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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律第四节 宇宙速度与航天学案及答案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律第四节 宇宙速度与航天学案及答案，共20页。
1．第一宇宙速度
(1)航天器环绕地球做匀速圆周运动。设地球质量为M，航天器质量为m、速度为v、到地心的距离为r，地球对航天器的引力是航天器做圆周运动所需的向心力。有GMmr2＝mv2r
解得v＝GMr。
(2)数值：航天器到地心的距离r可近似等于地球的半径R，把地球的质量M＝5.97×1024 kg和地球平均半径R＝6.37×106 m代入后算出：
v＝GMR＝7.9 km/s，称为第一宇宙速度，也叫环绕速度。
2．第二宇宙速度
航天器一旦发射速度大于等于11.2 km/s，航天器就会挣脱地球的引力，不再绕地球运行，而是绕太阳运动或飞向其他行星。因此人们将v＝11.2 km/s称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度。
3．第三宇宙速度
如果要使航天器挣脱太阳的引力，飞出太阳系，其发射速度至少要达到v＝16.7 km/s，这一速度称为第三宇宙速度。
第一宇宙速度是最大环绕速度也是最小发射速度。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)卫星的运行速度随轨道半径的增大而增大。( × )
(2)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是 10 km/s。( × )
(3)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是 7.9 km/s。( √ )
知识点二 人造卫星与遨游太空
1．同步卫星
地球同步卫星指与地球相对静止的卫星。这种卫星的轨道平面与赤道平面重合，并且位于赤道上空一定的高度上。地心位于卫星轨道的圆心。“同步”的意思是卫星运动与地球自转的角速度和方向相同，周期是24小时。
2．遨游太空
1957年10月4日，苏联发射了第一颗人造地球卫星。
1969年7月20日，美国发射“阿波罗11号”宇宙飞船，实现人类第一次登月。
2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船成功发射，把我国第一位宇航员杨利伟送入太空。
不同国家发射的地球同步卫星离地面高度是否相同？
提示：相同。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同步卫星可以“静止”在北京的上空。( × )
(2)所有同步卫星的离地高度都相同。( √ )
(3)不同国家发射的同步卫星具有不同的轨道。( × )
3：填空
假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的_________倍。
[答案] 22
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度的大小等跟什么因素有关呢？
提示：(1)轨道平面过地心。
(2)与轨道半径有关。
考点1 宇宙速度的理解与计算
1．宇宙速度
(1)三个宇宙速度v1、v2、v3
(2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。
(3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。
2．第一宇宙速度的推导
(1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s2)，则
方法一：r≈R万有引力 提供向心力 Gm地mR2=mv2R→v=Gm地R=7.9 km/s
方法二：万有引力近似等于卫星重力 卫星重力 提供向心力 mg=mv2R→v=gR=7.9 km/s
(2)其他星球的第一宇宙速度
①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝GM星R或v＝gR，式中G为引力常量，m星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。
②第一宇宙速度之值由中心星球决定。
3．对最小发射速度和最大环绕速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
角度1 宇宙速度的理解
【典例1】 牛顿曾提出过一个著名的思想实验：如图所示，从高山上水平抛出一个物体，当抛出的速度足够大时，物体将环绕地球不停地转动而不会掉下来。据此思考并讨论以下问题：
(1)当抛出速度较小时，物体做什么运动？当物体刚好不落回地面时，物体做什么运动？当抛出速度非常大时，物体还能落回地球吗？
(2)已知地球的质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，若物体紧贴地面飞行而不落回地面，其速度大小为多少？
(3)已知地球半径R＝6 400 km，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，则物体紧贴地球表面做圆周运动的速度多大？地球的第一宇宙速度为多少？
[解析] (1)当抛出速度较小时，物体做平抛运动。当物体刚好不落回地面时，物体做匀速圆周运动。当抛出速度非常大时，物体会挣脱地球的引力，不能落回地球。
(2)物体不落回地面，应围绕地球做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，有Gm地mR2＝mv2R，解得v＝Gm地R。
(3)当其紧贴地面飞行时，轨道半径约为R，由mg＝mv2R得v＝gR＝8 km/s。实际上地球的第一宇宙速度大约为7.9 km/s。
[答案] (1)平抛运动 匀速圆周运动 不能 (2)Gm地R (3)8 km/s 7.9 km/s。
角度2 宇宙速度的计算
【典例2】 2020年11月24日我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥五号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/sD．36 km/s
