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高中粤教版 (2019)第一章 抛体运动第二节 运动的合成与分解导学案
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这是一份高中粤教版 (2019)第一章 抛体运动第二节 运动的合成与分解导学案，共21页。
知识点一 运动的分析
1．运动的分析
根据作用效果的等效性，可以对力进行合成与分解。类比这一方法，我们也可以根据运动效果对运动进行合成与分解。
2．小球运动的分析
(1)如图不放B球只有A球：用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出。从运动效果来看，这一过程小球沿曲线路径运动，可以分解为两个同时进行的分运动。一个是水平方向上的直线运动，另一个是竖直方向上的直线运动。实际发生的运动可以看成上述两个分运动合成的结果。
(2)分运动具有独立性
如图所示把A球、B球都装置好，用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出，完全相同的B球被同时松开做自由落体运动。重复上述实验发现，虽然两球的运动轨迹不同，但无论球A水平飞出的初速度多大，两球几乎总是同时落地。这表明A球在竖直方向上的分运动是自由落体运动，且不会受到水平方向分运动的影响，A球在竖直和水平两个方向上的分运动具有独立性。
物体实际发生的运动是合运动。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动与分运动是同时进行的。( √ )
(2)同一个物体的分运动相互影响。( × )
(3)合运动与分运动是等效替代关系，同一运动中不能重复考虑。( √ )
知识点二 位移和速度的合成与分解
1．位移的合成与分解
研究表明，和力的合成与分解类似，位移的合成与分解同样遵循平行四边形法则。
如图，s为合位移，s1、s2为分位移
2．速度的合成与分解
研究表明，速度的合成与分解也同样遵循平行四边形法则。
如图，v是合速度，v1、v2是分速度。
说明：矢量的合成与分解都遵循平行四边形法则，运动的合成与分解实质是运动的位移、速度和加速度的合成与分解。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
(2)合运动的位移一定比分运动的位移大。( × )
3：填空
船在静水中的速度为4 m/s，水流速度为 3 m/s，则船的实际速度的范围是1 m/s≤v≤7 m/s。
如图所示，在军事演习中，直升机常常一边匀加速收拢绳索提升士兵，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
(1)士兵在水平方向和竖直方向分别做什么运动？
(2)如何判断士兵做的是直线运动还是曲线运动？
提示：(1)士兵在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。(2)士兵受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。
考点1 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
3．运动的合成与分解
(1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形法则。
(2)运动的合成与分解的方法：①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形法则进行合成与分解。在遵循平行四边形法则的前提下，灵活采用作图法、解析法，可以借鉴力的合成与分解的知识，具体问题具体分析。
【典例1】 如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以 0.1 m/s 的速度匀速上浮。当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°。玻璃管水平方向的移动速度为( )
A．0.1 m/s B．0.2 m/s
C．0.17 m/sD．无法确定
思路点拨：利用合运动与分运动的独立性、等时性及相互关系来求解。
C [蜡块的合运动是匀速直线运动，其方向与水平面成30°角，故tan 30°＝v1v2，故玻璃管水平方向的移动速度v2＝v1tan30°≈0.17 m/s，C项正确。]
[母题变式]
上例中，若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，蜡块运动的位移为( )
A．1.0 m B．2.0 m
C．1.7 mD．0.5 m
B [蜡块匀速运动到玻璃管顶端历时t＝1.00.1 s＝10 s，竖直位移x1＝1.0 m，该过程中玻璃管水平位移x2＝v2t＝0.1×3×10 m＝3 m，则蜡块的位移x＝x12+x22＝2.0 m，B项正确。]
[跟进训练]
1．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
B [运动员同时参与了两个分运动，沿竖直方向下下落和水平方向随风移动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，会对运动员造成伤害，但落地时间仅与下落的高度有关，当下落高度一定时，下落时间不变，故B正确。]
考点2 合运动性质和轨迹的判断
1．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)变化：非匀变速运动不变：匀变速运动
(2)加速度(方向)与速度(方向)共线：直线运动不共线：曲线运动
2．合运动轨迹的判断
(1)若a与v0共线，物体做直线运动。
(2)若a与v0不共线，物体做曲线运动。
3．互成角度的两个直线运动的合成
【典例2】 关于一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是曲线运动
B．可能是直线运动
C．运动的方向一定不变
D．速度一直在变，是变加速运动
思路点拨：解此题的关键是看加速度方向和合速度方向的关系。
B [由题意可知，两个分运动的合速度方向和加速度的方向可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，所以这两个分运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动，故B正确，A、C、D错误。]
曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体所受合力：若合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若合力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若它的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。
[跟进训练]
