2025高考物理一轮总复习第4章抛体运动与圆周运动第13讲圆周运动提能训练

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题组一 圆周运动的运动学分析
1．(2023·湖北黄石高一统考期末)2023年5月28日，我国自主研制的大型客运飞机C919从上海虹桥飞抵北京首都国际机场，标志着中国造大飞机正式迈入商业运营阶段。若客机空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是( D )
A．转弯半径为L
B．转弯半径为eq \f(θL,t)
C．客机所受向心力大小为eq \f(mL,t2)
D．客机所受向心力大小为eq \f(mLθ,t2)
[解析] 转弯半径为r＝eq \f(L,θ)，A、B错误；客机所受向心力大小为F＝mω2r，又因为ω＝eq \f(θ,t)，解得F＝eq \f(mLθ,t2)，C错误，D正确。故选D。
2．(2023·江西上饶高一统考期末)《天工开物》少儿百科中介绍了古法制糖工艺，用糖车挤压甘蔗收集汁水，其简化模型的俯视平面图如图所示。手柄上的A点到转动轴轴心O点的距离为4R，两个半径为R的圆柱体表面有两个点B和C，则A、B、C三点的线速度大小之比为( C )
A．1∶4∶1 B．1∶4∶4
C．4∶1∶1 D．4∶1∶4
[解析] A、C为同轴转动，角速度相同，则根据v＝ωr，可知vA∶vC＝4∶1，B、C两点线速度相同，则vA∶vB∶vC＝4∶1∶1，故选C。
3．(2024·河南平顶山统考期末)如图所示，是一种能够实现换挡变速的自行车，通过改变链条链接的脚踏齿轮半径或从动轮齿轮半径实现换挡变速。已知人踩脚踏板的速率大小不变，下列说法正确的是( B )
A．链条链接的脚踏齿轮半径增大了，则行驶速度减小
B．链条链接的从动轮齿轮半径减小了，则行驶速度增大
C．链条链接的脚踏齿轮半径和从动轮齿轮半径同比例增大时，则行驶速度增大
D．链条链接的脚踏齿轮半径和从动轮齿轮半径同比例减小时，则行驶速度增大
[解析] 链条传动，线速度相同，继而有ω1r1＝ω2r2，即有ω2＝eq \f(r1,r2)ω1，又有行驶速度v＝ω2r，r为自行车后轮半径，依据题意ω1不变，脚踏齿轮半径r1增大，则有v增大，即行驶速度增大，故A错误；同理，从动轮齿轮半径r2减小，则有v增大，即行驶速度增大，故B正确；链条链接的脚踏齿轮半径和从动轮齿轮半径同比例增大或减小时，则v不变，即行驶速度不变，故C、D错误。故选B。
题组二 圆周运动的动力学分析
4．(多选)如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°(sin 37°＝0.6)，则( AC )
A.A、B两球所受支持力的大小之比为4∶3
B．A、B两球运动的周期之比为2∶eq \r(3)
C．A、B两球的角速度之比为2∶eq \r(3)
D．A、B两球的线速度之比为2∶eq \r(3)
[解析] 圆锥摆的等长模型，角速度ω＝eq \r(\f(g,lcs θ))，l为等效摆长。由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得FN＝eq \f(mg,cs θ)，所以eq \f(FNA,FNB)＝eq \f(cs 37°,cs 53°)＝eq \f(4,3)，故A正确；小球受到的合外力mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq \f(v2,r)，其中r＝Rsin θ，解得T＝eq \r(\f(4π2Rcs θ,g))，ω＝eq \r(\f(g,Rcs θ))，v＝eq \r(gRsin θtan θ)，则eq \f(TA,TB)＝eq \r(\f(cs 53°,cs 37°))＝eq \f(\r(3),2)，eq \f(ωA,ωB)＝eq \r(\f(cs 37°,cs 53°))＝eq \f(2,\r(3))，eq \f(vA,vB)＝eq \r(\f(sin 53°tan 53°,sin 37°tan 37°))＝eq \f(8,3\r(3))，故B、D错误，C正确。
5．(多选)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，若绳子与竖直方向的夹角θ＝37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( ABC )
