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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第一节 功学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第一节 功学案，共20页。
1．功的定义
如果一个物体受到力的作用，且物体在力的方向上发生了位移，就说这个力对物体做了机械功，简称功。
2．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．内容：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小及力和位移夹角的余弦的乘积。
4．公式：W＝Fscs α。
5．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。
6．功的单位：在国际单位制中，功的单位为焦耳，简称焦，符号J。
7．功的单位的物理意义：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做功的大小，即：1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
1．做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移，其中位移是力的作用点相对地面的位移。
2．功是过程量，公式W＝Fscs α适用于恒力做功。
3．功是标量，没有方向，但是有正负。
4．功是一个过程量，描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的累积效应。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功。( × )
(2)力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量。( × )
(3)若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移。( × )
知识点二 正功和负功、做功与能量变化的关系
1．正功和负功
2．功是能量变化的量度
做功的过程就是能量变化的过程。做了多少功，就有多少能量发生变化。
力F对物体做负功，也可以表述为物体克服力F做功，这两种说法的意义是等同的。例如，可以说摩擦力对物体做了－3 J的功，也可以说物体克服摩擦力做了3 J的功。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)力F1做功10 J，F2做功－15 J，力F1比F2做功少。( √ )
(2)功有正负之分，所以功是矢量。( × )
3：填空
物体在水平方向上受到两个相互垂直、大小分别为3 N和4 N的恒力，从静止开始运动10 m，每个力做的功和这两个力的合力做的总功分别为_________、_________、50 J。
[答案] 18 J 32 J
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力都对小车做功吗？做正功还是负功？
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
提示：(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W＝Flcs α。
考点1 对功的理解与正、负功的判断
1．做功有两个条件：力和物体在力的方向上发生的位移，两个条件对于功而言，缺一不可。
2．力做正功还是负功的判断方法
(1)看力F的方向与位移l的方向的夹角α判断：α<90°，力做正功；α>90°，力做负功。
(2)看力F的方向与瞬时速度v的夹角α判断：α<90°，力做正功；α>90°，力做负功。
(3)看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，则此力做正功；反之，做负功。
3．功的正负的意义
【典例1】 (多选)如图所示，某商场的电动扶梯坡面与水平面成θ角，质量为m的人站在电梯上，并始终随电梯一起从静止开始匀加速上升，达到规定的速度后匀速上升，最后匀减速上升直到停止。若用G表示人受到的重力，用FN表示人受到的支持力，用f表示人受到的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．上升过程中，f一直做负功
B．上升过程中，G一直做负功
C．上升过程中，FN一直做正功
D．上升过程中，f一直做正功
思路点拨：受力分析，确定力与物体位移的夹角大小。
BC [解析：
]
(1)功的正、负并不表示方向，也不表示功的大小。正功表示做功的力对物体的运动是动力，负功表示做功的力对物体的运动是阻力。
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。
(3)一对作用力与反作用力的功：当作用力做正功时，反作用力可以做正功或负功或不做功。
(4)一对平衡力的功：一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等、一正一负或均为零。
[跟进训练]
1．滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一块滑板由板面、滑板支架和四个轮子等部分组成。一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，若练习者的脚受到的摩擦力为f1，脚对滑板的摩擦力为f2，下列说法正确的是( )
A．f1做正功，f2做负功
B．f1做负功，f2做正功
C．f1、f2均做正功
D．因为是静摩擦力，f1、f2都不做功
B [由题意可知脚受到的摩擦力向左，滑板受到脚的摩擦力向右，人和滑板一起向右运动，根据力与位移的方向关系可知，脚受到的摩擦力做负功，脚对滑板的摩擦力做正功，选项B正确，A、C、D错误。]