2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果a1a2＝v1v2，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上。如果a1a2＝v1v2，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，物体做直线运动，所以D正确。]
考点3 运动合成与分解的应用
1．运动的合成与分解的应用解题思路
(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。
(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。
(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。
(4)初速度与合外力决定了物体运动的轨迹，应先进行受力分析与运动分析，再确定研究方法。
2．两种常见物理模型
(1)小船渡河问题的常考实例
(2)“关联速度”模型
①确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动
相互接触的物体的问题―→效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动
由于绳长、杆长不变，所以各点沿绳、杆的分速度大小相等，从而建立关联。
②常见的速度分解实例
甲 乙
丙 丁
角度1 小船渡河问题
【典例3】 小船要横渡一条200 m宽的河流，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
[解析] (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝dv船＝2005 s＝40 s，小船沿水流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝v船2-v水2＝4 m/s，经历时间t′＝dv合＝2004 s＝50 s。又cs θ＝v水v船＝35＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cs θ′＝v船v水'＝12，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
[答案] (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s (3)船头指向与河岸的上游成60°角
(1)小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
(2)求渡河的最小位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。
(3)渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
角度2 “关联速度”问题
【典例4】 如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B．v2sinθ
C．v2cs θD．v2csθ
C [m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动是合运动(沿杆向下)，合速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cs θ ，所以选项C正确。
]
“四步”巧解“关联速度”问题
第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向；
第三步：按平行四边形法则进行分解，作好运动矢量图；
第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程。
[跟进训练]
3．(角度1)(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
A．若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头对着正对岸
B．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长
D．若皮划艇能到达河的正对岸，则皮划艇过河时间为dv2-v02
AD [河宽d一定，皮划艇船头对着河的正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，过河时间最短，根据运动的独立性，即使水流速度增大，最短过河时间也不变，故A正确，C错误；当v4．(角度2)如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。
]
1．关于两个运动的合运动，下列说法中正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
D．两个分运动的时间和它们合运动的时间不相等
B [两个互成角度的匀变速直线运动的合初速度为v，合加速度为a，由物体做曲线运动的条件可知，当v与a共线时，合运动为匀变速直线运动，如图甲所示，当v与a不共线时，合运动为匀变速曲线运动，如图乙所示，故选项A、C错误；两个互成角度的匀速直线运动的合成可看成如图甲所示a＝0的情况，所以合运动一定是匀速直线运动，故选项B正确；分运动和合运动具有等时性，故选项D错误。
]
甲 乙
2．河宽d＝60 m，水流速度v1＝4 m/s不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，则( )
A．小船能垂直直达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
C [由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，小船不能垂直到达正对岸，故A错误；当船速垂直于河岸时，小船渡河时间最短为tmin＝dv2＝603 s＝20 s，当水速增大时，渡河时间不受影响，故B错误，C正确；由于船速方向未知，无法求解渡河实际速度，故D错误。]
3．用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小D．先增大后减小
B [小船的运动为实际运动，把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大。v船＝vcsθ，由于θ不断增大，则cs θ不断减小，故v船逐渐增大。选项A、C、D错误，B正确。]
4．(新情境题，以生活中实例为背景，考查运动的合成与分解)如图所示，起重机是指在一定范围内垂直提升和水平搬运重物的多动作起重机械，又称天车、航吊、吊车。起重机所吊物体在水平方向的运动情况如图甲，在竖直方向的运动情况如图乙。
甲 乙
问题：(1)起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动，对吗？
