湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析）

这是一份湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知三元一次方程组5x+4y+z=0,3x+y−4z=11,x+y+z=−2,消去未知数z后，得到的二元一次方程组是
( )
A. 4x+3y=2,7x+5y=3B. 4x+3y=2,23x+5y=11
C. 3x+4y=2,7x+5y=3D. 3x+4y=2,23x+17y=11
2.用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为( )
A. 48B. 36C. 50D. 49
3.如图所示，根据图中的边长与面积能验证的结论是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. ( a+b)(a−b)=a2−b2
D. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
4.若a、b的值使得x2+4x+a=(x−b)2−1成立，则a+b的值为( )
A. −1B. 5C. −5D. 1
5.已知实数a，b满足4a2+ 7b=n,b2+2 7a=n,b≠2a，其中n为自然数，则n的最小值是
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.若关于x，y的二元一次方程组{ax+by=m,cx+dy=n的解为x=1,y=2,则关于x，y的方程组{4ax+3by−2b=2m,4cx+3dy−2d=2n的解为
( )
A. x=1,y=2B. x=2,y=4C. x=12,y=3D. x=12,y=2
8.已知关于x、y的二元一次方程(m−2)x+(m−3)y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是( )
A. x=3y=−1B. x=1y=−3C. x=−1y=3D. x=−3y=1
9.计算(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)+1的结果的个位数字是
( )
A. 6B. 5C. 8D. 7
10.已知(x−2021)2+(x−2023)2=50，则(x−2022)2的值为
( )
A. 24B. 23C. 22D. 无法确定
11.已知a=2018x+2018，b=2018x+2019，c=2018x+2020，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
12.已知a−b=3，b+c=−5，则代数式ac−bc+a2−ab的值为
( )
A. −15B. −2C. −6D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：−3a+12a2−12a3 =___________．
14.已知x2n=5，则(3x3n)2−4(x2)2n的值为______．
15.若3m=5，3n=6，则3m+n的值是 ．
16.利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是 cm．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器加工时接缝材料不计

