2024年四川省成都七中初中学校中考数学一模试卷

这是一份2024年四川省成都七中初中学校中考数学一模试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（4分）据报道2023年国庆出游的全国旅客数达到754000000人次，754000000用科学记数法可表示为（ ）
A．7.54×109B．7.54×108C．75.4×108D．0.754×109
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2y+2xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（2a+b）2＝4a2+b2
D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
4．（4分）要调查下列两个问题：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多；（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯．这两个问题分别采用什么调查方式更合适（ ）
A．全面调查，全面调查B．抽样调查，抽样调查
C．抽样调查，全面调查D．全面调查，抽样调查
5．（4分）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．12B．10C．8D．6
6．（4分）如图，在扇形AOB中，AO⊥OB，∠AOC＝∠BOC，若扇形AOB的半径为2，则扇形AOC的面积为（ ）
A．2πB．C．πD．
7．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，可列方程为（ ）
A．7x﹣6＝8x﹣1B．7x﹣6＝8（x﹣1）
C．7x+6＝8x﹣1D．7x+6＝8（x﹣1）
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4ac＝0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜0
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：xy2+6xy+9x＝ ．
10．（4分）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为 ．
11．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ ．
12．（4分）分式方程的解是 ．
13．（4分）如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：﹣12019+|﹣2|+2cs30°+（2﹣tan60°）0．
（2）解不等式组：．
15．（8分）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，162，163，161，164，则该组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
16．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD为37°，倾斜屋顶上的E处到水平线的距离DE为1.3米，C、D、E在同一直线上，且CD⊥AD．求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈，结果精确到0.1米）．
17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，AB与CD交于点M过点C作CE⊥BD交DB延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BD＝7，求CE和cs∠ABD的值．
18．（10分）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，M为反比例函数图象第一象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当∠MBA＝45°时，求点M的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点N是平面内一点，是否存在这样的N，M两点，使四边形ABNM是“垂等四边形”，且∠ABM＝∠MAN？若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为 ．
20．（4分）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则这个六棱柱的一个侧面面积是 m2．（单位：m）
21．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 ．
22．（4分）如图，二次函数y＝的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y＝上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 ．
23．（4分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE边翻折到△FBE，点A与点F重合，连接DF、CF．则DF+FC的最小值为 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）春节期间，晓东计划和家人自驾来阿掖山游玩，晓东家汽车是某型号油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．经过计算，该汽车从晓东家行驶到阿掖山，全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.6元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
（2）若驾驶该汽车从晓东家行驶至阿掖山，游玩后再返回家，需要燃油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过78元，则最多用油行驶多少千米？
25．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标及的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2．试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
26．（12分）（1）如图1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB交AB于点D，求证：CD2＝AD•BD；
（2）如图2，在菱形ABCD中，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD边于点F．①若，求的值；②若（n＞2），直接写出的值（用含n的式子表示）；
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在CD上，EC＝2且＝a，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交AD于点G，EG•EF＝a，求AG的值（用含a的式子表示）．
2024年四川省成都七中初中学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【考点】绝对值．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
2．（4分）据报道2023年国庆出游的全国旅客数达到754000000人次，754000000用科学记数法可表示为（ ）
A．7.54×109B．7.54×108C．75.4×108D．0.754×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【答案】B