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体的速度大小。
(3)求t＝3.5 s时，物体加速度的大小。
[解析] (1)在3 s内，起重机所吊物体在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，则所吊物体的加速度恒定，故起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动。
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体在水平方向的速度大小vx＝6 m/s，在竖直方向的速度大小vy＝8 m/s，则起重机所吊物体的速度大小v＝vx2+vy2＝10 m/s。
(3)a＝ax2+ay2＝32+42 m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)对 (2)10 m/s (3)5 m/s2
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．运动的合成与分解满足什么规律？合速度一定大于分速度吗？
提示：满足平行四边形法则；不一定。
2．如何判断一个运动是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：看加速度是否恒定。
3．在渡河问题中，如何区分合运动和分运动？
提示：船的实际运动是合运动。
课时分层作业(二) 运动的合成与分解
题组一 运动的合成与分解
1．如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R可视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x轴、y轴方向的运动情况可能是( )
A．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀速直线运动
B．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀加速直线运动
C．x轴方向匀减速直线运动，y轴方向匀速直线运动
D．x轴方向匀加速直线运动，y轴方向匀速直线运动
[答案] D
2．同学们到中国科技馆参观，看到了一个有趣的科学实验：如图所示，一辆小火车在平直轨道上匀速行驶，当火车将要从“∩”形框架的下方通过时，突然从火车顶部的小孔中向上弹出一小球，该小球越过框架后，又与通过框架的火车相遇，并恰好落回原来的孔中。下列说法中正确的是( )
A．相对于小火车，小球运动的轨迹是曲线
B．相对于地面，小球运动的轨迹是直线
C．小球能落回小孔是因为小球在空中运动的过程中受到水平向前的力
D．小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与小火车相同的速度
D [当以小火车为参考系时，水平方向由于惯性，小球与小火车共速，故小球在竖直方向做直线运动，小球运动的轨迹是直线；当以地面为参考系时，小球存在水平方向的速度，所以小球运动的轨迹是曲线，故A、B错误。小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与火车相同的速度，故C错误，D正确。]
题组二 合运动性质和轨迹的判断
3．有关运动的合成，以下说法不正确的是( )
A．两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
B．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是曲线运动
D．两个直线运动的合运动一定是直线运动
D [两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动合成时，其合加速度为两个方向的加速度的矢量和，由于初速度为零，所以合运动是匀加速直线运动，A正确；两个分运动都是匀速直线运动，则合加速度为零，合速度不为零，因此合运动仍然是匀速直线运动，B正确；不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动合成时，合加速度的方向与合速度的方向不在同一直线上，因此合运动是曲线运动，C正确；两个直线运动的合运动不一定是直线运动，比如C选项中两个直线运动的合运动是曲线运动，D错误。故本题应选D。]
4．如图所示，一块可升降白板沿墙壁竖直向上做匀速运动，某同学用画笔在白板上画线，画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速，后匀减速直到停止。取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则画笔在白板上画出的轨迹可能为( )
A B C D
D [由题可知，画笔相对白板竖直方向向下做匀速运动，水平方向先向右做匀加速运动，根据运动的合成和分解可知此时画笔做曲线运动，由于合加速度向右，则曲线凹侧向右，然后水平向右做匀减速运动，同理可知轨迹仍为曲线运动，由于合加速度向左，则曲线凹侧向左，故D正确，A、B、C错误。]
5．如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分速度的vx-t的图像，乙图表示该物体在y轴方向上的分速度的vy-t图像。求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
[解析] 由题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。
(1)在t＝0时，物体的速度v0＝vx＝3 m/s。
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度为3 m/s，沿y轴方向的速度为4 m/s，所以物体的速度为v8＝vx2+vy2＝5 m/s。
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝12at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移为l＝x2+y2＝410 m。
[答案] (1)3 m/s (2)5 m/s (3)410 m
6．2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边电力线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”。图甲、乙分别是某架无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。在0～2 s内，以下判断正确的是( )
甲 乙
A．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速直线运动
B．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速曲线运动