B [卫星绕月运行的最大速率即月球的第一宇宙速度，卫星所需的向心力由万有引力提供，Gm月mr月2＝mv2r月，得v＝Gm月r月，又由m月m地＝181、r月r地＝14，故月球和地球上第一宇宙速度之比v月v地＝29，故v月＝7.9×29 km/s≈1.8 km/s，因此B项正确。]
处理有关三个宇宙速度的问题时，关键要理解和把握以下两点：
(1)发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。近地卫星可认为v发＝v运，其他较高的卫星则有v发>v运。
(2)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度；当16.7 km/s>v≥11.2 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”；当v≥16.7 km/s时，卫星挣脱太阳的引力，逃到太阳系以外的宇宙空间。
[跟进训练]
1．(角度1)以下关于宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道运行时的最大速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道运行时的最小速度
C．人造地球卫星在圆轨道运行时的速度可以等于第二宇宙速度
D．地球上的物体无论具有多大的速度都不可能脱离太阳的束缚
A [根据GMmR2＝mv2R可得人造地球卫星的线速度v＝GMR，故轨道半径越大，卫星的运行速度越小，而第一宇宙速度是卫星沿地球表面运动时的速度，所以第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道上运行的最大速度，故A项正确，B项错误；当卫星的速度大于或等于第二宇宙速度时，卫星脱离地球的吸引，不再绕地球运行，故人造地球卫星在圆轨道上运行时的速度一定小于第二宇宙速度，故C项错误；当物体的速度大于等于第三宇宙速度 16.7 km/s 时，物体将脱离太阳的束缚，故D项错误。]
2．(角度2)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/sD．35.2 km/s
A [构建公转模型，由万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，对近地卫星有v近地＝GM地r近地，同理对航天器有v航＝GM火r航，联立两式有v航v近地＝M火r近地M地r航＝55，而v近地≈7.9 km/s，解得v航≈3.5 km/s，A正确。]
考点2 人造地球卫星
1．人造地球卫星轨道特点
(1)卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。
(2)卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。
(3)卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，可以通过两极上空(极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。
2．地球同步卫星
(1)地球同步卫星：位于地球赤道上空，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球自转的角速度相同，广泛应用于通信，又叫作同步通信卫星。
(2)地球同步卫星的特点
【典例3】 (多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为3Gm地T24π2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为Gm地mR2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
BD [由Gm地mR+h2＝mR+h2πT2得卫星距地面的高度为h＝3Gm地T24π2－R，选项A错误；第一宇宙速度是卫星最小的发射的速度，最大的环绕速度，选项B正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为Gm地mR+h2，选项C错误；由 Gm地mR+h2＝ma得卫星运行的向心加速度为a＝Gm地R+h2，由Gm地mR2＝mg得地球表面的重力加速度为g＝Gm地R2，选项D正确。]
解决同步卫星问题的技巧
(1)同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。
(2)同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。
[跟进训练]
3．某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)。则此卫星的( )
A．线速度大于第一宇宙速度
B．周期小于同步卫星的周期
C．角速度大于月球绕地球运行的角速度
D．向心加速度大于地面的重力加速度
C [根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，轨道半径越大，线速度越小，此卫星轨道半径大于地球半径，线速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星相对于地面静止，周期应等于同步卫星的周期，B错误；该卫星周期为24 h，小于月球绕地球转动的周期(约27天)，ω＝2πT，所以该卫星绕地球转动的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C正确；根据GMmr2＝ma，得a＝GMr2，卫星轨道半径大于地球半径，向心加速度小于地面的重力加速度，D错误。]
1．在地球上以速度v发射一颗卫星，其刚好在地面附近绕地球做匀速圆周运动。关于该卫星，下列说法正确的是( )
A．发射速度v的大小可能是9 km/s
B．若发射速度v提高到10 km/s，该卫星绕地球运行的轨迹为椭圆
C．若发射速度提高到2v，该卫星将绕地球在更高的椭圆轨道上运行
D．若发射速度提高到2v，该卫星将挣脱太阳引力的束缚
