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2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．今年某市有8万多名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体：③2000名考生是总体的一个样本：④样本容量是2000．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则|a|＜0；④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，其中属于确定事件的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB
5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝1，则EF的长度是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA＝DE，则CF＝FG；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．为了解某校八年级3000名学生每天的阅读时间，从中抽取了200名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是 ．
10．走入考场之前老师送你一句话“Wishyusuccess”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“c”的概率是 ．
11．有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是
．
12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 ．
13．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 ．
14．若菱形两条对角线的长分别为6和9，则此菱形面积为 ．
15．如图，ABCD是一张长方形纸片，AB＝CD＝3，BC＝AD＝9．在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，则线段EF的长度为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
17．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝4∠DEF．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有900名学生，请估计最近两周约有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
20．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
21．如图，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BF＝DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）请直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）求证：四边形DECF是矩形；
（3）当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．
23．图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
24．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
25．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
26．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）若把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；
（3）已知AB＝7，AD＝3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出△MPQ面积的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡相应的位置上．）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心图形的概念求解即可．
解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
2．今年某市有8万多名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体：③2000名考生是总体的一个样本：④样本容量是2000．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，由此判断出①②③是否正确；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，由此判断④是否正确．
解：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，原说法错误；
③2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误；
④样本容量是2000，正确．
故选：C．
【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量的问题，根据总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
3．下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则|a|＜0；④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，其中属于确定事件的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】直接利用随机事件、确定事件的定义分别分析得出答案．
解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件，不符合题意；
②三条线段组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
③a是实数，则|a|＜0，是不可能事件，符合题意；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K，是随机事件，不符合题意；
⑤367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意；
⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了随机事件以及非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
4．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
解：在矩形ABCD中，AO＝BO＝AC＝4cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝1，则EF的长度是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和含30°直角三角形的性质求出CD，再根据三角形中位线定理即可求出EF的长度．
解：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AB中点，∠A＝30°，
∴，
∵EF为△ACD的中位线，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握含30°直角三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA＝DE，则CF＝FG；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①
【分析】设AF交BC于K，由∠ABK＝90°及将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB＝∠BCG，即可得∠KFC＝90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CG，从而可得CF＝FG，判断③正确．
解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝CG，
∴CF＝FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．为了解某校八年级3000名学生每天的阅读时间，从中抽取了200名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是 200 ．
【分析】根据样本容量的定义，是指样本中个体的数目．
解：这个问题中，样本容量是200．
故答案为：200．
【点评】本题主要考查了样本容量，正确相关概念是解题关键．
10．走入考场之前老师送你一句话“Wishyusuccess”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“c”的概率是 ．
【分析】根据题意得出共14个字母，其中有字母“c”2个，进而根据概率公式，进行计算即可求解．
解：在英语句子“Wishyusuccess”中共14个字母，
其中有字母“c”2个；
故其概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式的计算方法是解题的关键．
11．有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是
0.2 ．
【分析】先求出第5组的频数，从而求出第6组的频数，然后根据频率＝频数÷总次数进行计算即可解答．
解：由题意得：
40×0.1＝4，
∴40﹣（10+5+7+6+4）＝8，
∴8÷40＝0.2，
∴第6组的频率是0.2，
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 50° ．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝40°，AO＝DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．
解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD＝40°，AO＝DO，
∵∠AOC＝100°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣40°＝60°，
，
∴∠ODC＝∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 32 ．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝8，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝8，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝BC×EF＝8×4＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14．若菱形两条对角线的长分别为6和9，则此菱形面积为 27 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
解：菱形的面积为：．
故答案为：27．
【点评】本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．如图，ABCD是一张长方形纸片，AB＝CD＝3，BC＝AD＝9．在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，则线段EF的长度为 ．
【分析】如图，作辅助线，首先根据勾股定理求出AC、AF的长；再根据勾股定理求出OF的长，即可解决问题．