考点2 功的计算
1．单个恒力做功：直接用公式W＝Flcs α计算。
2．合力做功
(1)先确定物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α 求解合外力做的功。该方法适用于物体的合外力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化。求解流程图为：
(2)先根据W＝Flcs α求出每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn求解合力的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。该方法的适用范围更广。求解流程图为：
【典例2】 如图所示，雪橇在与水平方向成α角的拉力F的作用下，在水平雪面上沿直线匀速前进了距离s。
(1)试求作用在雪橇上的各个力所做的功；
(2)外力对雪橇做的总功是多少？
[解析] 如图所示，雪橇受到重力G、支持力FN、拉力F和摩擦力f的作用。
(1)由于雪橇做匀速直线运动，所以摩擦力
f＝Fcs α，
则重力做功为WG＝Gscs 90°＝0，
支持力做功为WFN＝FNscs 90°＝0，
拉力F做功为WF＝Fscs α，
摩擦力做功为
Wf＝fscs 180°＝－Fscs α。
(2)外力做的总功为W总＝WG+WFN＋WF＋Wf＝0。
[答案] (1)WG＝0 WFN＝0 WF＝Fscs α Wf＝－Fscs α (2)0
[母题变式]
在上例中，若雪橇(质量为m)在水平雪面上，以加速度a匀加速前进了s的距离，那么情况又如何？(用两种方法计算总功)
[解析] (1)由于雪橇做匀加速直线运动，由牛顿第二定律
Fcs α－f＝ma，得f＝Fcs α－ma
则重力做功为WG＝Gscs 90°＝0，
支持力做功为WFN＝FNscs 90°＝0，
拉力做功为WF＝Fscs α，
摩擦力做功为Wf＝fscs 180°＝－Fscs α＋mas。
(2)方法一 由W总＝WG+WFN＋WF＋Wf得W总＝mas。
方法二 由牛顿第二定律得F合＝ma，
由W总＝F合scs 0°，得W总＝mas。
[答案] 见解析
计算恒力做功的基本思路
[跟进训练]2．如图所示，一位质量m＝50 kg 的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡顶端自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)合力做了多少功？
[解析] (1)重力做的功为
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J
因支持力与速度始终垂直，所以支持力做功为
WFN＝0
摩擦力做功为
Wf＝－fl＝－μmgcs 37°×hsin37°＝－2×103 J。
(2)合力做的功为
W合＝WG+Wf+WFN＝(1.5×104－2×103) J＝1.3×104 J。
[答案] (1)重力做功1.5×104 J，支持力做功为零，摩擦力做功－2×103 J
(2)1.3×104 J
1．如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
A．小华用力推石头，但没有推动
B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C．小超提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中
C [A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，人对冰壶没有作用力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景中人对物体做了功。]
2．如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用水平方向的恒定推力F向前推车厢，在车以加速度a向前行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A [根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，人对车的作用力为－ma，故人对车做的功为W′＝－maL，B错误；在水平方向上车对人的作用力的合力为ma，而车对人还有支持力，故车对人的作用力为F合＝ma2+mg2＝ma2+g2，C错误；对人由牛顿第二定律可知f－F＝ma，f＝ma＋F，车对人的摩擦力做的功为Wf＝fL＝(F＋ma)L，D错误。]
3．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgs
B．重力做功为mgs
C．拉力做功为Fscs θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgs
C [支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力做功分别为W1＝Fscs θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)s，C正确，D错误。]
4．如图所示，水平的传送带以速度 v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2)
[解析] 物体放在传送带上后的加速度
a＝Fm＝μmgm＝μg＝3 m/s2
设一段时间后物体的速度增大到v＝6 m/s，此后物体与传送带速度相同，二者之间不再相对滑动，滑动摩擦力随之消失，可见滑动摩擦力的作用时间为
t＝va＝63 s＝2 s
在这2 s内物体水平向右运动的位移为
l＝12at2＝12×3×22 m＝6 m＜L＝10 m
故滑动摩擦力对物体所做的功为
W＝Fl＝μmgl＝0.3×3×10×6 J＝54 J。
[答案] 54 J