B [当发射速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间时，卫星绕地球运行的轨迹为椭圆，故A错误，B正确；由题意可知卫星发射速度v＝7.9 km/s，若发射速度提高到2v，即15.8 km/s，其介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，该卫星将会挣脱地球的束缚，不会在更高的椭圆轨道上运动，但不会挣脱太阳引力的束缚，故C、D错误。]
2．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
[答案] A
3．(多选)用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通信卫星所受万有引力的大小为( )
A．0 B．mR2gR+h2
C．m3R2gω4D．以上结果都不正确
BC [地球表面的重力近似等于万有引力大小，即mg＝GMmR2，则有GM＝gR2，当通信卫星在距离地面高h处运行时，其受到的万有引力大小F＝mR2gR+h2，选项B正确；另外，同步卫星与地球自转角速度相等，因此mω2(R＋h)＝mR2gR+h2，所以R＋h＝3R2gω2，F＝mω2(R＋h)＝m3R2gω4，选项C正确。]
4．(新情境题，以发射卫星为背景考查宇宙速度)2021年1月20日，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“天通一号01星”卫星发射升空，卫星进入预定轨道。“天通一号01星”卫星是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，离地面的高度大约为地球半径的6倍。
问题：“天通一号01星”卫星的运行速度与第一宇宙速度之比大约为多少？
[解析] 设地球的半径为R，则“天通一号01星”卫星的轨道半径为7R。设地球的第一宇宙速度为v1，则有
GMmR2＝mv12R①
设“天通一号01星”卫星的运行速度为v2，则有
GMm7R2＝mv227R②
解①②得v2∶v1＝1∶7。
[答案] 1∶7
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．三种宇宙速度分别是多大？
提示：vⅠ＝7.9 km/s，vⅡ＝11.2 km/s，vⅢ＝16.7 km/s。
2．同步卫星有什么特点？
提示：轨道在赤道正上方，周期为24小时，高度、速度确定。
3．推导第一宇宙速度的依据是什么？
提示：依据GMmR2＝mv2R，mg＝mv2R。
课时分层作业(十一) 宇宙速度与航天
题组一 宇宙速度的理解与计算
1．2021年10月16日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接。飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行。若将神舟十三号绕地球的运动视作匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是( )
A．飞船发射速度大于11.2 km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9 km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24 h
D．飞船绕地飞行过程中航天员不再受重力作用
C [第一宇宙速度7.9 km/s是绕地球做圆周运动的卫星的最大绕行速度，也是最小的发射速度，则飞船的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，飞船绕地球飞行速度一定小于7.9 km/s，故A、B错误；地球同步卫星的轨道高度大约为地球半径的6倍，大于飞船的远地点高度，因为“越高越慢”，飞船绕地球飞行的周期小于24 h，故C正确；飞船飞行过程中仍受地球引力作用，航天员仍受重力作用，故D错误。]
2．一航天员在某星球上立定跳高的最好成绩是地球上的4倍，该星球半径为地球的一半。阻力不计，则该星球的第一宇宙速度约为( )
A．2.0 km/s B．2.8 km/s
C．4.0 km/sD．5.9 km/s
B [根据h＝v022g可知4g星＝g地，又R星＝12R地，根据第一宇宙速度的表达式v＝gR可得，v星＝g星g地×R星R地·v地＝14×12·v地＝7.922 km/s≈2.8 km/s。]
3．(多选)某研究小组成功通过开普勒太空望远镜发现一颗代号为K2-18b的类地行星的大气中有水汽，含量可能在0.1%～50%之间。如果K2-18b和地球均视为均匀球体，其半径与地球半径之比为p，其质量与地球质量之比为q，则K2-18b和地球( )
A．表面的重力加速度之比为qp2
B．表面的重力加速度之比为pq2
C．第一宇宙速度之比为pq
D．第一宇宙速度之比为qp
AD [根据星球表面物体受到的万有引力等于物体的重力，有GMmR2＝mg，得星球表面重力加速度g＝GMR2，故g行g地＝M行M地·R地2R行2＝qp2，A对，B错；根据万有引力提供向心力，有GMmR2＝mv2R，得第一宇宙速度v＝GMR，故v行v地＝M行M地·R地R行＝qp，C错，D对。]
4．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的大小关系是v2＝2v1。已知某星球半径是地球半径R的12，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的14，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A．12gR B．13gR
C．16gRD．gR
A [设该星球的质量为M，半径为r，绕其表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得GMmr2＝mv12r，解得v1＝GMr，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的14，得GMmr2＝mg4，又由于v2＝2v1，且该星球半径是地球半径R的12，由上可解得v2＝12gR，故A正确，B、C、D错误。]
5．一航天员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0向上抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度。