A．绳的拉力大小为10 N
B．配重的向心加速度大小为7.5 m/s2
C．配重的角速度大小为eq \r(15) rad/s
D．配重的角速度大小为5 rad/s
[解析] 绳的拉力大小F＝eq \f(mg,cs 37°)＝10 N，故A正确；由向心力公式mgtan 37°＝man，可得an＝7.5 m/s2，故B正确；由an＝(Lsin 37°＋rPO)ω2，可得ω＝eq \r(15) rad/s，故C正确，D错误。
6．如图所示，甲汽车在水平路面上转弯行驶。乙汽车在倾斜路面上转弯行驶。关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是( D )
A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用
B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力
[解析] 题图甲中路面对汽车的支持力方向竖直向上，题图乙中路面对汽车的支持力方向垂直路面斜向上，A错误；题图甲中汽车转弯所需的向心力由路面对其指向弯道内侧的摩擦力提供，C错误；题图乙中，当路面的支持力与汽车重力的合力提供向心力时，有mgtan θ＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtan θ)，此时路面对汽车没有摩擦力作用，若v能力综合练
7．如图，一直角斜劈ABC绕其竖直边BC做圆周运动，斜面上小物块始终与斜劈保持相对静止。若斜劈转动的角速度ω缓慢增大，下列说法正确的是( A )
A．斜劈对物块的作用力逐渐增大
B．斜劈对物块的支持力保持不变
C．斜劈对物块的支持力逐渐增大
D．斜劈对物块的摩擦力逐渐减小
[解析] 物块的向心加速度沿水平方向，加速度大小为a＝ω2r，设斜劈倾角为θ，对物块沿AB方向有Ff－mgsin θ＝macs θ，垂直AB方向有mgcs θ－FN＝masin θ，可得Ff＝mgsin θ＋macs θ，FN＝mgcs θ－masin θ，斜劈转动的角速度ω缓慢增大，加速度a增大，故摩擦力增大，支持力减小，故B、C、D错误；斜劈对物块的作用力竖直方向的分力Fy＝mg，保持不变；水平方向分力为Fx＝ma，当角速度ω增大，加速度a增大，可得水平方向分力增大，合力增大，故A正确。
8. (2022·全国甲卷)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( D )
A.eq \f(h,k＋1) B．eq \f(h,k)
C．eq \f(2h,k) D．eq \f(2h,k－1)
[解析] 运动员从a到c根据动能定理有mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,c)，在c点有FNc－mg＝meq \f(v\\al(2,c),Rc)，FNc≤kmg，联立有Rc≥eq \f(2h,k－1)，故选D。
9. (多选)(2023·河北衡水高三阶段练习)一辆小车沿水平面向右做加速度a＝0.2 m/s2的匀加速直线运动，车中有甲、乙两轻绳和轻弹簧共同系着质量m＝200 g的小球，如图所示，甲轻绳竖直，乙轻绳和轻弹簧水平。甲轻绳的长度L＝20 cm，轻弹簧处于伸长状态，弹力大小F＝1 N。当小车的速度达到v＝1 m/s时，速度突然减为零，在该瞬间下列说法正确的是( BC )
A．轻绳甲的张力立即减为零
B．轻绳乙的张力立即减为零
C．小球的加速度大小变为5eq \r(2) m/s2
D．小球的加速度大小变为5 m/s2
[解析] 在该瞬间，小球要绕甲绳做圆周运动，因此竖直方向的加速度为向心加速度ay＝eq \f(v2,r)＝5 m/s2，绳子甲的拉力和重力的合力充当向心力，因此甲的拉力不为零，小球由于惯性具有向右运动的趋势，所以轻绳乙的张力立即减为零，根据牛顿第二定律可知此时小球的水平加速度大小变为ax＝eq \f(F,m)＝5 m/s2，因此合加速度为a＝eq \r(a\\al(2,x)＋a\\al(2,y))＝5eq \r(2) m/s2。故选BC。
10．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝1 kg，g取10 m/s2，则( AC )