C．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速直线运动
D．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速曲线运动
A [在0～2 s内，x方向的初速度大小v0x＝0，加速度大小ax＝12-02 m/s2＝6 m/s2，y方向初速度大小vy＝0，加速度大小ay＝16-02 m/s2＝8 m/s2，根据平行四边形定则可以得到无人机合初速度为v＝0，合加速度大小为a＝ax2+ay2＝10 m/s2，故合运动为匀变速直线运动，A正确，B、C、D错误。]
题组三 运动的合成与分解的应用
7．一小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度不变，运动轨迹如图所示，则河水的流速( )
A．由A到B水速一直增大
B．由A到B水速一直减小
C．由A到B水速先增大后减小
D．由A到B水速先减小后增大
B [由题意可知，船相对静水的速度大小、方向不变，但合速度的方向越来越趋向于垂直河岸方向，由速度合成图可知，船越接近B，水速越小，即由A到B水速一直减小，B项正确，A、C、D错误。]
8．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
B [汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcs θ，汽车在向左匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于M的重力，选项A错误，B正确。]
9．如图，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，若A物体以速度v沿水平地面向左运动，某时刻系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，求此时B物体的速度。
[解析] 对A、B两物体速度分解图如图所示，由于两物体沿绳的速度分量相等，所以有v1＝vB1，即vcs α＝vBcs β，解得vB＝csαcsβv，方向水平向右。
[答案] csαcsβv，方向水平向右
学习任务
1．知道合运动与分运动的概念。
2．掌握运动合成与分解的方法，会用平行四边形法则对位移与速度进行合成与分解。
3．会用平行四边形法则画出速度和位移的合成与分解图，提高探究能力。
4．通过对小船过河等模型的运动合成与分解，培养学以致用的科学态度。
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
分运动
合运动
矢量图
条件
两个匀速直线运动
匀速直线运动
a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动
初速度为零的匀加速直线运动
v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
a与v方向相同
匀变速曲线运动
a与v成α角
情况
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝dv船，对应渡河位移x＝dv船v船2+v水2
渡河位移最短
当v水当v水>v船时，以v水矢量末端为圆心，以v船的大小为半径做圆，当合速度的方向与圆相切时，船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，此时船头与河岸夹角为π2-θ，最短渡河位移xmin＝dsinθ＝dv水v船
渡河船速最小
在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)一定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ
知识点一 运动的分析
1．运动的分析
根据作用效果的等效性，可以对力进行合成与分解。类比这一方法，我们也可以根据运动效果对运动进行合成与分解。
2．小球运动的分析
(1)如图不放B球只有A球：用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出。从运动效果来看，这一过程小球沿曲线路径运动，可以分解为两个同时进行的分运动。一个是水平方向上的直线运动，另一个是竖直方向上的直线运动。实际发生的运动可以看成上述两个分运动合成的结果。
(2)分运动具有独立性
如图所示把A球、B球都装置好，用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出，完全相同的B球被同时松开做自由落体运动。重复上述实验发现，虽然两球的运动轨迹不同，但无论球A水平飞出的初速度多大，两球几乎总是同时落地。这表明A球在竖直方向上的分运动是自由落体运动，且不会受到水平方向分运动的影响，A球在竖直和水平两个方向上的分运动具有独立性。
物体实际发生的运动是合运动。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动与分运动是同时进行的。( √ )
(2)同一个物体的分运动相互影响。( × )
(3)合运动与分运动是等效替代关系，同一运动中不能重复考虑。( √ )
知识点二 位移和速度的合成与分解
1．位移的合成与分解
研究表明，和力的合成与分解类似，位移的合成与分解同样遵循平行四边形法则。
如图，s为合位移，s1、s2为分位移
2．速度的合成与分解
研究表明，速度的合成与分解也同样遵循平行四边形法则。
如图，v是合速度，v1、v2是分速度。
说明：矢量的合成与分解都遵循平行四边形法则，运动的合成与分解实质是运动的位移、速度和加速度的合成与分解。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
(2)合运动的位移一定比分运动的位移大。( × )
3：填空
船在静水中的速度为4 m/s，水流速度为 3 m/s，则船的实际速度的范围是1 m/s≤v≤7 m/s。
如图所示，在军事演习中，直升机常常一边匀加速收拢绳索提升士兵，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
(1)士兵在水平方向和竖直方向分别做什么运动？
(2)如何判断士兵做的是直线运动还是曲线运动？
提示：(1)士兵在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。(2)士兵受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。
考点1 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
3．运动的合成与分解
(1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形法则。
(2)运动的合成与分解的方法：①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形法则进行合成与分解。在遵循平行四边形法则的前提下，灵活采用作图法、解析法，可以借鉴力的合成与分解的知识，具体问题具体分析。