[解析] (1)根据竖直上抛运动规律可知，小球运动时间t＝2v0g
可得星球表面重力加速度g＝2v0t。
(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的万有引力，则有mg＝GMmR2
得M＝gR2G＝2v0R2Gt
因为V＝4πR33
则有ρ＝MV＝3v02πRGt。
(3)重力提供向心力，故mg＝mv2R
该星球的“第一宇宙速度”v＝gR＝2v0Rt。
[答案] (1)2v0t (2)3v02πRGt (3)2v0Rt
题组二 人造地球卫星
6．(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
AB [分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A正确；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在关于长轴对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：GMmR+h2＝m(R＋h)4π2T2，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。]
7．2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
D [同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由GMmr2＝mv2r知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确。]
8．如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是( )
A．根据v＝gr可知vAB．根据万有引力定律可知FA>FB>FC
C．角速度ωA>ωB>ωC
D．向心加速度aAC [由题图知三颗不同的人造地球卫星的轨道半径关系为rAvB>vC，选项A错误；由于三颗卫星的质量关系不确定，故万有引力大小不确定，选项B错误；ω＝GMr3，所以ωA>ωB>ωC，选项C正确；a＝GMr2，所以aA>aB>aC，选项D错误。]
9．(多选)地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝a2b2c4π2求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则( )
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
AD [由GMmr2＝mr2πT2，GMmR2＝mg，联立解得r3＝R2T2g4π2，对比r3＝a2b2c4π2可知，a是地球半径，b是地球自转的周期，也是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度，选项A、D正确。]
1．如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( )
A．a、b的周期比c的大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c的小
C [卫星环绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由公式GMmr2＝m4π2T2r得T＝2πr3GM，则a、b的周期比c的小，A错误；由于a、b的质量关系未知，则a、b的向心力大小无法确定，B错误；由公式GMmr2＝mv2r得v＝GMr，a、b的速度大小相等，C正确；由公式GMmr2＝ma得a＝GMr2，a、b的向心加速度比c的向心加速度大，D错误。]
2．(2022·广东卷) “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
D [由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据GMmr2＝m4π2T2r可得T＝2πr3GM，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝2πT可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据GMmr2＝ma可得a＝GMr2，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。故选D。]
3．已知某星球的半径为R，在该星球表面航天员以速度v0水平抛出的小球经过时间t落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，不计一切阻力，忽略星球的自转，引力常量为G。求：
(1)该星球的质量；
(2)该星球的第一宇宙速度。
[解析] (1)平抛物体的速度垂直斜面，由运动规律：
v0＝vy tan θ，vy＝gt
星球表面：GMmR2＝mg
解得M＝v0R2Gttanθ。
(2)星球表面转动的卫星m′g＝m′v2R
解得v＝v0Rttanθ。
[答案] (1)v0R2Gttanθ (2)v0Rttanθ
4．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
[解析] (1)由万有引力定律和向心力公式得
GMmR+h2＝m4π2TB2(R＋h)①
GMmR2＝mg②
联立①②解得 TB＝2πR+h3R2g。③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π④
由③得 ωB＝2πTB＝gR2R+h3⑤
代入④得t＝2πR2gR+h3-ω0。
[答案] (1)2πR+h3R2g (2)2πR2gR+h3-ω0
学习任务
1．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
2．了解人造卫星的有关知识，会分析人造地球卫星的受力和运动情况并解决涉及人造卫星运动的相关问题。
3．知道同步卫星的特点。
4．了解宇宙航行的历程与发展，感受人类对未知世界的探索精神及物理模型的重要性。
特点
内容