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
[解析] 根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3 m/s，水平分速度vx＝vytan 45°＝3 m/s，则B点到C点的水平距离x＝vxt＝0.9 m，A项正确，B项错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律有FNB＋mg＝meq \f(v\\al(2,B),R)，vB＝vx＝3 m/s，解得FNB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，C项正确，D项错误。
11．(2024·山西太原联考)随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为eq \f(3,4)L，杆的端点A通过长度为eq \f(5,4)L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴eq \f(3,5)L的B点通过长度为eq \f(1,4)L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上(可视为质点)，在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin 9°＝tan 9°＝0.16，重力加速度为g，求：
(1)转杆转动的角速度；
(2)地面对轮胎弹力的大小。
[答案] (1)eq \f(\r(gL),2L) (2)eq \f(5,8)Mg
[解析] (1)设转杆转动的角速度为ω，冰墩墩的质量为m、转动半径为r1，细线拉力大小为F1，
r1＝eq \f(3,5)L＋eq \f(1,4)Lsin 9°，F1cs 9°＝mg，F1sin 9°＝mω2r1，
解得ω＝eq \f(\r(gL),2L)。
(2)设绳与水平面间夹角为θ，由几何关系得sin θ＝0.6，cs θ＝0.8，
设轮胎转动半径为r2，细绳的拉力大小为F2，地面对轮胎支持力大小为FN，则
r2＝L＋eq \f(5,4)Lcs θ，F2sin θ＋FN＝Mg，F2cs θ＝Mω2r2，
解得FN＝eq \f(5,8)Mg。
12．(2023·广东广州统考)气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为m的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为k的弹簧连在A点，重物上有触点C，在B端固定有触点D，如图重物静止时C、D间的距离Δx＝eq \f(3mg,k)。当触点C、D接触后，LED灯就会发光，测得自行车车轮内径为R。让安装了气嘴灯的自行车倒放在地面上，旋转前车轮研究LED发光情况。重力加速度大小为g。气嘴灯大小相对车轮内径可忽略不计。
(1)若前轮匀速转动时，线速度大小v0＝eq \r(5gR)，
①当气嘴灯运动到最低点时，求B端对重物的支持力；
②通过计算判断LED灯是否能一直发光。
(2)若使前轮匀速转动一周，线速度大小v1＝eq \f(3\r(2gR),2)，求LED灯发光的时间。
[答案] (1)①2mg，竖直向上 ②能，见解析
(2)eq \f(2π\r(2gR),3g)
[解析] (1)①由离心运动的原理，可知B端应在车轮转轴外侧，更靠近气嘴，A端应在内侧，如图重物静止时，弹簧弹力F1＝mg＝kx
在最低点时，合力提供向心力有
F＋k(x＋Δx)－mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)
解得B端对重物的支持力F＝2mg
方向竖直向上。
②当气嘴灯运动到最高点时恰能发光，则此时的弹簧弹力为
F2＝k(Δx＋x)＝4mg
则此时的临界状态是弹簧弹力和其重力提供向心力
F2＋mg＝meq \f(v2,R)
解得v＝eq \r(5gR)＝v0
则LED灯是恰能一直发光。
(2)由v1＝eq \f(3\r(2gR),2)>v0
当车速较大时，车轮转速较大，重物随这轮转动需要向心力较大，弹簧弹力变大，形变量变大，触点C与触点D接触所以LED灯一直发光，前轮匀速转动一周，LED灯发光的时间
T＝eq \f(2πR,v1)＝eq \f(2π\r(2gR),3g)。