解：如图，连接AC交EF于点O；
由题意得：AO＝CO，EF⊥AC；AF＝CF＝λ；
则BF＝9﹣λ；
∵ABCD是一张长方形纸片，
∴∠B＝90°；由勾股定理得：
λ2＝32+（9﹣λ）2，
解得：λ＝5；由勾股定理得：
AC2＝32+92＝90，
∴AC＝；
∵矩形ABCD是中心对称图形，
∴AE＝CF，而AF＝CF，
∴AE＝AF，而AO⊥EF，
∴OE＝OF；
由勾股定理得：
＝，
∴OF＝，EF＝．
【点评】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
【分析】连接AP，易证四边形AMPN为矩形，得到MN＝AP，进而得到AP最小时，MN最小，根据垂线段最短，得到AP⊥BC时，AP最小，等积法进行计算即可．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
连接AP，则：MN＝AP，
∴AP最小时，MN最小，
∵垂线段最短，
∴AP⊥BC时，AP最小，
∴，即：5AP＝3×4，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键．
17．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是 ①④ ．
【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断．
解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误，
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质．
18．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝4∠DEF．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是 14.4° ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有900名学生，请估计最近两周约有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例，即可求解，
（2）根据总人数求出A组人数，依此补全图形，
（3）用总人数乘以睡眠时间大于或等于9h人数所占比例，即可求解，
解：（1）本次调查的学生人数为：16÷32%＝50（名），
D组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：50；14.4°，
（2）A组人数为：50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：
（3）根据题意的：（名），
故答案为：估计该校有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【点评】本题考查了，条形统计图，扇形统计图，解题的关键是：理解两种统计图之间的关系．
20．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a＝ 295 ；b＝ 0.745 ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 0.6 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 0.6 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
解：（1）a＝500×0.29＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295、0.745；
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
（3）360°×（1﹣0.6）＝144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
【点评】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
21．如图，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BF＝DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，即可得AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，可证AE∥CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，且AB＝CD，BE＝DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC
∵∠AEF＝180°﹣∠AEB，∠BFC＝180°﹣∠DFC
∴∠AEF＝∠BFC，
∴AE∥CF，且AE＝CF
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）请直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）求证：四边形DECF是矩形；
（3）当△ABC满足条件 AC＝BC 时，四边形DECF是正方形．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形DECF是矩形；
（3）由正方形的判定可求解．
解：（1）∵∠ACB＝90°，D点是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD；
（2）∵∠ACB＝90°，D点是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DF是△ADC的角平分线，
∴DF⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
同理：∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形；
（3）当AC＝BC时，四边形DECF是正方形，
理由如下：∵AD＝CD，DF是△ADC的角平分线，
∴AF＝FC＝AC，
同理可得：CE＝BE＝BC，
∵AC＝BC，
∴CF＝CE，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC＝BC．
【点评】本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
【分析】（1）利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
（2）取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
（3）取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
（2）如图②中，高AM即为所求；
（3）如图③中，点N即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠CFO，等量代换得到∠CFO＝∠CEF，求得CE＝CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFO＝∠CEF，
∴CE＝CF，
由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： 四边形EGFH是平行四边形 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
【分析】（1）由矩形的性质证得△AGE≌△CHF（SAS），得到GE＝FH，GE∥FH，得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接GH，则四边形ABHG是矩形，GH＝AB＝6．分点E，F相遇前和相遇后两种情况讨论，根据矩形的对角线相等即可解答．
解：（1）四边形EGFH是平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴，，
∴AG＝CH，
∵点E，F的运动速度相同，
∴AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，即∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴，，
∴AG＝BH，
∵AD＝BC，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
EF＝GH＝6，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
同理EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上所述，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8．
【点评】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．
【分析】（1）过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（AAS）即可；
（2）①在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，求出AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．
【解答】（1）证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，
∵AH⊥EG，
∴∠AEH+∠DAH＝90°，
∵∠PEG+∠PGC＝90°，
∴∠EAH＝∠PGE，
∵PG＝AB，
∴△ABF≌△GPE（AAS），
∴AF＝EG；
（2）①∵BF＝2，
∴PE＝2，
∵AB＝6，BE＝3，
∴AE＝3，
∴AP＝1，
在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，
∴AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，
∴四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，
∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∵AF＝＝2，
∴AQ＝4，
∴AG+EF的最小值为4．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 相等 ，位置关系是 垂直 ．
（2）若把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；
（3）已知AB＝7，AD＝3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出△MPQ面积的最大值．
【分析】（1）MP＝，MP∥AB；MQ＝，MQ∥AC，进一步得出结果；
（2）延长CE交BD于N交AB于O，证明△ACE≌△ABD，从而得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，进而得出∠BNC＝90°，结合MP＝，MP∥BD，MQ＝，MQ∥CE，进一步得出结论；
（3）△PMQ是等腰直角三角形，当BD最大时，△PMQ的面积最大，确定当B、A、D共线时，BD最大，进一步求得结果．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即：BD＝CE，
∵点P是DE的中点，点M是BE的中点，
∴PM＝，PM∥AB，
∴∠PME＝∠ABE，
同理可得：MQ＝，∠MQE＝180°﹣∠CBE，
∴PM＝MQ，∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠ABE+180°﹣∠BEC，
∵∠CEB＝∠ABE+∠BAC＝∠ABE+90°，
∴∠PMQ＝∠ABE+180°﹣（∠ABE+90°）＝90°，
故答案为：相等，垂直；
（2）△MPQ是等腰直角三角形，理由如下：
如图1，
延长CE交BD于N交AB于O，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，、