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：754000000＝7.54×108，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2y+2xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（2a+b）2＝4a2+b2
D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、3x2y与2xy不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不符合题意；
C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不符合题意；
D、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
4．（4分）要调查下列两个问题：（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多；（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯．这两个问题分别采用什么调查方式更合适（ ）
A．全面调查，全面调查B．抽样调查，抽样调查
C．抽样调查，全面调查D．全面调查，抽样调查
【考点】全面调查与抽样调查．
【答案】D
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：要调查下列两个问题：
（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用全面调查方式更合适；
（2）了解全市七年级学生早餐是否有喝牛奶的习惯，采用抽样调查方式更合适；
故选：D．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5．（4分）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【考点】多边形内角与外角．
【答案】A
【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为30°，由此即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30＝12，
则正多边形的边数为12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
6．（4分）如图，在扇形AOB中，AO⊥OB，∠AOC＝∠BOC，若扇形AOB的半径为2，则扇形AOC的面积为（ ）
A．2πB．C．πD．
【考点】扇形面积的计算．
【答案】B
【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形＝πr2，求出扇形的圆心角是135°，即可计算扇形AOC的面积．
【解答】解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠AOC＝×（360°﹣90°）＝135°，
∵扇形AOC的半径为2，
∴扇形AOC的面积＝＝π．
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
7．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，可列方程为（ ）
A．7x﹣6＝8x﹣1B．7x﹣6＝8（x﹣1）
C．7x+6＝8x﹣1D．7x+6＝8（x﹣1）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】D
【分析】根据一房七客多六客，一房八客一房空得出方程即可．
【解答】解：根据题意得：7x+6＝8（x﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4ac＝0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【答案】D
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以b2﹣4ac＞0．
故B选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以a﹣b+c＝0．
故C选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
又因为抛物线开口向上，
所以当x＝2时，函数值小于零，
即4a+2b+c＜0．
故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：xy2+6xy+9x＝ x（y+3）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：xy2+6xy+9x
＝x（y2+6y+9）
＝x（y+3）2．
故答案为：x（y+3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
10．（4分）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为 （﹣1，2） ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（﹣1，2）．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（1，﹣2），
∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
11．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ 8 ．
【考点】位似变换．
【答案】8．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，证明△BOC∽△EOF，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵OB：BE＝1，
∴OB：OE＝1：2，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△BOC∽△EOF，
∴，
∴，即，
解得：S△DEF＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（4分）分式方程的解是 x＝﹣2 ．
【考点】解分式方程．
【答案】x＝﹣2．
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【解答】解：，
去分母得：x（x﹣1）﹣3＝x2﹣1，
解得：x＝﹣2，
当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，
∴原方程的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是关键，并注意检验．
13．（4分）如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 65° ．
【考点】作图—基本作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案为：65°．
【点评】本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG是∠CAB平分线是解答此题的关键．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）计算：﹣12019+|﹣2|+2cs30°+（2﹣tan60°）0．
（2）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．
【答案】（1）2；（2）﹣1≤x＜2．
【分析】（1）先计算乘方、绝对值和零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣+2×+1