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．功的定义是什么？
提示：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小以及力和位移夹角的余弦的乘积。
2．做功的条件是什么？
提示：力和在力的方向上的位移。
3．功的定义式是什么？如何计算总功？
提示：W＝Flcs α
总功的计算有两种方式：W总=F合lW总=W1+W2+…
课时分层作业(十二) 功
题组一 对功的理解与正、负功的判断
1．如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍。在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A．先做负功，再做正功
B．先做正功，再做负功
C．一直做正功
D．一直做负功
D [在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力方向向上，力的方向与运动方向相反，床面对小朋友的弹力一直做负功，故D正确，A、B、C错误。]
2．下面关于功的说法正确的是 ( )
A．一位同学背着书包在水平地面上行走，该同学对书包做了正功
B．滑动摩擦力阻碍物体间的相对运动，所以滑动摩擦力一定做负功
C．举重运动员，举着杠铃在头的上方停留10 s，运动员对杠铃做了正功
D．静摩擦力和滑动摩擦力不一定都做负功
D [该同学给书包的力竖直向上，书包的速度沿水平方向，两者垂直，所以该同学对书包不做功，A错误；滑动摩擦力阻碍物体间的相对运动，但不一定阻碍物体的运动，所以滑动摩擦力可能做正功，B错误；举重运动员，举着杠铃在头的上方停留10 s，杠铃未移动，运动员对杠铃不做功，C错误；静摩擦力和滑动摩擦力可能做负功、可能做正功，也可能不做功，D正确。]
3．如图所示，稳站在商店自动扶梯水平踏板上的人，随扶梯斜向上做加速运动，则在此过程中( )
A．人只受到重力和踏板的支持力作用
B．人受到的重力和踏板的支持力大小相等方向相反
C．支持力对人做正功
D．支持力对人做功为零
C [人随扶梯向上加速运动时，受踏板支持力、静摩擦力(水平向右)和重力作用，人处于超重状态。支持力大于重力，故A、B错误；支持力与位移方向夹角小于90°，故支持力对人做正功，C正确，D错误。]
4．如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的支持力( )
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做功不为零
B [根据功的定义W＝Fscs α，为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由图可知，支持力与物块位移的夹角大于90°，故斜面对小物块做负功，选项B正确。 ]
题组二 功的计算
5．如图甲、乙所示，质量分别为M和m的两物块，M>m，分别在同样大小的恒力F作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F与水平面的夹角相同。经过相同的位移，设F对M做的功为W1，对m做的功为W2，则( )
A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，则W1＞W2
C．若水平面粗糙，则W1＞W2
D．若水平面粗糙，则W1＜W2
A [恒力做的功W＝Flcs α，比较F、l、α三量即可。由题意知，F1＝F2，l1＝l2，α1＝α2，又W＝Flcs α，故无论水平面光滑还是粗糙，均有W1＝W2，故A正确。]
6．如图所示，质量为m的物体A放在斜面体B上，A恰能沿斜面匀速下滑，而斜面体B静止于水平地面不动。已知斜面倾角为θ，若用沿斜面向下的力F推物体A，使物体A沿斜面下滑，则( )
A．下滑过程中B对A的作用力做功为零
B．下滑过程中B对A的摩擦力与力F的合力做正功
C．地面对B的静摩擦力f＝0
D．B有向右的运动趋势
C [施加力F后，由于力F的方向沿斜面向下，B对A的作用力没有变，垂直斜面向上的支持力和沿斜面向上的摩擦力，合力大小等于重力，方向竖直向上，与运动方向的夹角为钝角，B对A做负功，选项A错误；由于F与B对A的摩擦力的方向相反，但大小关系未知，无法判断F与B对A的摩擦力的合力做功情况，可能为零，可能为正功，也可能为负功，选项B错误；下滑过程中，B对A的作用力合力沿竖直方向向上，A对B的作用力竖直向下，在水平方向上没有力的作用，则B相对地面没有运动趋势，地面对B的静摩擦力为零，选项C正确，D错误。]
7．(多选)质量为2 kg的物体位于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度图像如图所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是( )
A．拉力做功150 J
B．拉力做功100 J
C．摩擦力做功250 J
D．物体克服摩擦力做功250 J
AD [由题给图像可知，物体的加速度大小为2 m/s2，运动的位移为25 m，故物体克服摩擦力做功250 J，C错误，D正确；由f－F＝ma可得拉力F＝6 N，所以拉力做功150 J，A正确，B错误。]
8．质量为m的木块静止在光滑的水平地面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在0～t1时间内力F做的功是( )
A．F2t12m B．Ft12m C．F2t1m D．F2t122m
D [对木块，由牛顿第二定律F＝ma，可得加速度为a＝Fm，则0～t1时间内的位移为l＝12at12＝Ft122m，根据功的定义可知WF＝Fl＝F2t122m，故D正确。]
9．如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F的大小始终为15 N，方向始终与物体所在处的切线成37°角。圆弧轨道所对应的圆心角为45°，BO边沿竖直方向。求这一过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)拉力F做的功；
