辽源市第五中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽源市第五中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.
C.或D.
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上是单调递增的有( )
A.B.C.D.
5．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于( )
A.－2B.2C.－98D.98
6．函数在上单调递减，则t的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
9．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数在上是减函数
C.
D.不等式的解集为
二、多项选择题
10．若，则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
11．下列结论中，正确的是( )
A.函数的单调增区间是
B.命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题
C.是奇函数
D.函数的图像必过定点
12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______.
14．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___.
15．函数的值域为______.
16．已知函数，若存在，，（），使，则的取值范围是______.
四、解答题
17．已知命题p：，命题q：.
（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
18．计算：
（1）；
（2）.
19．设.
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
20．已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
（1）用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；
（2）解不等式.
21．已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围.
22．已知函数，.
（1）求的值域；
（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选：B.
2．答案：B
解析：若，则未必成立，如时，.
若，则，则一定成立.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：B
解析：函数的定义域是，
由，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
4．答案：B
解析：选项A：令，定义域为R，
则，所以是偶函数，
又时，，在上是减函数，故A错误；
选项B：令，定义域为R，
则，所以是偶函数，
并且在区间上是增函数，故B正确；
选项C：令，定义域为R，
则，所以不是偶函数，故C错误；
选项D：令，定义域为R，
则，是奇函数，故D错误.
故选：B.
5．答案：A
解析：由，可得是以4为周期的周期函数，
可得，
因为在R上是奇函数，则，
又因为当时，，则.
故选：A.
6．答案：A
解析：因为函数在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为为偶函数，所以，
所以，且，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上：的解集为.
故选：B.
8．答案：C
解析：由在上单调递增，且，即为奇函数，
所以，
则在上恒成立，
所以.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，所以，
又因为，
所以由得，故，
因为在上是减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A，函数在R上单调递增，所以时，故A正确；对于B，若，，则，故B错误；对于C，函数在R上单调递增，所以时，故C正确；对于D，若，则，故D错误.
故选:AC.
11．答案：AD
解析：选项A：函数的减区间为，值域为，
函数，为减函数，则函数的单调增区间是.判断正确；
选项B：命题“所有的素数都是奇数”的否定是“存在素数不是奇数”，而2是素数不是奇数，是真命题.判断错误；
选项C：定义域为R，且，
则函数是偶函数.判断错误；
选项D：，
则函数的图像必过定点.判断正确.
故选：AD.
12．答案：ACD
解析：，当且仅当时取等号，故A成立；
假设，则，则，与已知矛盾，故B不成立；
，当且仅当时取等号，故C成立；
，由A可得，当且仅当时取等号，故D成立.
故选：ACD.
13．答案：3
解析：由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以.
故答案为：3.
14．答案：
解析：由题知，.
故答案为：.
15．答案：
解析：，
故，即，解得：或，
故值域为.
故答案为：.
16．答案：.
解析：的图象如图所示，
当时，，由，得，
因为存在，，（），使，
所以由图可得，关于点，，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由p：为真，解得.
（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集，
所以.即.
18．答案：（1）1
（2）3
解析：（1）原式；
（2）原式.
19．答案：（1）
（2）答案见详解
解析：（1）由不等式对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
（2）由，
则当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．答案：（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）
解析：（1）为定义在区间上的奇函数，
，.
又，.
检验：当，时，，，
为奇函数，符合题意，
.
证明：对任意的，
.
，
，，.
又，，故，
，即，
函数在区间上单调递增.
（2）为定义在区间上的函数，
，.
，且为定义在区间上的奇函数，
.
又在区间上单调递增，
，或.
综上，实数m的取值范围是.
21．答案：（1）最大值和最小值分别为6和
（2）
解析：（1）由题可知函数的定义域为R，令，得，解得，
令，得，所以，所以为奇函数.
任取，，且，则，
因为当时，，所以，即.
因为为奇函数，所以，则，即，
所以在R上单调递增.
所以在上的最大值为，最小值为.
因为，令，得.
因为为奇函数，所以.
所以在上的最大值为6，最小值为.
（2）由（1）知为奇函数，所以.
由得，即，
又在R上单调递增，所以，即.
因为不存在，使得，所以，.
因为抛物线开口向上，所以，解得，
所以a的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）令，当时，，
则可将原函数转化为，
当时，；当时，.
所以在上的值域为.
（2）令，当时，，
则关于x的不等式对恒成立，可化为对恒成立，
所以，即，
又在上为减函数，在上为增函数，
，，在上的最大值为.
因此实数m的取值范围为.