周期一定
与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s
角速度一定
与地球自转的角速度相同
高度一定
卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)
向心加速度大小一定
an≈0.23 m/s2
轨道平面一定
轨道平面与赤道平面共面
1．第一宇宙速度
(1)航天器环绕地球做匀速圆周运动。设地球质量为M，航天器质量为m、速度为v、到地心的距离为r，地球对航天器的引力是航天器做圆周运动所需的向心力。有GMmr2＝mv2r
解得v＝GMr。
(2)数值：航天器到地心的距离r可近似等于地球的半径R，把地球的质量M＝5.97×1024 kg和地球平均半径R＝6.37×106 m代入后算出：
v＝GMR＝7.9 km/s，称为第一宇宙速度，也叫环绕速度。
2．第二宇宙速度
航天器一旦发射速度大于等于11.2 km/s，航天器就会挣脱地球的引力，不再绕地球运行，而是绕太阳运动或飞向其他行星。因此人们将v＝11.2 km/s称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度。
3．第三宇宙速度
如果要使航天器挣脱太阳的引力，飞出太阳系，其发射速度至少要达到v＝16.7 km/s，这一速度称为第三宇宙速度。
第一宇宙速度是最大环绕速度也是最小发射速度。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)卫星的运行速度随轨道半径的增大而增大。( × )
(2)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是 10 km/s。( × )
(3)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是 7.9 km/s。( √ )
知识点二 人造卫星与遨游太空
1．同步卫星
地球同步卫星指与地球相对静止的卫星。这种卫星的轨道平面与赤道平面重合，并且位于赤道上空一定的高度上。地心位于卫星轨道的圆心。“同步”的意思是卫星运动与地球自转的角速度和方向相同，周期是24小时。
2．遨游太空
1957年10月4日，苏联发射了第一颗人造地球卫星。
1969年7月20日，美国发射“阿波罗11号”宇宙飞船，实现人类第一次登月。
2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船成功发射，把我国第一位宇航员杨利伟送入太空。
不同国家发射的地球同步卫星离地面高度是否相同？
提示：相同。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同步卫星可以“静止”在北京的上空。( × )
(2)所有同步卫星的离地高度都相同。( √ )
(3)不同国家发射的同步卫星具有不同的轨道。( × )
3：填空
假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的_________倍。
[答案] 22
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度的大小等跟什么因素有关呢？
提示：(1)轨道平面过地心。
(2)与轨道半径有关。
考点1 宇宙速度的理解与计算
1．宇宙速度
(1)三个宇宙速度v1、v2、v3
(2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。
(3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。
2．第一宇宙速度的推导
(1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s2)，则
方法一：r≈R万有引力 提供向心力 Gm地mR2=mv2R→v=Gm地R=7.9 km/s
方法二：万有引力近似等于卫星重力 卫星重力 提供向心力 mg=mv2R→v=gR=7.9 km/s
(2)其他星球的第一宇宙速度
①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝GM星R或v＝gR，式中G为引力常量，m星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。
②第一宇宙速度之值由中心星球决定。
3．对最小发射速度和最大环绕速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
角度1 宇宙速度的理解
【典例1】 牛顿曾提出过一个著名的思想实验：如图所示，从高山上水平抛出一个物体，当抛出的速度足够大时，物体将环绕地球不停地转动而不会掉下来。据此思考并讨论以下问题：
(1)当抛出速度较小时，物体做什么运动？当物体刚好不落回地面时，物体做什么运动？当抛出速度非常大时，物体还能落回地球吗？
(2)已知地球的质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，若物体紧贴地面飞行而不落回地面，其速度大小为多少？
(3)已知地球半径R＝6 400 km，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，则物体紧贴地球表面做圆周运动的速度多大？地球的第一宇宙速度为多少？
[解析] (1)当抛出速度较小时，物体做平抛运动。当物体刚好不落回地面时，物体做匀速圆周运动。当抛出速度非常大时，物体会挣脱地球的引力，不能落回地球。
(2)物体不落回地面，应围绕地球做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，有Gm地mR2＝mv2R，解得v＝Gm地R。
(3)当其紧贴地面飞行时，轨道半径约为R，由mg＝mv2R得v＝gR＝8 km/s。实际上地球的第一宇宙速度大约为7.9 km/s。
[答案] (1)平抛运动 匀速圆周运动 不能 (2)Gm地R (3)8 km/s 7.9 km/s。
角度2 宇宙速度的计算
【典例2】 2020年11月24日我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥五号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/sD．36 km/s