(2)重力G做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N做的功。
[解析] (1)将圆弧AB分成很多小段l1，l2，…，ln，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°，…，Wn＝Flncs 37°
WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·πR4≈47.1 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cs 45°)≈－29.3 J。
(3)物体受到的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0。
[答案] (1)47.1 J (2)－29.3 J (3)0
1．(多选)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的恒定拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平甲板之间的摩擦阻力大小恒为f，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为－fs
B．力F做的功为Fscs θ
C．重力做的功为mgs
D．力F做的功为Fssin θ
AD [摩擦力做的功为－fs，A正确；力F做的功为Fssin θ，D正确，B错误；重力做的功为零，C错误。]
2．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力f做的功为－mgL
D．空气阻力f做的功为－π2 fL
ABD [如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影L，所以WG＝mgL，f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和，即Wf＝－(fΔx1＋fΔx2＋…)＝－f×14×2πL＝－π2 fL。由以上分析可知，选项A、B、D正确。]
3．如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角θ＝37°，斜面的长度L＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求：
(1)货物从斜面顶端滑到底端的过程中合力做的功；
(2)斜面对货物所做的功。(g取10 m/s2)
[解析] (1)解法一：如图所示，斜面上的货物受到重力G、斜面支持力FN和摩擦力f三个力的作用。可以看出：三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做功WG＝mgLsin 37°＝60 J。支持力做功WFN＝0。摩擦力对货物做负功Wf＝μmgcs 37°Lcs 180°＝－16 J。所以，合力做的功W＝WG+Wf+WFN＝44 J。
解法二：将重力G分解为与斜面平行的力F1和与斜面垂直的力F2，则F1＝mgsin 37°＝120 N，F2＝mgcs 37°＝160 N，则FN＝F2＝160 N，f＝μFN＝32 N，则F合＝F1－f＝88 N。所以合力做的功W＝F合L＝88×0.5 J＝44 J。
(2)斜面对货物所做的功W′＝WFN＋Wf＝－16 J。
[答案] (1)44 J (2)－16 J
4．如图所示，质量为m的物体静止于倾角为α的斜面上，当斜面体受力后，物体随斜面一起沿水平面匀速移动距离l。
(1)物体所受各力对物体做的功分别是多少？
(2)斜面对物体做的功是多少？
(3)合力对物体做的功是多少？
[解析] (1)物体做匀速直线运动，在重力G、支持力FN和摩擦力f这三个力的作用下处于平衡状态，各力均为恒力，对物体进行受力分析，如图所示，可得各力的大小分别为G＝mg，FN＝mgcs α，f＝mgsin α
物体的位移方向水平向右，与重力G的夹角为π2；与支持力FN的夹角为π2＋α；与摩擦力f的夹角为α。根据功的公式可得
WG＝G·lcs π2＝0
WFN＝FN·lcs π2+α＝－mglsin2α2
Wf＝f·lcs α＝mgsin α·lcs α＝mglsin2α2。
(2)斜面对物体的作用力FN与f的合力与G等大反向，所以斜面对物体做的功为0。
(3)因为物体受力平衡，F合＝0，故W总＝0
[或W总＝WG+WFN＋Wf＝0＋-mglsin2α2+mglsin2α2＝0]
即合力对物体做功为0。
[答案] (1)见解析 (2)0 (3)0
学习任务
1．知道功的概念及做功的两个必要因素，明确正功和负功的含义。
2．知道功是标量，会用公式W＝Fscs α进行相关计算，会分析计算多个力所做的总功，提高思维及计算能力。
3．通过功的概念建立过程，认识到物理学对能量的研究的过程，体会引入功的物理意义及守恒思想在物理研究中的作用。
α的取值
W的取值
含义
α＝π2
W＝0
力F不做功
0≤α＜π2
W＞0
力F对物体做正功
π2＜α≤π
W＜0
力F对物体做负功
项目
动力学角度
能量角度
正功
若某力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力
若某力对物体做正功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功
若某力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力
若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
选项
过程分析
结论
A
向上加速时摩擦力水平向右，与位移夹角始终为锐角，此时摩擦力做正功
×
B
因为人的高度升高，故重力一直做负功
√
C