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOC＝∠BON，
∴∠BNC＝∠BAC＝90°，
∴∠NBC+∠BCN＝90°，
∴∠BNC＝90°，
∵PM是△BED的中位线，
∴PM∥BD，PM＝，
∴∠PME＝∠NBM，
同理可得：MQ＝，MQ∥CE，
∴PM＝MQ，∠QME＝180°﹣∠BCE，
同理（1）可得：∠PMQ＝90°，
∴△PMQ是等腰直角三角形；
（3）如图2，
由（2）知：△PMQ是等腰直角三角形，且直角边PM＝BD，
∴当BD最大时，△PMQ的面积最大，
∵BD≤AB+AD，
∴当B、A、D共线时，BD最大＝AB+AD＝10，
∴PM＝MQ＝5，
∴S△PMQ最大＝＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．今年某市有8万多名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体：③2000名考生是总体的一个样本：④样本容量是2000．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则|a|＜0；④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，其中属于确定事件的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB
5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝1，则EF的长度是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA＝DE，则CF＝FG；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．为了解某校八年级3000名学生每天的阅读时间，从中抽取了200名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是 ．
10．走入考场之前老师送你一句话“Wishyusuccess”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“c”的概率是 ．
11．有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是
．
12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 ．
13．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 ．
14．若菱形两条对角线的长分别为6和9，则此菱形面积为 ．
15．如图，ABCD是一张长方形纸片，AB＝CD＝3，BC＝AD＝9．在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，则线段EF的长度为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
17．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝4∠DEF．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有900名学生，请估计最近两周约有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
20．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
21．如图，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BF＝DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）请直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）求证：四边形DECF是矩形；
（3）当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．
23．图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
24．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
25．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
26．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）若把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；
（3）已知AB＝7，AD＝3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出△MPQ面积的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡相应的位置上．）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心图形的概念求解即可．
解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
2．今年某市有8万多名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体：③2000名考生是总体的一个样本：④样本容量是2000．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，由此判断出①②③是否正确；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，由此判断④是否正确．
解：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，原说法错误；
③2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误；
④样本容量是2000，正确．
故选：C．
【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量的问题，根据总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
3．下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则|a|＜0；④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，其中属于确定事件的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】直接利用随机事件、确定事件的定义分别分析得出答案．
解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件，不符合题意；
②三条线段组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
③a是实数，则|a|＜0，是不可能事件，符合题意；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K，是随机事件，不符合题意；
⑤367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意；
⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了随机事件以及非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
4．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
解：在矩形ABCD中，AO＝BO＝AC＝4cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝1，则EF的长度是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和含30°直角三角形的性质求出CD，再根据三角形中位线定理即可求出EF的长度．
解：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AB中点，∠A＝30°，
∴，
∵EF为△ACD的中位线，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握含30°直角三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA＝DE，则CF＝FG；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①
【分析】设AF交BC于K，由∠ABK＝90°及将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB＝∠BCG，即可得∠KFC＝90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CG，从而可得CF＝FG，判断③正确．
解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝CG，
∴CF＝FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．为了解某校八年级3000名学生每天的阅读时间，从中抽取了200名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是 200 ．
【分析】根据样本容量的定义，是指样本中个体的数目．
解：这个问题中，样本容量是200．
故答案为：200．
【点评】本题主要考查了样本容量，正确相关概念是解题关键．
10．走入考场之前老师送你一句话“Wishyusuccess”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“c”的概率是 ．
【分析】根据题意得出共14个字母，其中有字母“c”2个，进而根据概率公式，进行计算即可求解．
解：在英语句子“Wishyusuccess”中共14个字母，
其中有字母“c”2个；
故其概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式的计算方法是解题的关键．
11．有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是
0.2 ．
【分析】先求出第5组的频数，从而求出第6组的频数，然后根据频率＝频数÷总次数进行计算即可解答．
解：由题意得：
40×0.1＝4，
∴40﹣（10+5+7+6+4）＝8，
∴8÷40＝0.2，
∴第6组的频率是0.2，
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 50° ．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝40°，AO＝DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．
解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD＝40°，AO＝DO，
∵∠AOC＝100°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣40°＝60°，
，
∴∠ODC＝∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 32 ．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝8，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝8，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝BC×EF＝8×4＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14．若菱形两条对角线的长分别为6和9，则此菱形面积为 27 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