B [卫星绕月运行的最大速率即月球的第一宇宙速度，卫星所需的向心力由万有引力提供，Gm月mr月2＝mv2r月，得v＝Gm月r月，又由m月m地＝181、r月r地＝14，故月球和地球上第一宇宙速度之比v月v地＝29，故v月＝7.9×29 km/s≈1.8 km/s，因此B项正确。]
处理有关三个宇宙速度的问题时，关键要理解和把握以下两点：
(1)发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。近地卫星可认为v发＝v运，其他较高的卫星则有v发>v运。
(2)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度；当16.7 km/s>v≥11.2 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”；当v≥16.7 km/s时，卫星挣脱太阳的引力，逃到太阳系以外的宇宙空间。
[跟进训练]
1．(角度1)以下关于宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道运行时的最大速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道运行时的最小速度
C．人造地球卫星在圆轨道运行时的速度可以等于第二宇宙速度
D．地球上的物体无论具有多大的速度都不可能脱离太阳的束缚
A [根据GMmR2＝mv2R可得人造地球卫星的线速度v＝GMR，故轨道半径越大，卫星的运行速度越小，而第一宇宙速度是卫星沿地球表面运动时的速度，所以第一宇宙速度是人造地球卫星在圆轨道上运行的最大速度，故A项正确，B项错误；当卫星的速度大于或等于第二宇宙速度时，卫星脱离地球的吸引，不再绕地球运行，故人造地球卫星在圆轨道上运行时的速度一定小于第二宇宙速度，故C项错误；当物体的速度大于等于第三宇宙速度 16.7 km/s 时，物体将脱离太阳的束缚，故D项错误。]
2．(角度2)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/sD．35.2 km/s
A [构建公转模型，由万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，对近地卫星有v近地＝GM地r近地，同理对航天器有v航＝GM火r航，联立两式有v航v近地＝M火r近地M地r航＝55，而v近地≈7.9 km/s，解得v航≈3.5 km/s，A正确。]
考点2 人造地球卫星
1．人造地球卫星轨道特点
(1)卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。
(2)卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。
(3)卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，可以通过两极上空(极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。
2．地球同步卫星
(1)地球同步卫星：位于地球赤道上空，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球自转的角速度相同，广泛应用于通信，又叫作同步通信卫星。
(2)地球同步卫星的特点
【典例3】 (多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为3Gm地T24π2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为Gm地mR2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
BD [由Gm地mR+h2＝mR+h2πT2得卫星距地面的高度为h＝3Gm地T24π2－R，选项A错误；第一宇宙速度是卫星最小的发射的速度，最大的环绕速度，选项B正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为Gm地mR+h2，选项C错误；由 Gm地mR+h2＝ma得卫星运行的向心加速度为a＝Gm地R+h2，由Gm地mR2＝mg得地球表面的重力加速度为g＝Gm地R2，选项D正确。]
解决同步卫星问题的技巧
(1)同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。
(2)同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。
[跟进训练]
3．某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)。则此卫星的( )
A．线速度大于第一宇宙速度
B．周期小于同步卫星的周期
C．角速度大于月球绕地球运行的角速度
D．向心加速度大于地面的重力加速度
C [根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，轨道半径越大，线速度越小，此卫星轨道半径大于地球半径，线速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星相对于地面静止，周期应等于同步卫星的周期，B错误；该卫星周期为24 h，小于月球绕地球转动的周期(约27天)，ω＝2πT，所以该卫星绕地球转动的角速度大于月球绕地球运行的角速度，C正确；根据GMmr2＝ma，得a＝GMr2，卫星轨道半径大于地球半径，向心加速度小于地面的重力加速度，D错误。]
1．在地球上以速度v发射一颗卫星，其刚好在地面附近绕地球做匀速圆周运动。关于该卫星，下列说法正确的是( )
A．发射速度v的大小可能是9 km/s
B．若发射速度v提高到10 km/s，该卫星绕地球运行的轨迹为椭圆
C．若发射速度提高到2v，该卫星将绕地球在更高的椭圆轨道上运行
D．若发射速度提高到2v，该卫星将挣脱太阳引力的束缚