上升过程中支持力竖直向上，与位移的夹角始终为锐角，故支持力一直做正功
√
D
减速上升过程中，人受到的摩擦力水平向左，与位移夹角为钝角，故摩擦力做负功
×
1．功的定义
如果一个物体受到力的作用，且物体在力的方向上发生了位移，就说这个力对物体做了机械功，简称功。
2．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．内容：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小及力和位移夹角的余弦的乘积。
4．公式：W＝Fscs α。
5．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。
6．功的单位：在国际单位制中，功的单位为焦耳，简称焦，符号J。
7．功的单位的物理意义：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做功的大小，即：1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
1．做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移，其中位移是力的作用点相对地面的位移。
2．功是过程量，公式W＝Fscs α适用于恒力做功。
3．功是标量，没有方向，但是有正负。
4．功是一个过程量，描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的累积效应。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功。( × )
(2)力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量。( × )
(3)若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移。( × )
知识点二 正功和负功、做功与能量变化的关系
1．正功和负功
2．功是能量变化的量度
做功的过程就是能量变化的过程。做了多少功，就有多少能量发生变化。
力F对物体做负功，也可以表述为物体克服力F做功，这两种说法的意义是等同的。例如，可以说摩擦力对物体做了－3 J的功，也可以说物体克服摩擦力做了3 J的功。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)力F1做功10 J，F2做功－15 J，力F1比F2做功少。( √ )
(2)功有正负之分，所以功是矢量。( × )
3：填空
物体在水平方向上受到两个相互垂直、大小分别为3 N和4 N的恒力，从静止开始运动10 m，每个力做的功和这两个力的合力做的总功分别为_________、_________、50 J。
[答案] 18 J 32 J
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力都对小车做功吗？做正功还是负功？
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
提示：(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W＝Flcs α。
考点1 对功的理解与正、负功的判断
1．做功有两个条件：力和物体在力的方向上发生的位移，两个条件对于功而言，缺一不可。
2．力做正功还是负功的判断方法
(1)看力F的方向与位移l的方向的夹角α判断：α<90°，力做正功；α>90°，力做负功。
(2)看力F的方向与瞬时速度v的夹角α判断：α<90°，力做正功；α>90°，力做负功。
(3)看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，则此力做正功；反之，做负功。
3．功的正负的意义
【典例1】 (多选)如图所示，某商场的电动扶梯坡面与水平面成θ角，质量为m的人站在电梯上，并始终随电梯一起从静止开始匀加速上升，达到规定的速度后匀速上升，最后匀减速上升直到停止。若用G表示人受到的重力，用FN表示人受到的支持力，用f表示人受到的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．上升过程中，f一直做负功
B．上升过程中，G一直做负功
C．上升过程中，FN一直做正功
D．上升过程中，f一直做正功
思路点拨：受力分析，确定力与物体位移的夹角大小。
BC [解析：
]
(1)功的正、负并不表示方向，也不表示功的大小。正功表示做功的力对物体的运动是动力，负功表示做功的力对物体的运动是阻力。
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。
(3)一对作用力与反作用力的功：当作用力做正功时，反作用力可以做正功或负功或不做功。
(4)一对平衡力的功：一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等、一正一负或均为零。
[跟进训练]
1．滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一块滑板由板面、滑板支架和四个轮子等部分组成。一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，若练习者的脚受到的摩擦力为f1，脚对滑板的摩擦力为f2，下列说法正确的是( )
A．f1做正功，f2做负功
B．f1做负功，f2做正功
C．f1、f2均做正功
D．因为是静摩擦力，f1、f2都不做功
B [由题意可知脚受到的摩擦力向左，滑板受到脚的摩擦力向右，人和滑板一起向右运动，根据力与位移的方向关系可知，脚受到的摩擦力做负功，脚对滑板的摩擦力做正功，选项B正确，A、C、D错误。]
考点2 功的计算
1．单个恒力做功：直接用公式W＝Flcs α计算。
2．合力做功
