2025高考物理一轮总复习第8章机械振动机械波实验9用单摆测定重力加速度提能训练

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(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用图_乙__来做实验。
(2)实验过程小博同学分别用了图a、b两种不同方式悬挂小钢球，你认为_b__(填“a”或“b”)悬挂方式较好。
(3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为_1.89__s。(保留3位有效数字)
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T＝T0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋asin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)))))，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数；为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有_T(或t、n)、θ__；某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线的斜率表示 eq \f(1,aT0) 。
[解析] (1)单摆在摆动过程中，阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选铁球；摆长不能过小，一般取1 m左右的细线，故选乙。
(2)如果选a方式，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选b方式。
(3)由题图可知，单摆完成40次全振动的时间75.5 s，所以单摆的周期T＝eq \f(75.5 s,40)＝1.89 s。
(4)根据T＝T0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋asin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)))))可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ，由T＝T0eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋asin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)))))有，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)))＝eq \f(1,aT0)T－eq \f(1,a)，所以图线的斜率为eq \f(1,aT0)。
2．某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这颗古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ.从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝_4.71__s。
(2)经百度查得该地区的重力加速度为9.79 m/s2，可估得该古树的树围C＝_5.5__m。(结果保留两位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值_>__(填“>”“<”或“＝”)真实值。
[解析] (1)从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝eq \f(41－1,2)＝20个周期，总时间为n·T＝t，解得T＝eq \f(t,n)＝4.71 s。
(2)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得摆长为l＝eq \f(T2g,4π2)＝eq \f(4.712×9.79,4×3.142) m≈5.5 m，摆长即为古树的树围，即C＝l＝5.5 m。
(3)山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，而计算所使用的重力加速度偏大，所以该古树树围的测量值>真实值。
3．(1)如图1所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用停表记录下单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为_99.7__s。
(2)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图2所示，这样做的目的是_AC__(填选项前的字母)。
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(3)小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L－T2的图像如图3所示，则其作出的图线是_图线2__(选填“图线1”“图线2”或“图线3”)。若作出的图线的斜率为k，则能否根据图像得到当地的重力加速度？答：_g＝4π2k__。(若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式)
[解析] (1)由题图可知，小表盘分度值为30 s，大表盘分度值为0.1 s，秒表指针所指位置即为该时刻对应位置，不需要估读，此时小表盘指针指在1.5和2之间，读数记为90 s，则大表盘读数应为9.7 s，所以该次实验中50次全振动所用时间为99.7 s。
(2)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能使周期测量更加准确，也无法保证摆球在同一竖直平面内摆动。故AC正确。
(3)设摆球的半径为r，根据单摆周期公式可得T＝2πeq \r(\f(L＋r,g))，整理得L＝eq \f(gT2,4π2)－r
由上式可知小金同学作出的图线应具有横截距，即图线2。图线的斜率为k＝eq \f(g,4π2)，解得g＝4π2k。
4.某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5° ；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d(读数如图)。
(1)该单摆在摆动过程中的周期为 eq \f(2t,n－1) 。
(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝ eq \f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2)))n－12,t2) 。
(3)从图可知，摆球的直径为_5.980__mm。
(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的_BD__。
A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
[解析] (1)单摆在摆动过程中从第1次到第n次经过最低点，经历的周期数是eq \f(n－1,2)个，周期为T＝eq \f(t,\f(n－1,2))＝eq \f(2t,n－1)。
(2)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，l＝L＋eq \f(d,2)，T＝eq \f(2t,n－1)，解得g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2)))n－12,t2)。
(3)螺旋测微器的主尺读数为5.5 mm，可动刻度读数为48.0×0.01 mm＝0.480 mm，则摆球的直径为5.980 mm。
(4)单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，摆长的测量值偏小，根据g的表达式，重力加速度的测量值偏小，故A错误；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，根据g的表达式，重力加速度的测量值偏大，故B正确；以摆线长作为摆长计算，摆长的测量值偏小，根据g的表达式，重力加速度的测量值偏小，故C错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，摆长的测量值偏大，根据g的表达式，重力加速度的测量值偏大，故D正确。
5．(2023·河北卷)某实验小组利用图示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验，下列说法正确的是_ABD__。(多选)
A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球
D．应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图，小钢球直径d＝_20.035__mm，记摆长l＝L＋eq \f(d,2)。
(3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l－T2图像，如图。
根据图线斜率可计算重力加速度g＝_9.87__m/s2(保留3位有效数字，π2取9.87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将_不变__(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析] (1)使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确；测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确；单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误；无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用T＝2πeq \r(\f(l,g))计算单摆的周期，故D正确。故选ABD。
(2)小钢球直径为d＝20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm。
(3)单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
整理得l＝eq \f(g,4π2)T2
由图像知图线的斜率
k＝eq \f(g,4π2)＝eq \f(1.10－0.60,4.40－2.40) m/s2＝eq \f(1,4) m/s2
解得g＝9.87 m/s2。
(4)若将摆线长度L误认为摆长l，有T＝2πeq \r(\f(L＋\f(d,2),g))
则得到的图线为L＝eq \f(gT2,4π2)－eq \f(d,2)
仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为eq \f(g,4π2)，故得到的重力加速度值不变。