B [当发射速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间时，卫星绕地球运行的轨迹为椭圆，故A错误，B正确；由题意可知卫星发射速度v＝7.9 km/s，若发射速度提高到2v，即15.8 km/s，其介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，该卫星将会挣脱地球的束缚，不会在更高的椭圆轨道上运动，但不会挣脱太阳引力的束缚，故C、D错误。]
2．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
[答案] A
3．(多选)用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通信卫星所受万有引力的大小为( )
A．0 B．mR2gR+h2
C．m3R2gω4D．以上结果都不正确
BC [地球表面的重力近似等于万有引力大小，即mg＝GMmR2，则有GM＝gR2，当通信卫星在距离地面高h处运行时，其受到的万有引力大小F＝mR2gR+h2，选项B正确；另外，同步卫星与地球自转角速度相等，因此mω2(R＋h)＝mR2gR+h2，所以R＋h＝3R2gω2，F＝mω2(R＋h)＝m3R2gω4，选项C正确。]
4．(新情境题，以发射卫星为背景考查宇宙速度)2021年1月20日，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“天通一号01星”卫星发射升空，卫星进入预定轨道。“天通一号01星”卫星是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，离地面的高度大约为地球半径的6倍。
问题：“天通一号01星”卫星的运行速度与第一宇宙速度之比大约为多少？
[解析] 设地球的半径为R，则“天通一号01星”卫星的轨道半径为7R。设地球的第一宇宙速度为v1，则有
GMmR2＝mv12R①
设“天通一号01星”卫星的运行速度为v2，则有
GMm7R2＝mv227R②
解①②得v2∶v1＝1∶7。
[答案] 1∶7
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．三种宇宙速度分别是多大？
提示：vⅠ＝7.9 km/s，vⅡ＝11.2 km/s，vⅢ＝16.7 km/s。
2．同步卫星有什么特点？
提示：轨道在赤道正上方，周期为24小时，高度、速度确定。
3．推导第一宇宙速度的依据是什么？
提示：依据GMmR2＝mv2R，mg＝mv2R。
课时分层作业(十一) 宇宙速度与航天
题组一 宇宙速度的理解与计算
1．2021年10月16日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接。飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行。若将神舟十三号绕地球的运动视作匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是( )
A．飞船发射速度大于11.2 km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9 km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24 h
D．飞船绕地飞行过程中航天员不再受重力作用
C [第一宇宙速度7.9 km/s是绕地球做圆周运动的卫星的最大绕行速度，也是最小的发射速度，则飞船的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，飞船绕地球飞行速度一定小于7.9 km/s，故A、B错误；地球同步卫星的轨道高度大约为地球半径的6倍，大于飞船的远地点高度，因为“越高越慢”，飞船绕地球飞行的周期小于24 h，故C正确；飞船飞行过程中仍受地球引力作用，航天员仍受重力作用，故D错误。]
2．一航天员在某星球上立定跳高的最好成绩是地球上的4倍，该星球半径为地球的一半。阻力不计，则该星球的第一宇宙速度约为( )
A．2.0 km/s B．2.8 km/s
C．4.0 km/sD．5.9 km/s
B [根据h＝v022g可知4g星＝g地，又R星＝12R地，根据第一宇宙速度的表达式v＝gR可得，v星＝g星g地×R星R地·v地＝14×12·v地＝7.922 km/s≈2.8 km/s。]
3．(多选)某研究小组成功通过开普勒太空望远镜发现一颗代号为K2-18b的类地行星的大气中有水汽，含量可能在0.1%～50%之间。如果K2-18b和地球均视为均匀球体，其半径与地球半径之比为p，其质量与地球质量之比为q，则K2-18b和地球( )
A．表面的重力加速度之比为qp2
B．表面的重力加速度之比为pq2
C．第一宇宙速度之比为pq
D．第一宇宙速度之比为qp
AD [根据星球表面物体受到的万有引力等于物体的重力，有GMmR2＝mg，得星球表面重力加速度g＝GMR2，故g行g地＝M行M地·R地2R行2＝qp2，A对，B错；根据万有引力提供向心力，有GMmR2＝mv2R，得第一宇宙速度v＝GMR，故v行v地＝M行M地·R地R行＝qp，C错，D对。]
4．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的大小关系是v2＝2v1。已知某星球半径是地球半径R的12，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的14，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A．12gR B．13gR
C．16gRD．gR
A [设该星球的质量为M，半径为r，绕其表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得GMmr2＝mv12r，解得v1＝GMr，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的14，得GMmr2＝mg4，又由于v2＝2v1，且该星球半径是地球半径R的12，由上可解得v2＝12gR，故A正确，B、C、D错误。]
5．一航天员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0向上抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度。
[解析] (1)根据竖直上抛运动规律可知，小球运动时间t＝2v0g
可得星球表面重力加速度g＝2v0t。