(1)先确定物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α 求解合外力做的功。该方法适用于物体的合外力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化。求解流程图为：
(2)先根据W＝Flcs α求出每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn求解合力的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。该方法的适用范围更广。求解流程图为：
【典例2】 如图所示，雪橇在与水平方向成α角的拉力F的作用下，在水平雪面上沿直线匀速前进了距离s。
(1)试求作用在雪橇上的各个力所做的功；
(2)外力对雪橇做的总功是多少？
[解析] 如图所示，雪橇受到重力G、支持力FN、拉力F和摩擦力f的作用。
(1)由于雪橇做匀速直线运动，所以摩擦力
f＝Fcs α，
则重力做功为WG＝Gscs 90°＝0，
支持力做功为WFN＝FNscs 90°＝0，
拉力F做功为WF＝Fscs α，
摩擦力做功为
Wf＝fscs 180°＝－Fscs α。
(2)外力做的总功为W总＝WG+WFN＋WF＋Wf＝0。
[答案] (1)WG＝0 WFN＝0 WF＝Fscs α Wf＝－Fscs α (2)0
[母题变式]
在上例中，若雪橇(质量为m)在水平雪面上，以加速度a匀加速前进了s的距离，那么情况又如何？(用两种方法计算总功)
[解析] (1)由于雪橇做匀加速直线运动，由牛顿第二定律
Fcs α－f＝ma，得f＝Fcs α－ma
则重力做功为WG＝Gscs 90°＝0，
支持力做功为WFN＝FNscs 90°＝0，
拉力做功为WF＝Fscs α，
摩擦力做功为Wf＝fscs 180°＝－Fscs α＋mas。
(2)方法一 由W总＝WG+WFN＋WF＋Wf得W总＝mas。
方法二 由牛顿第二定律得F合＝ma，
由W总＝F合scs 0°，得W总＝mas。
[答案] 见解析
计算恒力做功的基本思路
[跟进训练]2．如图所示，一位质量m＝50 kg 的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡顶端自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)合力做了多少功？
[解析] (1)重力做的功为
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J
因支持力与速度始终垂直，所以支持力做功为
WFN＝0
摩擦力做功为
Wf＝－fl＝－μmgcs 37°×hsin37°＝－2×103 J。
(2)合力做的功为
W合＝WG+Wf+WFN＝(1.5×104－2×103) J＝1.3×104 J。
[答案] (1)重力做功1.5×104 J，支持力做功为零，摩擦力做功－2×103 J
(2)1.3×104 J
1．如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
A．小华用力推石头，但没有推动
B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C．小超提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中
C [A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，人对冰壶没有作用力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景中人对物体做了功。]
2．如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用水平方向的恒定推力F向前推车厢，在车以加速度a向前行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A [根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，人对车的作用力为－ma，故人对车做的功为W′＝－maL，B错误；在水平方向上车对人的作用力的合力为ma，而车对人还有支持力，故车对人的作用力为F合＝ma2+mg2＝ma2+g2，C错误；对人由牛顿第二定律可知f－F＝ma，f＝ma＋F，车对人的摩擦力做的功为Wf＝fL＝(F＋ma)L，D错误。]
3．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgs
B．重力做功为mgs
C．拉力做功为Fscs θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgs
C [支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力做功分别为W1＝Fscs θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)s，C正确，D错误。]
4．如图所示，水平的传送带以速度 v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2)
[解析] 物体放在传送带上后的加速度
a＝Fm＝μmgm＝μg＝3 m/s2
设一段时间后物体的速度增大到v＝6 m/s，此后物体与传送带速度相同，二者之间不再相对滑动，滑动摩擦力随之消失，可见滑动摩擦力的作用时间为
t＝va＝63 s＝2 s
在这2 s内物体水平向右运动的位移为
l＝12at2＝12×3×22 m＝6 m＜L＝10 m
故滑动摩擦力对物体所做的功为
W＝Fl＝μmgl＝0.3×3×10×6 J＝54 J。
[答案] 54 J
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．功的定义是什么？
提示：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小以及力和位移夹角的余弦的乘积。