【典例1】 如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以 0.1 m/s 的速度匀速上浮。当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°。玻璃管水平方向的移动速度为( )
A．0.1 m/s B．0.2 m/s
C．0.17 m/sD．无法确定
思路点拨：利用合运动与分运动的独立性、等时性及相互关系来求解。
C [蜡块的合运动是匀速直线运动，其方向与水平面成30°角，故tan 30°＝v1v2，故玻璃管水平方向的移动速度v2＝v1tan30°≈0.17 m/s，C项正确。]
[母题变式]
上例中，若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，蜡块运动的位移为( )
A．1.0 m B．2.0 m
C．1.7 mD．0.5 m
B [蜡块匀速运动到玻璃管顶端历时t＝1.00.1 s＝10 s，竖直位移x1＝1.0 m，该过程中玻璃管水平位移x2＝v2t＝0.1×3×10 m＝3 m，则蜡块的位移x＝x12+x22＝2.0 m，B项正确。]
[跟进训练]
1．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
B [运动员同时参与了两个分运动，沿竖直方向下下落和水平方向随风移动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，会对运动员造成伤害，但落地时间仅与下落的高度有关，当下落高度一定时，下落时间不变，故B正确。]
考点2 合运动性质和轨迹的判断
1．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)变化：非匀变速运动不变：匀变速运动
(2)加速度(方向)与速度(方向)共线：直线运动不共线：曲线运动
2．合运动轨迹的判断
(1)若a与v0共线，物体做直线运动。
(2)若a与v0不共线，物体做曲线运动。
3．互成角度的两个直线运动的合成
【典例2】 关于一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是曲线运动
B．可能是直线运动
C．运动的方向一定不变
D．速度一直在变，是变加速运动
思路点拨：解此题的关键是看加速度方向和合速度方向的关系。
B [由题意可知，两个分运动的合速度方向和加速度的方向可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，所以这两个分运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动，故B正确，A、C、D错误。]
曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体所受合力：若合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若合力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若它的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。
[跟进训练]
2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果a1a2＝v1v2，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上。如果a1a2＝v1v2，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，物体做直线运动，所以D正确。]
考点3 运动合成与分解的应用
1．运动的合成与分解的应用解题思路
(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。
(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。
(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。
(4)初速度与合外力决定了物体运动的轨迹，应先进行受力分析与运动分析，再确定研究方法。
2．两种常见物理模型
(1)小船渡河问题的常考实例
(2)“关联速度”模型
①确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动
相互接触的物体的问题―→效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动
由于绳长、杆长不变，所以各点沿绳、杆的分速度大小相等，从而建立关联。
②常见的速度分解实例
甲 乙
丙 丁
角度1 小船渡河问题
【典例3】 小船要横渡一条200 m宽的河流，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
[解析] (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝dv船＝2005 s＝40 s，小船沿水流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝v船2-v水2＝4 m/s，经历时间t′＝dv合＝2004 s＝50 s。又cs θ＝v水v船＝35＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cs θ′＝v船v水'＝12，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
[答案] (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s (3)船头指向与河岸的上游成60°角
(1)小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
(2)求渡河的最小位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。
(3)渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
角度2 “关联速度”问题
【典例4】 如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1
C．v2cs θD．v2csθ
C [m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动是合运动(沿杆向下)，合速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cs θ ，所以选项C正确。
]
“四步”巧解“关联速度”问题