＝﹣1+2﹣++1
＝2；
（2）解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
解不等式﹣≤1，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（8分）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，162，163，161，164，则该组数据的中位数是 162 ，众数是 162 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 175 人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 108 度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数．
【答案】（1）162；162；
（2）175；108；
（3）．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
∴该组数据的中位数是（162+162）÷2＝162．
该组数据中出现次数最多的为162，
∴该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
（2）全校的男生人数为100÷20%＝500（人），
∴选择B项目的男生共有500×35%＝175（人）．
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°．
故答案为：175；108．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
16．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD为37°，倾斜屋顶上的E处到水平线的距离DE为1.3米，C、D、E在同一直线上，且CD⊥AD．求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈，结果精确到0.1米）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【分析】过B作BF⊥AD于F．根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可．
【解答】解：过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，cs∠BAF＝，
则AF＝AB•cs∠BAF＝3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，
则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，AB与CD交于点M过点C作CE⊥BD交DB延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BD＝7，求CE和cs∠ABD的值．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接OC，则∠BOC＝2∠BAC＝∠ABD，由此得OC∥BD，再根据CE⊥BD得CE⊥OC，据此可得出结论；
（2）证∠BAC＝∠BCE＝∠CDB，由此得△CEB∽△DEC得CE：DE＝BE：CE，据此可得CE的长；利用勾股定理得BC＝3，证△ABC∽△CBE得AB：BC＝BC：BE，据此得AB＝9，然后在Rt△ABD中可求出cs∠ABD的值．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝∠BAC+∠OCA＝2∠BAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵BE＝1，BD＝7，
∴DE＝BE+BD＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥OC，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠BAC＝∠BCE，
∵∠CDB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠CDB，
又∵∠CEB＝∠DEC，
∴△CEB∽△DEC，
∴CE：DE＝BE：CE，
即CE2＝DE•BE＝8×1＝8，
∴CE＝；
在Rt△CBE中，BE＝1，CE＝，
由勾股定理得：BC＝＝3，
∵∠BAC＝∠BCE，∠ACB＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴AB：BC＝BC：BE，
即BC2＝AB•BE，
∴32＝AB×1，
∴AB＝9，
在Rt△ABD中，cs∠ABD＝＝．
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定方法，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
18．（10分）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，M为反比例函数图象第一象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当∠MBA＝45°时，求点M的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点N是平面内一点，是否存在这样的N，M两点，使四边形ABNM是“垂等四边形”，且∠ABM＝∠MAN？若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【答案】（1）y＝；
（2）点M（，6）；
（3）存在，点M（，8），点N（﹣6，）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△BNC≌△CRH（AAS），得到点H（0，4），即可求解；
（3）证明∠MAG＝∠ABH，则tan∠MAG＝tan∠ABH＝＝＝＝，得到点M（4﹣t，2t+1），即可求出点M的坐标；由AN＝BM求出点N的坐标．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：1＝x﹣1，
则x＝2，即点A（4，1）
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m＝4×1＝4，
则反比例函数的表达式为：y＝；
（2）点B在反比例函数上，则点B（﹣2，﹣2），
由一次函数表达式知，点C（2，0），
过点C作CH⊥BM于点H，
则BN＝2+2＝4，CN＝2，
∵∠MBA＝45°，
则△BCH为等腰直角三角形，则CH＝CB，
∵∠HCR+∠BCN＝90°，∠BCN+∠CBN＝90°，
∴∠HCR＝∠CBN，
∵∠BNC＝∠CRH＝90°，
∴△BNC≌△CRH（AAS），
则RH＝CN＝2，RC＝BN＝4，
则点H（0，4），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝3x+4，
联立上式和反比例函数的表达式得：＝3x+4，
解得：x＝2（舍去）或，
则点M（，6）；
（3）存在，理由：
设四边形的对角线得交点为点T，
由题意得：AN⊥MB且AN＝BM，
∵∠TAB+∠TBA＝90°，∠ABM＝∠MAN，
∴∠MAN+∠BAT＝90°＝∠MAB，
过点A作直线GH，交过点M和x轴的平行线于点G，交过点B和x轴的平行线于点H，
∵∠GAM+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠MAG＝∠ABH，
∴tan∠MAG＝tan∠ABH＝＝＝＝，
故设GM＝t，则AG＝2t，
则点M（4﹣t，2t+1），
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：4＝（4﹣t）（2t+1），
解得：t＝0（舍去）或，
则点M（，8）；