2．做功的条件是什么？
提示：力和在力的方向上的位移。
3．功的定义式是什么？如何计算总功？
提示：W＝Flcs α
总功的计算有两种方式：W总=F合lW总=W1+W2+…
课时分层作业(十二) 功
题组一 对功的理解与正、负功的判断
1．如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍。在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A．先做负功，再做正功
B．先做正功，再做负功
C．一直做正功
D．一直做负功
D [在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力方向向上，力的方向与运动方向相反，床面对小朋友的弹力一直做负功，故D正确，A、B、C错误。]
2．下面关于功的说法正确的是 ( )
A．一位同学背着书包在水平地面上行走，该同学对书包做了正功
B．滑动摩擦力阻碍物体间的相对运动，所以滑动摩擦力一定做负功
C．举重运动员，举着杠铃在头的上方停留10 s，运动员对杠铃做了正功
D．静摩擦力和滑动摩擦力不一定都做负功
D [该同学给书包的力竖直向上，书包的速度沿水平方向，两者垂直，所以该同学对书包不做功，A错误；滑动摩擦力阻碍物体间的相对运动，但不一定阻碍物体的运动，所以滑动摩擦力可能做正功，B错误；举重运动员，举着杠铃在头的上方停留10 s，杠铃未移动，运动员对杠铃不做功，C错误；静摩擦力和滑动摩擦力可能做负功、可能做正功，也可能不做功，D正确。]
3．如图所示，稳站在商店自动扶梯水平踏板上的人，随扶梯斜向上做加速运动，则在此过程中( )
A．人只受到重力和踏板的支持力作用
B．人受到的重力和踏板的支持力大小相等方向相反
C．支持力对人做正功
D．支持力对人做功为零
C [人随扶梯向上加速运动时，受踏板支持力、静摩擦力(水平向右)和重力作用，人处于超重状态。支持力大于重力，故A、B错误；支持力与位移方向夹角小于90°，故支持力对人做正功，C正确，D错误。]
4．如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的支持力( )
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做功不为零
B [根据功的定义W＝Fscs α，为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由图可知，支持力与物块位移的夹角大于90°，故斜面对小物块做负功，选项B正确。 ]
题组二 功的计算
5．如图甲、乙所示，质量分别为M和m的两物块，M>m，分别在同样大小的恒力F作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F与水平面的夹角相同。经过相同的位移，设F对M做的功为W1，对m做的功为W2，则( )
A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，则W1＞W2
C．若水平面粗糙，则W1＞W2
D．若水平面粗糙，则W1＜W2
A [恒力做的功W＝Flcs α，比较F、l、α三量即可。由题意知，F1＝F2，l1＝l2，α1＝α2，又W＝Flcs α，故无论水平面光滑还是粗糙，均有W1＝W2，故A正确。]
6．如图所示，质量为m的物体A放在斜面体B上，A恰能沿斜面匀速下滑，而斜面体B静止于水平地面不动。已知斜面倾角为θ，若用沿斜面向下的力F推物体A，使物体A沿斜面下滑，则( )
A．下滑过程中B对A的作用力做功为零
B．下滑过程中B对A的摩擦力与力F的合力做正功
C．地面对B的静摩擦力f＝0
D．B有向右的运动趋势
C [施加力F后，由于力F的方向沿斜面向下，B对A的作用力没有变，垂直斜面向上的支持力和沿斜面向上的摩擦力，合力大小等于重力，方向竖直向上，与运动方向的夹角为钝角，B对A做负功，选项A错误；由于F与B对A的摩擦力的方向相反，但大小关系未知，无法判断F与B对A的摩擦力的合力做功情况，可能为零，可能为正功，也可能为负功，选项B错误；下滑过程中，B对A的作用力合力沿竖直方向向上，A对B的作用力竖直向下，在水平方向上没有力的作用，则B相对地面没有运动趋势，地面对B的静摩擦力为零，选项C正确，D错误。]
7．(多选)质量为2 kg的物体位于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度图像如图所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是( )
A．拉力做功150 J
B．拉力做功100 J
C．摩擦力做功250 J
D．物体克服摩擦力做功250 J
AD [由题给图像可知，物体的加速度大小为2 m/s2，运动的位移为25 m，故物体克服摩擦力做功250 J，C错误，D正确；由f－F＝ma可得拉力F＝6 N，所以拉力做功150 J，A正确，B错误。]
8．质量为m的木块静止在光滑的水平地面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在0～t1时间内力F做的功是( )
A．F2t12m B．Ft12m C．F2t1m D．F2t122m
D [对木块，由牛顿第二定律F＝ma，可得加速度为a＝Fm，则0～t1时间内的位移为l＝12at12＝Ft122m，根据功的定义可知WF＝Fl＝F2t122m，故D正确。]
9．如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F的大小始终为15 N，方向始终与物体所在处的切线成37°角。圆弧轨道所对应的圆心角为45°，BO边沿竖直方向。求这一过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)拉力F做的功；
(2)重力G做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N做的功。