(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒
现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片
该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
18.(本小题8分)
小林在某商店买商品A，B共三次，其中只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A，B的数量及费用如下表：
(1)小林按打折价购买商品A，B是第 次．
(2)求商品A，B的标价．
(3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售的？
19.(本小题8分)
如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
(1)请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
(2)由(1)可得到关于a、b的等式，利用得到的这个等式计算：4.3232+2×4.323×0.677+0.6772．
20.(本小题8分)
(1)已知am=3，an=4，求a2m+3n的值；
(2)已知9n+1−32n=72，求n的值．
21.(本小题8分)
已知a=2+ 3，b=2− 3，求a2b+ab2的值．
22.(本小题8分)
两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x−1)(x−9)，另一位同学因看错了常数项分解成2(x−2)(x−4)．
(1)求原来的二次三项式．
(2)将(1)中的二次三项式分解因式．
23.(本小题8分)
先分解因式，再计算求值．
(1)3(2x−1)2+(2x−1)(2−6x)，其中x=1；
(2)5x(m−2)−4x(m−2)，其中x=0.4，m=5.5．
24.(本小题8分)
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)方程组{+2y=7,x=y+1的解x与y是否具有“邻好关系”？说明理由；
(2)若方程组{x−y=6,2x+y=4m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；
(3)已知未知数为x，y的方程组{+ay=7,2y−x=5,则该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
25.(本小题8分)
把一个长为2a，宽为2b的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形(图 ①)，然后如图 ②围成一个大的正方形．
(1)用两种不同的方法求图 ②中阴影正方形的面积．
(2)观察图 ②，写出(a+b)2，(a−b)2，ab这三个代数式之间的等量关系．
(3)若x−y=3，xy=74，求x+y的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】D
【解析】解：图①中阴影面积是81，边长为9，图②阴影面积是64，边长为8，设矩形长为a，宽为b，根据题意得：a−b=9a−2b=8，
解得：a=10b=1，
所以图③阴影面积为：(a−3b)2=(10−3)2=49，
故选：D．
三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．
3.【答案】B
【解析】解：图形中，较大正方形的边长为a−b，因此面积为(a−b)2，小正方形的边长为b，因此面积为b2，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
由图形中各个部分面积之间的关系可得，
(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：B．
用含有a、b的代数式表示图形中各个部分的面积，由面积之间的关系可得答案．
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
4.【答案】D
【解析】解：∵x2+4x+a=(x−b)2−1，
∴x2+4x+a=x2−2bx+b2−1．
∴−2b=4，a=b2−1．
∴b=−2，a=3．
∴a+b=3+(−2)=1．
故选：D．
根据完全平方公式解决此题．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0，进一步变形得(2a−b)(2a+b− 7)=0，因为b≠2a，所以2a+b− 7=0，得b= 7−2a;代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，配方法求极值．
【详解】由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0
∴(4a2−b2)−(2 7a− 7b)=0
(2a+b)(2a−b)− 7(2a−b)=0
∴(2a−b)(2a+b− 7)=0
∵b≠2a
∴2a+b− 7=0
∴b= 7−2a
代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，整理，得
n=4a2−2 7a+7=(2a− 72)2+512≥512
∴自然数n的最小值为6
故选C．
6.【答案】D
【解析】解：∵a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，
∴a−b=(2023x+2022)−(2023x+2023)
=2023x+2022−2023x−2023
=−1，
a−c=(2023x+2022)−(2023x+2024)
=2023x+2022−2023x−2024
=−2，
b−c=(2023x+2023)−(2023x+2024)
=2023x+2023−2023x−2024
=−1，
∴a2+b2+c2−ab−ac−bc
=12[2(a2+b2+c2−ab−ac−bc)]
=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)
=12[(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)]
=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]
=12[(−1)2+(−2)2+(−1)2]
=12×(1+4+1)
=12×6
=3，
故选：D．
先根据已知条件，求出a−b，a−c和b−c的值，然后把所求代数式写成12[2(a2+b2+c2−ab−ac−bc)]的形式，再利用完全平方公式进行分解因式，然后把a−b，a−c和b−c的值整体代入，进行计算即可．
本题主要考查了分解因式的应用，解题关键是熟练掌握把多项式进行分解因式．
7.【答案】D
【解析】第二个方程组可变形为a⋅4x+b⋅3y−2=2m,c⋅4x+d⋅3y−2=2n,所以a⋅2x+b⋅3y−22=m,c⋅2x+d⋅3y−22=n,所以2x=1,3y−22=2,解得x=12,y=2.
8.【答案】D
【解析】解：原方程可整理得：
m(x+y+2)−(2x+3y+3)=0，
根据题意得：
x+y+2=02x+3y+3=0，
解得x=−3y=1，
故选：D．
把原方程整理得：m(x+y+2)−(2x+3y+3)=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】原式=(2−1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)+1=(22−1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)+1=(216−1)×(216+1)+1=232−1+1=232．
又21=2，22=4，23=8，24=16，25=32……
所以2n(n为正整数)的个位数字是以2，4，8，6循环．
又32÷4=8，所以232的个位数字是6，即(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)+1的结果的个位数字是6．
10.【答案】A
【解析】解：∵(x−2021)2+(x−2023)2=50，
∴[(x−2022)+1]2+[(x−2022)−1]2=50，
∴(x−2022)2+2(x−2022)+1+(x−2022)2−2(x−2022)+1=50，
∴(x−2022)2=24．
故选：A．
先变形为[(x−2022)+1]2+[(x−2022)−1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到(x−2022)2的值．
此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
11.【答案】D
【解析】解：∵a=2018x+2018，b=2018x+2019，c=2018x+2020，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴a2+b2+c2−ab−ac−bc
=2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc2
=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)2
=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22
=(−1)2+(−2)2+(−1)22
=3，
故选：D．
根据题目中的式子，可以求得a−b、a−c、b−c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．
本题考查了因式分解的运用，关键是将多项式配成完全平方形式．．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题.具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a+c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入.先分解因式，再将已知的a−b=3，b+c=−5，两式相加得：a+c=−2，整体代入即可．
【解答】解：∵a−b=3，b+c=−5．
∴a−b+b+c=3−5，
即a+c=−2．
∴ac−bc+a2−ab=c(a−b)+a(a−b)=(a−b)(a+c)=3×(−2)=−6．
故选C．
13.【答案】−3a(1−2a)2
【解析】解：原式=−3a(1−4a+4a2)
=−3a(1−2a)2．
故答案为：−3a(1−2a)2．
首先提公因式−3a，然后利用完全平方公式即可分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
14.【答案】1025
【解析】解：∵x2n=5，
∴(3x3n)2−4(x2)2n
=9x6n−4x4n
=9(x2n)3−4(x2n)2
=9×53−4×52
=1125−100
=1025．
故答案为：1025．
先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．
本题考查了积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．掌握积的乘方，幂的乘方运算是关键．
15.【答案】30
【解析】解：∵3m=5，3n=6，
∴3m+n=3m×3n=5×6=30．
故答案为：30．
逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】65
【解析】略
17.【答案】解：(1)7；3
(2)设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得
4x+3y=2014x+2y=1176，
解得：x=100y=538．
答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；
(3)设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，
根据题意，得
m+n=353m=2×4n，
解得：m=25511n=9611，
∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3=75(片)，9张做正方形铁片可做9×4=36(片)，剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，共可做长方形铁片75+1=76(片)，正方形铁片36+2=38(片)，
∴可做铁盒76÷4=19(个)．
答：最多可加工成铁盒19个．