由点M、B的坐标得，直线BM的表达式为：y＝4（x+2）﹣2，
则直线BM的表达式为：y＝﹣（x﹣4）+1＝x+2，
设点N（x，x+2），
由AN＝BM得：（x﹣4）2+（﹣x+1）2＝（2+）2+（8+2）2，
整理得：m2﹣8m﹣84＝0，
解得：m＝14（舍去）或﹣6，
故点N（﹣6，）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等和相似、解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为 ．
【考点】分式的化简求值．
【答案】．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算即可．
【解答】解：原代数式＝（+）•
＝•
＝x（x+y）
＝x2+xy，
∵2x2+2xy﹣5＝0，
∴2x2+2xy＝5，
∴x2+xy＝，
则原式＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（4分）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则这个六棱柱的一个侧面面积是 6 m2．（单位：m）
【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．
【答案】6．
【分析】由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，进而求出侧面积．
【解答】解：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的最长的对角线长CD是4，设O为正多边形中心，
则CO＝DO＝2，∠AOC＝＝60°，AO＝CO，
则△AOC为等边三角形，
则边长AC＝CO＝AO＝2，
得出上下底面周长为12，高为3，
正六棱柱的侧面积为：12×3＝36，
所以一个侧面的面积为36÷6＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，得出图形上下的周长是解题关键．培养了学生的空间想象能力．
21．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 ﹣9 ．
【考点】扇形面积的计算；垂径定理．
【答案】﹣9．
【分析】连接OD，则OD＝OA，由折叠得DB＝OB，则△OBD是等边三角形，可求得∠OBD＝60°，则∠OBC＝∠DBC＝30°，根据勾股定理求出OC，即可由S阴影＝S扇形AOB﹣S△OBC﹣S△DBC求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD，则OD＝OB＝3，
由折叠得OB＝DB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠OBD＝60°，
∴∠OBC＝∠DBC＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝BC，
∴BC＝2OC，
在t△BCO中，OC2+OB2＝BC2，
∴OC2+（3）2＝4OC2，
∴OC＝3，
∴S△OBC＝S△DBC＝×3×3＝，
∵S扇形AOB＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△OBC﹣S△DBC＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（4分）如图，二次函数y＝的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y＝上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 ﹣≤t≤2 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】﹣≤t≤2．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．
【解答】解：（1）∵y＝的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．
∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0，），对称轴为x＝2，
如图2，
∵线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等，
∴PA＝PB，或PB＝PC，或PC＝PA，
∵DE在直线y＝上移动，
∴点P的纵坐标为，
设点P（x，），
若PA＝PC，
∴（x）2+（﹣）2＝（x﹣1）2+（）2，
∴x＝，
∴点P（，），
∴PA＝PC＝1，PC＝，
∵PA+PB＜，
∴不合题意舍去；
若PB＝PC，
∴（x）2+（﹣）2＝（x﹣3）2+（）2，
∴x＝，
∴点P（，），
∴PB＝PC＝，PA＝1，
∵PA+PB＞PC，
∴PA，PB，PC能组成三角形；
若PA＝PB，
∴（x﹣1）2+（）2＝（x﹣3）2+（）2，
∴x＝2，
∴点P（2，），
∴PA＝PB＝，PC＝，
∵PA+PB＞PC，
∴PA，PB，PC能组成三角形；
∵点P在长为3的线段DE上，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为：﹣3≤t≤2，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为：﹣≤t≤2，
故答案为：﹣≤t≤2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23．（4分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE边翻折到△FBE，点A与点F重合，连接DF、CF．则DF+FC的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】．
【分析】在BC上取点CG使BG＝1.5，连接FG，DG，证明△FBG∽△CBF，可得出FG＝CF，则DF+FC＝DF+GF≥DG，当D、F、G三点共线时，DF+FC最小，在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG即可．
【解答】解：在BC上取点G，使BG＝1.5，连接FG，DG，如图
∵△ABE沿BE边翻折到△FBE，
∴BF＝AB＝3
又∵BC＝6，
∴＝，＝，
∴＝，
又∠FBG＝∠CBF，
∴△FBG∽△CBF，
∴＝＝，
∴FG＝CF，
∴DF+FC＝DF+GF≥DG，
当D、F、G三点共线时，DF+FC最小，
在Rt△CDG中，CD＝AB＝3，
CG＝BC﹣BG＝4.5，∠BCD＝90°，
∴DG＝＝，
即DF+FC的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．
二、解答题（共30分）
24．（8分）春节期间，晓东计划和家人自驾来阿掖山游玩，晓东家汽车是某型号油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．经过计算，该汽车从晓东家行驶到阿掖山，全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.6元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
（2）若驾驶该汽车从晓东家行驶至阿掖山，游玩后再返回家，需要燃油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过78元，则最多用油行驶多少千米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【答案】（1）0.15元；
（2）90千米．