第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向；
第三步：按平行四边形法则进行分解，作好运动矢量图；
第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程。
[跟进训练]
3．(角度1)(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
A．若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头对着正对岸
B．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长
D．若皮划艇能到达河的正对岸，则皮划艇过河时间为dv2-v02
AD [河宽d一定，皮划艇船头对着河的正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，过河时间最短，根据运动的独立性，即使水流速度增大，最短过河时间也不变，故A正确，C错误；当v
A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。
]
1．关于两个运动的合运动，下列说法中正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
D．两个分运动的时间和它们合运动的时间不相等
B [两个互成角度的匀变速直线运动的合初速度为v，合加速度为a，由物体做曲线运动的条件可知，当v与a共线时，合运动为匀变速直线运动，如图甲所示，当v与a不共线时，合运动为匀变速曲线运动，如图乙所示，故选项A、C错误；两个互成角度的匀速直线运动的合成可看成如图甲所示a＝0的情况，所以合运动一定是匀速直线运动，故选项B正确；分运动和合运动具有等时性，故选项D错误。
]
甲 乙
2．河宽d＝60 m，水流速度v1＝4 m/s不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，则( )
A．小船能垂直直达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
C [由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，小船不能垂直到达正对岸，故A错误；当船速垂直于河岸时，小船渡河时间最短为tmin＝dv2＝603 s＝20 s，当水速增大时，渡河时间不受影响，故B错误，C正确；由于船速方向未知，无法求解渡河实际速度，故D错误。]
3．用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小D．先增大后减小
B [小船的运动为实际运动，把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大。v船＝vcsθ，由于θ不断增大，则cs θ不断减小，故v船逐渐增大。选项A、C、D错误，B正确。]
4．(新情境题，以生活中实例为背景，考查运动的合成与分解)如图所示，起重机是指在一定范围内垂直提升和水平搬运重物的多动作起重机械，又称天车、航吊、吊车。起重机所吊物体在水平方向的运动情况如图甲，在竖直方向的运动情况如图乙。
甲 乙
问题：(1)起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动，对吗？
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体的速度大小。
(3)求t＝3.5 s时，物体加速度的大小。
[解析] (1)在3 s内，起重机所吊物体在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，则所吊物体的加速度恒定，故起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动。
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体在水平方向的速度大小vx＝6 m/s，在竖直方向的速度大小vy＝8 m/s，则起重机所吊物体的速度大小v＝vx2+vy2＝10 m/s。
(3)a＝ax2+ay2＝32+42 m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)对 (2)10 m/s (3)5 m/s2
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．运动的合成与分解满足什么规律？合速度一定大于分速度吗？
提示：满足平行四边形法则；不一定。
2．如何判断一个运动是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：看加速度是否恒定。
3．在渡河问题中，如何区分合运动和分运动？
提示：船的实际运动是合运动。
课时分层作业(二) 运动的合成与分解
题组一 运动的合成与分解
1．如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R可视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x轴、y轴方向的运动情况可能是( )
A．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀速直线运动
B．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀加速直线运动
C．x轴方向匀减速直线运动，y轴方向匀速直线运动
D．x轴方向匀加速直线运动，y轴方向匀速直线运动
[答案] D
2．同学们到中国科技馆参观，看到了一个有趣的科学实验：如图所示，一辆小火车在平直轨道上匀速行驶，当火车将要从“∩”形框架的下方通过时，突然从火车顶部的小孔中向上弹出一小球，该小球越过框架后，又与通过框架的火车相遇，并恰好落回原来的孔中。下列说法中正确的是( )
A．相对于小火车，小球运动的轨迹是曲线
B．相对于地面，小球运动的轨迹是直线
C．小球能落回小孔是因为小球在空中运动的过程中受到水平向前的力
D．小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与小火车相同的速度
D [当以小火车为参考系时，水平方向由于惯性，小球与小火车共速，故小球在竖直方向做直线运动，小球运动的轨迹是直线；当以地面为参考系时，小球存在水平方向的速度，所以小球运动的轨迹是曲线，故A、B错误。小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与火车相同的速度，故C错误，D正确。]
题组二 合运动性质和轨迹的判断
3．有关运动的合成，以下说法不正确的是( )
A．两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
B．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是曲线运动