【解析】【分析】
本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，找到题目中的等量关系是解决问题的关键．
(1)由图可知，一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮；
(2)设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2014张；②两种容器共需正方形铁皮1176张，根据等量关系列出方程组即可；
(3)设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得：①长方形铁片的铁板m张+正方形铁片的铁板n张=35张；②长方形铁片的总数=正方形铁片总数×2，列出方程组，再解即可．本小题应注意：把长方体铁容器加盖加工成为铁盒后，铁容器所需的长方形和正方形的张数较(1)中发生了变化．
【解答】
解：(1)由题意知，一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮，一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮，因此加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，共需要长方形铁片4+3=7(张)，正方形铁片1+2=3(张)，
故答案为7；3；
(2)见答案；
(3)见答案．
18.【答案】【小题1】
三
【小题2】
设商品A，B的标价分别为x元，y元．
根据题意，得6x+5y=1140,3x+7y=1110,解得x=90,y=120.
答：商品A，B的标价分别为90元，120元．
【小题3】
设商店是打a折出售的．
根据题意，得0.1a(90×9+120×8)=1062，解得a=6．
答：商店是打6折出售的．

【解析】1. 略
2. 见答案
3. 见答案
19.【答案】解：(1)大正方形的面积为：(a+b)2，
四部分的面积的和为：a2+2ab+b2；
(2)等式为：(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴4.3232+2×4.323×0.677+0.6772
=(4.323+0.677)2
=52
=25.(4分)
【解析】(1)根据正方形的面积公式利用大正方形的边长解答，两个阴影部分长方形的面积加上两个正方形的面积进行表示；
(2)根据大正方形的面积相等可得关于a、b的等式，利用等式代入数据进行计算即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法得到等式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)a2m+3n
=a2m⋅a3n
=(am)2⋅(an)3
=32×43
=576；
(2)∵9n+1−32n=72，
∴9n×9−9n=72，
8×9n=72，
∴n=1．
【解析】(1)利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
(2)利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
21.【答案】解：∵a=2+ 3，b=2− 3，
∴a2b+ab2
=aba+b
=2+ 3×2− 3×2+ 3+2− 3
=4−3×4
=4．
【解析】此题考查了因式分解的应用，此题较简单，解题时要渗透整体代入的思想是解题的关键.先运用提公因式法进行因式分解，再把a=2+ 3，b=2− 3代入，再进行求解，即可求出答案．
22.【答案】解：(1)∵2(x−1)(x−9)=2x2−20x+18，2(x−2)(x−4)=2x2−12x+16，
∴原来的二次三项式为2x2−12x+18；
(2)原式=2(x2−6x+9)=2(x−3)2．
【解析】(1)根据两同学的结果，确定出原多项式的常数项，一次项，以及二次项，即可确定出多项式；
(2)原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)3(2x−1)2+(2x−1)(2−6x)，
=(2x−1)(6x−3+2−6x)，
=−(2x−1)．
把x=1代入，得
原式=−(2×1−1)=−1；
(2)5x(m−2)−4x(m−2)，
=(5x−4x)(m−2)，
=(m−2)x．
把x=0.4，m=5.5代入，得
原式=(5.5−2)×0.4=1.28．
【解析】(1)通过提取公因式(2x−1)进行因式分解，然后代入求值；
(2)先提取公因式(m−2)进行因式分解，然后代入求值．
本题考查了因式分解的应用．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法．
24.【答案】【小题1】
原方程组的解x与y具有“邻好关系”．
理由如下：由题意，得x=y+1，所以x−y=1，即|x−y|=1．
所以方程组{+2y=7,x=y+1的解x与y具有“邻好关系”．
【小题2】
令{x−y=6①,2x+y=4m②.由①−②，得2(x−y)=6−4m，即x−y=3−2m．
由题意，得|x−y|=1，则|3−2m|=1，解得m=1或m=2．
则m的值为1或2．
【小题3】
x与y具有“邻好关系”．
由题意，得|x−y|=1，则y−x=1或y−x=−1．
因为2y−x=5，所以y−x=5−y，即5−y=1或5−y=−1，解得y=4或y=6．
当y=4时，x=2y−5=3．
又x+ay=7，所以3+4a=7，解得a=1；
当y=6时，x=2y−5=7．
又x+ay=7，所以7+6a=7，解得a=0．
综上，当a=1时，x与y具有“邻好关系”，且原方程组的解为{=3,y=4;
当a=0时，x与y具有“邻好关系”，且原方程组的解为{=7,y=6.

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
25.【答案】【小题1】(a+b)2−4ab，(a−b)2
【小题2】(a−b)2=(a+b)2−4ab
【小题3】±4

【解析】1. 略
2. 略
3. 略项目
购买商品A的数量/个
购买商品B的数量/个
购买总费用/元
第一次购买
6
5
1140
第二次购买
3
7
1110
第三次购买
9
8
1062