【分析】（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费是（x+0.6）元，根据晓东家到阿掖山的路程不变，结合“全程用油驱动需60元油费，全程用电驱动需12元电费”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用晓东家到阿掖山的路程＝全程用电驱动所需电费÷该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费，可求出晓东家到阿掖山的路程，设用油行驶y千米，则用电行驶（80×2﹣y）千米，根据往返全程用电和用油的总费用不超过78元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费是（x+0.6）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.15，
经检验，x＝0.15是所列方程的解，且符合题意．
答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是0.15元；
（2）晓东家到阿掖山的路程为12÷0.15＝80（千米）．
设用油行驶y千米，则用电行驶（80×2﹣y）千米，
根据题意得：0.15（80×2﹣y）+（0.15+0.6）y≤78，
解得：y≤90，
∴y的最大值为90．
答：最多用油行驶90千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标及的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2．试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）有最大值为，此时D（，）；
（3）直线PQ经过点（3，﹣2）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，由DG∥AH，可得＝＝＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，有最大值为，此时D（，）；
（3）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3，设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b，当k1x+m＝﹣x2+2x+3时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3，当k2x+n＝﹣x2+2x+3时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3，M（0，m），N（0，n），再由MO•NO＝2，可得﹣mn＝2，即﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2，整理得，3k+b＝﹣2，由此可知直线PQ经过点（3，﹣2）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
将点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），
过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，
∴G（t，﹣t+3），H（1，4），
∴DG＝﹣t2+3t，AH＝4，
∵DG∥AH，
∴＝，
∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，
∴＝＝＝﹣（t﹣）2+，
∵点D为直线BC上方抛物线上，
∴0＜t＜3，
当t＝时，有最大值为，此时D（，）；
（3）直线PQ过定点（3，﹣2），理由如下：
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3，
设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b，
当k1x+m＝﹣x2+2x+3时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3，
当k2x+n＝﹣x2+2x+3时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3，
M（0，m），N（0，n），
∵MO•NO＝2，
∴﹣mn＝2，
∴﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2，
整理得，3k+b＝﹣2，
∴直线PQ经过点（3，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，此题运算量比较大，准确计算是解题的关键．
26．（12分）（1）如图1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB交AB于点D，求证：CD2＝AD•BD；
（2）如图2，在菱形ABCD中，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD边于点F．①若，求的值；②若（n＞2），直接写出的值（用含n的式子表示）；
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在CD上，EC＝2且＝a，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交AD于点G，EG•EF＝a，求AG的值（用含a的式子表示）．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）①，②；
（3）AG＝2+3a﹣ 或AG＝2+3a﹣a．
【分析】（1）证明△ACD∽△CBD，得出，即可得出结论；
（2）①由（1）可得EG2＝CG⋅BG，设BG＝a，CG＝8a，则BC＝9a，推出sin∠GEB＝，求出AF、DF即可推出结果；②仿①可推出结果；
（3）延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，证明△EDM∽△ECF，得出＝a ＝a，由（1）可得，得HE2＝HM⋅HG，设AG＝x，则GD＝AD﹣AG＝2a+2﹣x，GH＝GD+HD＝2a+2﹣x+a＝3a+2﹣x，HM＝GM﹣GH＝从而得出，求出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90﹣∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD⋅BD；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
又CE⊥AB，由（1）可得EG2＝CG⋅BG，
①∵，设BG＝a，CG＝8a，则BC＝9a，
∴EG＝a，
∴BG＝＝3a，
∴sin∠GEB＝，
∵AB＝BC＝9a，
∴AE＝AB+BE＝9a+3a＝12a，
∴AF＝AE•sin∠FEA＝12a×＝4a，
∴DF＝BD﹣BF＝9a﹣4a＝5a，
∴；
②∵（n＞2），设BG＝1，则CG＝n，
∴GE＝，
∴BE＝，
∴sin∠FEA＝，
∴AB＝BC＝n+1，
∴AE＝n+1+，
∴AF＝+1，
∴DF＝AD﹣AF＝n+1﹣，
∴；
（3）解：如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵菱形ABCD中，EC＝2且 ＝a，
∴CD＝2a+2，CE＝2，
∴AD＝CD＝2a+2，DE＝2a，
∵DM∥FC，
∴△EDM∽△ECF，
∴＝a ＝a，
∵EG⋅EF＝a，
∴S△MGE＝aS△EFG＝，
在Rt△DEH中，∠HDE＝∠A＝60°，
∴EH＝DE＝a，DH＝DE＝a，
∴，
∴MG＝a，
∵GE⊥EF，EH⊥MG，
由（1）可得，
∴HE2＝HM⋅HG，
设AG＝x，则GD＝AD﹣AG＝2a+2﹣x，GH＝GD+HD＝2a+2﹣x+a＝3a+2﹣x，HM＝GM﹣GH＝
∴，
解得：x＝2+3a﹣ 或x＝2+3a﹣a，
即AG＝2+3a﹣ 或AG＝2+3a﹣a．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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