D．两个直线运动的合运动一定是直线运动
D [两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动合成时，其合加速度为两个方向的加速度的矢量和，由于初速度为零，所以合运动是匀加速直线运动，A正确；两个分运动都是匀速直线运动，则合加速度为零，合速度不为零，因此合运动仍然是匀速直线运动，B正确；不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动合成时，合加速度的方向与合速度的方向不在同一直线上，因此合运动是曲线运动，C正确；两个直线运动的合运动不一定是直线运动，比如C选项中两个直线运动的合运动是曲线运动，D错误。故本题应选D。]
4．如图所示，一块可升降白板沿墙壁竖直向上做匀速运动，某同学用画笔在白板上画线，画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速，后匀减速直到停止。取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则画笔在白板上画出的轨迹可能为( )
A B C D
D [由题可知，画笔相对白板竖直方向向下做匀速运动，水平方向先向右做匀加速运动，根据运动的合成和分解可知此时画笔做曲线运动，由于合加速度向右，则曲线凹侧向右，然后水平向右做匀减速运动，同理可知轨迹仍为曲线运动，由于合加速度向左，则曲线凹侧向左，故D正确，A、B、C错误。]
5．如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分速度的vx-t的图像，乙图表示该物体在y轴方向上的分速度的vy-t图像。求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
[解析] 由题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。
(1)在t＝0时，物体的速度v0＝vx＝3 m/s。
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度为3 m/s，沿y轴方向的速度为4 m/s，所以物体的速度为v8＝vx2+vy2＝5 m/s。
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝12at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移为l＝x2+y2＝410 m。
[答案] (1)3 m/s (2)5 m/s (3)410 m
6．2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边电力线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”。图甲、乙分别是某架无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。在0～2 s内，以下判断正确的是( )
甲 乙
A．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速直线运动
B．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速曲线运动
C．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速直线运动
D．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速曲线运动
A [在0～2 s内，x方向的初速度大小v0x＝0，加速度大小ax＝12-02 m/s2＝6 m/s2，y方向初速度大小vy＝0，加速度大小ay＝16-02 m/s2＝8 m/s2，根据平行四边形定则可以得到无人机合初速度为v＝0，合加速度大小为a＝ax2+ay2＝10 m/s2，故合运动为匀变速直线运动，A正确，B、C、D错误。]
题组三 运动的合成与分解的应用
7．一小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度不变，运动轨迹如图所示，则河水的流速( )
A．由A到B水速一直增大
B．由A到B水速一直减小
C．由A到B水速先增大后减小
D．由A到B水速先减小后增大
B [由题意可知，船相对静水的速度大小、方向不变，但合速度的方向越来越趋向于垂直河岸方向，由速度合成图可知，船越接近B，水速越小，即由A到B水速一直减小，B项正确，A、C、D错误。]
8．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
B [汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcs θ，汽车在向左匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于M的重力，选项A错误，B正确。]
9．如图，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，若A物体以速度v沿水平地面向左运动，某时刻系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，求此时B物体的速度。
[解析] 对A、B两物体速度分解图如图所示，由于两物体沿绳的速度分量相等，所以有v1＝vB1，即vcs α＝vBcs β，解得vB＝csαcsβv，方向水平向右。
[答案] csαcsβv，方向水平向右
学习任务
1．知道合运动与分运动的概念。
2．掌握运动合成与分解的方法，会用平行四边形法则对位移与速度进行合成与分解。
3．会用平行四边形法则画出速度和位移的合成与分解图，提高探究能力。
4．通过对小船过河等模型的运动合成与分解，培养学以致用的科学态度。
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
分运动
合运动
矢量图
条件
两个匀速直线运动
匀速直线运动
a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动
初速度为零的匀加速直线运动
v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
a与v方向相同
匀变速曲线运动
a与v成α角
情况
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝dv船，对应渡河位移x＝dv船v船2+v水2
渡河位移最短
当v水
渡河船速最小
在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)一定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ
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