点射出时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
[解析] 根据粒子轨迹的方向结合左手定则知，带电粒子带负电，A项错误；根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，作入射速度的垂线，连接OP作中垂线，两线相交于A点，A点即为轨迹的圆心，设OP与x轴夹角为α，由几何关系有sin α＝eq \f(d,OP)，cs α＝eq \f(7d,OP)，OP＝eq \r(d2＋7d2)＝5eq \r(2)d，r＝eq \f(\f(1,2)OP,cs37°＋α)，所以得到cs(37°＋α)＝cs 37°cs α－sin 37°sin α＝eq \f(\r(2),2)，r＝5d，由牛顿第二定律得qvB＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \f(5qBd,m)，B项正确；根据以上分析知37°＋α＝45°，故α＝8°，设粒子射出磁场的速度与x轴正向夹角为β，速度的偏转角与粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可知出射速度方向与x轴的夹角为37°，C项正确；由于2r＝10d>7d，T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)故粒子在磁场中不能完成半个圆周运动，运动时间不能达到eq \f(1,2)T＝eq \f(πm,qB)，若改变粒子的入射方向，在磁场中运动时间最长的粒子的入射速度方向是沿着y轴正方向进入磁场的粒子，此时粒子在磁场中运动的时间t