[解析] (1)将圆弧AB分成很多小段l1，l2，…，ln，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°，…，Wn＝Flncs 37°
WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·πR4≈47.1 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cs 45°)≈－29.3 J。
(3)物体受到的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0。
[答案] (1)47.1 J (2)－29.3 J (3)0
1．(多选)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的恒定拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平甲板之间的摩擦阻力大小恒为f，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为－fs
B．力F做的功为Fscs θ
C．重力做的功为mgs
D．力F做的功为Fssin θ
AD [摩擦力做的功为－fs，A正确；力F做的功为Fssin θ，D正确，B错误；重力做的功为零，C错误。]
2．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力f做的功为－mgL
D．空气阻力f做的功为－π2 fL
ABD [如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影L，所以WG＝mgL，f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和，即Wf＝－(fΔx1＋fΔx2＋…)＝－f×14×2πL＝－π2 fL。由以上分析可知，选项A、B、D正确。]
3．如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角θ＝37°，斜面的长度L＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求：
(1)货物从斜面顶端滑到底端的过程中合力做的功；
(2)斜面对货物所做的功。(g取10 m/s2)
[解析] (1)解法一：如图所示，斜面上的货物受到重力G、斜面支持力FN和摩擦力f三个力的作用。可以看出：三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做功WG＝mgLsin 37°＝60 J。支持力做功WFN＝0。摩擦力对货物做负功Wf＝μmgcs 37°Lcs 180°＝－16 J。所以，合力做的功W＝WG+Wf+WFN＝44 J。
解法二：将重力G分解为与斜面平行的力F1和与斜面垂直的力F2，则F1＝mgsin 37°＝120 N，F2＝mgcs 37°＝160 N，则FN＝F2＝160 N，f＝μFN＝32 N，则F合＝F1－f＝88 N。所以合力做的功W＝F合L＝88×0.5 J＝44 J。
(2)斜面对货物所做的功W′＝WFN＋Wf＝－16 J。
[答案] (1)44 J (2)－16 J
4．如图所示，质量为m的物体静止于倾角为α的斜面上，当斜面体受力后，物体随斜面一起沿水平面匀速移动距离l。
(1)物体所受各力对物体做的功分别是多少？
(2)斜面对物体做的功是多少？
(3)合力对物体做的功是多少？
[解析] (1)物体做匀速直线运动，在重力G、支持力FN和摩擦力f这三个力的作用下处于平衡状态，各力均为恒力，对物体进行受力分析，如图所示，可得各力的大小分别为G＝mg，FN＝mgcs α，f＝mgsin α
物体的位移方向水平向右，与重力G的夹角为π2；与支持力FN的夹角为π2＋α；与摩擦力f的夹角为α。根据功的公式可得
WG＝G·lcs π2＝0
WFN＝FN·lcs π2+α＝－mglsin2α2
Wf＝f·lcs α＝mgsin α·lcs α＝mglsin2α2。
(2)斜面对物体的作用力FN与f的合力与G等大反向，所以斜面对物体做的功为0。
(3)因为物体受力平衡，F合＝0，故W总＝0
[或W总＝WG+WFN＋Wf＝0＋-mglsin2α2+mglsin2α2＝0]
即合力对物体做功为0。
[答案] (1)见解析 (2)0 (3)0
学习任务
1．知道功的概念及做功的两个必要因素，明确正功和负功的含义。
2．知道功是标量，会用公式W＝Fscs α进行相关计算，会分析计算多个力所做的总功，提高思维及计算能力。
3．通过功的概念建立过程，认识到物理学对能量的研究的过程，体会引入功的物理意义及守恒思想在物理研究中的作用。
α的取值
W的取值
含义
α＝π2
W＝0
力F不做功
0≤α＜π2
W＞0
力F对物体做正功
π2＜α≤π
W＜0
力F对物体做负功
项目
动力学角度
能量角度
正功
若某力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力
若某力对物体做正功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功
若某力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力
若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
选项
过程分析
结论
A
向上加速时摩擦力水平向右，与位移夹角始终为锐角，此时摩擦力做正功
×
B
因为人的高度升高，故重力一直做负功
√
C
上升过程中支持力竖直向上，与位移的夹角始终为锐角，故支持力一直做正功
√
D
减速上升过程中，人受到的摩擦力水平向左，与位移夹角为钝角，故摩擦力做负功
×
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