(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的万有引力，则有mg＝GMmR2
得M＝gR2G＝2v0R2Gt
因为V＝4πR33
则有ρ＝MV＝3v02πRGt。
(3)重力提供向心力，故mg＝mv2R
该星球的“第一宇宙速度”v＝gR＝2v0Rt。
[答案] (1)2v0t (2)3v02πRGt (3)2v0Rt
题组二 人造地球卫星
6．(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
AB [分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A正确；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在关于长轴对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：GMmR+h2＝m(R＋h)4π2T2，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。]
7．2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
D [同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由GMmr2＝mv2r知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确。]
8．如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是( )
A．根据v＝gr可知vA
C．角速度ωA>ωB>ωC
D．向心加速度aA
9．(多选)地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝a2b2c4π2求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则( )
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
AD [由GMmr2＝mr2πT2，GMmR2＝mg，联立解得r3＝R2T2g4π2，对比r3＝a2b2c4π2可知，a是地球半径，b是地球自转的周期，也是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度，选项A、D正确。]
1．如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( )
A．a、b的周期比c的大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c的小
C [卫星环绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由公式GMmr2＝m4π2T2r得T＝2πr3GM，则a、b的周期比c的小，A错误；由于a、b的质量关系未知，则a、b的向心力大小无法确定，B错误；由公式GMmr2＝mv2r得v＝GMr，a、b的速度大小相等，C正确；由公式GMmr2＝ma得a＝GMr2，a、b的向心加速度比c的向心加速度大，D错误。]
2．(2022·广东卷) “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
D [由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据GMmr2＝m4π2T2r可得T＝2πr3GM，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝2πT可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据GMmr2＝ma可得a＝GMr2，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。故选D。]
3．已知某星球的半径为R，在该星球表面航天员以速度v0水平抛出的小球经过时间t落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，不计一切阻力，忽略星球的自转，引力常量为G。求：
(1)该星球的质量；
(2)该星球的第一宇宙速度。
[解析] (1)平抛物体的速度垂直斜面，由运动规律：
v0＝vy tan θ，vy＝gt
星球表面：GMmR2＝mg
解得M＝v0R2Gttanθ。
(2)星球表面转动的卫星m′g＝m′v2R
解得v＝v0Rttanθ。
[答案] (1)v0R2Gttanθ (2)v0Rttanθ
4．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
[解析] (1)由万有引力定律和向心力公式得
GMmR+h2＝m4π2TB2(R＋h)①
GMmR2＝mg②
联立①②解得 TB＝2πR+h3R2g。③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π④
由③得 ωB＝2πTB＝gR2R+h3⑤
代入④得t＝2πR2gR+h3-ω0。
[答案] (1)2πR+h3R2g (2)2πR2gR+h3-ω0
学习任务
1．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
2．了解人造卫星的有关知识，会分析人造地球卫星的受力和运动情况并解决涉及人造卫星运动的相关问题。
3．知道同步卫星的特点。
4．了解宇宙航行的历程与发展，感受人类对未知世界的探索精神及物理模型的重要性。
特点
内容
周期一定
与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s
角速度一定
与地球自转的角速度相同
高度一定
卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)
向心加速度大小一定
an≈0.23 m/s2
轨道平面一定
轨道平面与赤道平面共面
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