中考数学真题分类汇编第一期专题33弧长与扇形面积试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题33弧长与扇形面积试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1． （2018•山西•3分）如图，正方形 ABCD 内 接 于 ⊙ O， ⊙ O 的 半 径 为 2，以点 A 为 圆 心 ， 以 AC 为 半 径 画 弧 交 AB 的
延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 （）
A.4π -4B. 4π -8C. 8π -4D. 8π -8
【答案】 A
【考点】 扇 形 面 积 ， 正 方 形 性 质
【解析】 ∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ BAD=90°， 可 知 圆 和 正 方 形 是 中 心 对 称 图 形 ，
2． （2018•山东淄博•4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2πB．C．D．
【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．

3. （2018•四川成都•3分）如图，在 中， ， 的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC
∴∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-60°=120°
∴阴影部分的面积=120 ×32÷360=3
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出∠C的度数，再根据扇形的面积公式求解即可。
4. （2018•山东滨州•3分）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
【解答】解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=，
故选：C．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
5.（2018·山东威海·3分）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π
【分析】作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．
【解答】解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE==6，
易得Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6
=18+18π．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
6. （2018·台湾·分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S扇形DBE==π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．
7．（2018•湖北黄石•3分）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）
A．B．C．2πD．
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
8．（2018·浙江宁波·4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【考点】弧长公式
【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=2
∴的长为=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

9. （2018·浙江衢州·3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥侧面积公式
【分析】先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π=π×3×R，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC=．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
10. (2018四川省绵阳市)如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A.
B.40πm2
C.
D.55πm2
【答案】A
【考点】圆锥的计算，圆柱的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得：
πr2=25π，
∴r=5，
∴圆锥的母线l= = ，
∴圆锥侧面积S = ·2πr·l=πrl=5 π（m2）,
圆柱的侧面积S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2），
∴需要毛毡的面积=30π+5 π（m2），
故答案为：A.
【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.
二.填空题
1. （2018·重庆(A)·4分）如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留）．
【考点】及割补法的基本应用、扇形的面积公式.
【解析】
【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题
2. （2018·广东·3分）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．
故答案为π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
3．（2018•湖北荆门•3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【解答】解：连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE=AB=2，BE==2，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE，
=﹣×，
=﹣，
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中30度角等知识点，能求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键．
4．（2018•湖北恩施•3分）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 π ．（结果不取近似值）
【分析】先得到∠ACB=30°，BC=，利用旋转的性质可得到点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC=，
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=+=．
故答案为π．
【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．
5.（2018•河南•3分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______.
6. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是 ．
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，
∴阴影部分的面积是=π，
故答案为：
【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．
7.（2018·山东青岛·3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ﹣π ．
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
8. （2018•湖南省永州市•4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 ．
【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵点A（1，1），
∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB=45°，
∴的长为=．
故答案为．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=以及∠AOB=45°是解题的关键．
9. （2018年江苏省宿迁）已知圆锥的底面圆半价为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.
【答案】15π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，,
∴母线l= =5，
∴S侧= ·2πr×5= ×2π×3×5=15π.
故答案为：15π.
【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.
10. （2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+ π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵A（1,0），
∴OA=1,
又∵∠OAB＝60°，
∴cs60°= ,
∴AB=2,OB= ,
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
=
= + π.
故答案为: + π.
【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1,根据锐角三角形函数可得AB=2，OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：= ，计算即可得出答案.
11. （2018•江苏扬州•3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=cm．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
12. （2018•江苏盐城•3分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径 ， .则右图的周长为________ （结果保留 ）．
15.【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由第一张图可知弧OA与弧OB的长度和与弧AB的长度相等，则周长为 cm
故答案为：
【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧AB的度，则根据弧长公式 即可求得。
13. （2018•四川凉州•3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4π cm2．
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积．
【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，
∴BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=×（42﹣22）=4πcm2．
故答案为：4π．
【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．
2.

三.解答题
(要求同上一)

1.（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=OD=，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣
=﹣．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
2. （2018•江苏扬州•10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO=2OF=3，
而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE=OE=3，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣=；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP=OF′=，
在Rt△ABO中，OB=OA=×6=2，
∴BP=2﹣=，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．