江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷(含答案)

这是一份江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知集合,集合,则( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知是正项等比数列的前n项和,且,,则( )
A.212B.168C.121D.163
4．复数Z在复平面内对应的点为,为坐标原点,将向量绕点逆时针旋转后得到向量,点对应复数为,则( )
A.B.C.D.
5．函数有且只有一个零点,则m的取值可以是( )
A.2B.1C.3D.
6．已知正四棱锥,现有五种颜色可供选择,要求给每个顶点涂色,每个顶点只涂一种颜色,且同一条棱上的两个顶点不同色,则不同的涂色方法有( )
A.240B.420C.336D.120
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说(三体II·黑暗森林)中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器,其外形与水滴相似,某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液,固,气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角),圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法,即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液—固两者的相交线,椭圆的短半轴长小于圆的半径)的一部分,设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为,,则( )
A.B.C.D.和的大小关系无法确定
二、多项选择题
9．已知随机变量X,Y,且的分布列如下:
若,则( )
A.B.C.D.
10．已知函数;满足:,恒成立,且在上有且仅有2个零点,则( )
A.周期为
B.函数在区间上单调递增
C.函数的一条对称轴为
D.函数的对称中心为
11．在棱长为2的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点E的平面与平面平行,点G为线段上的一点,则下列说法正确的是( )
A.
B.若点为平面内任意一点,则的最小值为
C.底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．展开式中项系数为___________.
13．在三角形ABC中,,角A刚平分能AD交BC于点,若,则三角形ABC面积的最大值为___________.
14．已知函数,存在实数,,…,使得成立,若正整数n的最大值为8,则正实数a的取值范围是___________.
四、解答题
15．数列满足,,,.
（1）证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
（2）求正整数,使得.
16．三棱柱中,,,侧面为矩形,,三棱锥的体积为.
（1）求侧棱的长;
（2）侧棱上是否存在点E,使得直线AE与平面所成角的正弦值为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
17．在平面直角坐标系中,,直线,动点M在直线上,过点M作直线的垂线,与线段FM的中垂线交于点P.
（1）求点P的轨迹的方程
（2）经过曲线上一点P作一条倾斜角为的直线,与曲线交于两个不同的点Q,R,求的取值范围.
18．一次摸奖活动,选手在连续摸奖时,首次中奖得1分,并规定:若连续中奖,则第一次中奖得1分,下一次中奖的得分是上一次得分的两倍:若某次未中奖,则该次得0分,且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖n次,总得分为X,每次中奖的概率为,且每次摸奖相互独立.
（1）当时,求的概率;
（2）当时,求X的概率分布列和数学期望;
（3）当时,判断X的数学期望与10的大小,并说明理由.
19．已知函数,恒成立.
（1）求实数a的值;
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
（3）数列满足:,,若数列中有无穷个不同的项,求整数p的值.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的方程即,表示顶点在原点,开口向上的抛物线,
而抛物线的焦点坐标为,故所求的抛物线的焦点坐标为,
故选D.
2．答案：A
解析：
3．答案：C
解析：由题意得,,所以,,所以.
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：B
解析：先给点P涂色,有5种结果,再给点A涂色,有4种结果,再给点B涂色,有3种结果,当点C与点A同色时,点D有3种结果,当点C与点A不同色时,点C有2种结果,点D也有2种结果,根据分步计数原理和分类计数原理得到结果,本题考查分类计数原理,考查分步计数原理,对于复杂一点的计数问题,有时分类以后,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决.
7．答案：A
解析：因为,
所以,
因为,所以,
所以,
所以
,
所以
因为,,
所以,所以,即,
所以.
8．答案：A
解析：由题意知,圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法,
即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分.
设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为,;
由题意可知,若将水滴轴截面看成圆的一部分,圆的半径为R,如图1,
则有,解得,
所以;
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分,如图2,
切点坐标为,
则椭圆上一点处的切线方程为,此时椭圆的切线方程的斜率设为,则;
将切点坐标为代入切线方程可得解得,
所以;
因为短半轴,
所以,
即,
所以.
故选:A.
9．答案：AC
解析：的分布列如下:
,,
,,
则,
,
,,
解得,,
,
故选:AC.
10．答案：BCD
解析：,恒成立,故的最大值为,
,,即,,
当时,,有且仅有2个零点,
,
,,
即,,,
故,
,,,
,,故,
A,周期为.故A错误;
B,令,,
得,,
当时,的单调递增区间为,
而是的真子集,故函数在区间上单调递增,故B正确;
C,令,,得,,
故的对称轴为,,当时,的一条对称轴为,故C正确;
D,由,,得,,
故函数的对称中心为
,,故D正确.
综上,选择BCD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：3
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）见解析
（2）3333
解析：（1）由已知条件可知,由于,
故,,
故数列是以1为公差的等差数列,
即.
（2）
由,得.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过A在平面内作,垂足为D,
侧面为矩形,,又,
平面,平面ABC,平面平面,
平面,平面ABC,
三棱锥的体积为,,
,,
,,;
（2）存在E满足题意,.
理由如下:如图,以AB,AC,AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,,则,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,平面的一个法向量为,
设直线AE与平面所成角为,
则,
解得,存在满足题意,.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由图可得,所以点的轨迹是以为焦点的抛物线,
故点的轨迹的方程为;
（2）设,则直线的方程为,代入曲线的方程得,.
化简可得:①,
由于与交于两个不同的点,故关于x的方程①的判别式为正,计算得,
,
因此有,②
设Q,R的模坐标分别为,,
由①知,,,
因此,结合的倾斜角为可知,
,③
由②可知,,故,
从而由③得:.
18．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）摸奖5次得分为3分,有如下两种情形:
情形一,恰好两次中奖,且两次相邻;
情形二,恰好三次中奖,且任意两次都不相邻.
情形一发生的概率为.
情形二发生概率为,
所以;
（2）X的可能取值为0,1,2,3,7,其中
,,
,,
所以X的概率分布列为
所以.
（3）.理由如下:
记该同学摸奖30次中奖次数为,则.
若每次中奖都得1分,则得分的期望为.
由题中比赛规则可知连续中奖时,得分翻倍,
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望.
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）或
解析：（1）,因为恒成立,且,
所以是极大值点,即.解得.
验证当时符合题意.
（2）由（1）知,所以原方程变形为.
令,于是,原方程在上有两个不相等的实数根,
等价于直线与曲线在上有两个交点.
因为,所以当时,,
当时,,所以,.
因为,,所以,,
而,所以,即,
所以m的取值范围为.
（3）因为恒成立,即恒成立.
所以,当且仅当时取等号.
若,则,
所以数列从第二项起单调递增,故数列有无穷个不同的项,满足题意.
因此只需且即可.
且等价于且
令,,
易知在R上递增,,
所以在上递减,在上递增,
又,,,,,
综上,或.
X
1
2
3
4
5
P
m
n
X
1
2
3
4
5
P
m
n
X
0
1
2
3
7
P