解：菱形的面积为：．
故答案为：27．
【点评】本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．如图，ABCD是一张长方形纸片，AB＝CD＝3，BC＝AD＝9．在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，则线段EF的长度为 ．
【分析】如图，作辅助线，首先根据勾股定理求出AC、AF的长；再根据勾股定理求出OF的长，即可解决问题．
解：如图，连接AC交EF于点O；
由题意得：AO＝CO，EF⊥AC；AF＝CF＝λ；
则BF＝9﹣λ；
∵ABCD是一张长方形纸片，
∴∠B＝90°；由勾股定理得：
λ2＝32+（9﹣λ）2，
解得：λ＝5；由勾股定理得：
AC2＝32+92＝90，
∴AC＝；
∵矩形ABCD是中心对称图形，
∴AE＝CF，而AF＝CF，
∴AE＝AF，而AO⊥EF，
∴OE＝OF；
由勾股定理得：
＝，
∴OF＝，EF＝．
【点评】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为 ．
【分析】连接AP，易证四边形AMPN为矩形，得到MN＝AP，进而得到AP最小时，MN最小，根据垂线段最短，得到AP⊥BC时，AP最小，等积法进行计算即可．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
连接AP，则：MN＝AP，
∴AP最小时，MN最小，
∵垂线段最短，
∴AP⊥BC时，AP最小，
∴，即：5AP＝3×4，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键．
17．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是 ①④ ．
【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断．
解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误，
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质．
18．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝4∠DEF．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是 14.4° ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有900名学生，请估计最近两周约有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例，即可求解，
（2）根据总人数求出A组人数，依此补全图形，
（3）用总人数乘以睡眠时间大于或等于9h人数所占比例，即可求解，
解：（1）本次调查的学生人数为：16÷32%＝50（名），
D组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：50；14.4°，
（2）A组人数为：50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：
（3）根据题意的：（名），
故答案为：估计该校有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【点评】本题考查了，条形统计图，扇形统计图，解题的关键是：理解两种统计图之间的关系．
20．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a＝ 295 ；b＝ 0.745 ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 0.6 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 0.6 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
解：（1）a＝500×0.29＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295、0.745；
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
（3）360°×（1﹣0.6）＝144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
【点评】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
21．如图，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BF＝DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，即可得AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，可证AE∥CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，且AB＝CD，BE＝DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC
∵∠AEF＝180°﹣∠AEB，∠BFC＝180°﹣∠DFC
∴∠AEF＝∠BFC，
∴AE∥CF，且AE＝CF
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）请直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）求证：四边形DECF是矩形；
（3）当△ABC满足条件 AC＝BC 时，四边形DECF是正方形．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形DECF是矩形；
（3）由正方形的判定可求解．
解：（1）∵∠ACB＝90°，D点是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD；
（2）∵∠ACB＝90°，D点是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DF是△ADC的角平分线，
∴DF⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
同理：∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形；
（3）当AC＝BC时，四边形DECF是正方形，
理由如下：∵AD＝CD，DF是△ADC的角平分线，
∴AF＝FC＝AC，
同理可得：CE＝BE＝BC，
∵AC＝BC，
∴CF＝CE，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC＝BC．
【点评】本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
【分析】（1）利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
（2）取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
（3）取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
（2）如图②中，高AM即为所求；
（3）如图③中，点N即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF＝∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠CFO，等量代换得到∠CFO＝∠CEF，求得CE＝CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFO＝∠CEF，
∴CE＝CF，
由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： 四边形EGFH是平行四边形 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
【分析】（1）由矩形的性质证得△AGE≌△CHF（SAS），得到GE＝FH，GE∥FH，得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接GH，则四边形ABHG是矩形，GH＝AB＝6．分点E，F相遇前和相遇后两种情况讨论，根据矩形的对角线相等即可解答．
解：（1）四边形EGFH是平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴，，
∴AG＝CH，
∵点E，F的运动速度相同，
∴AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，即∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴，，
∴AG＝BH，
∵AD＝BC，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
EF＝GH＝6，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
同理EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上所述，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8．
【点评】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．
【分析】（1）过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（AAS）即可；
（2）①在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，求出AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．
【解答】（1）证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，
∵AH⊥EG，
∴∠AEH+∠DAH＝90°，
∵∠PEG+∠PGC＝90°，
∴∠EAH＝∠PGE，
∵PG＝AB，
∴△ABF≌△GPE（AAS），
∴AF＝EG；
（2）①∵BF＝2，
∴PE＝2，
∵AB＝6，BE＝3，
∴AE＝3，
∴AP＝1，
在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，
∴AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，
∴四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，
∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∵AF＝＝2，
∴AQ＝4，
∴AG+EF的最小值为4．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 相等 ，位置关系是 垂直 ．
（2）若把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；
（3）已知AB＝7，AD＝3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出△MPQ面积的最大值．
【分析】（1）MP＝，MP∥AB；MQ＝，MQ∥AC，进一步得出结果；
（2）延长CE交BD于N交AB于O，证明△ACE≌△ABD，从而得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，进而得出∠BNC＝90°，结合MP＝，MP∥BD，MQ＝，MQ∥CE，进一步得出结论；
（3）△PMQ是等腰直角三角形，当BD最大时，△PMQ的面积最大，确定当B、A、D共线时，BD最大，进一步求得结果．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即：BD＝CE，
∵点P是DE的中点，点M是BE的中点，
∴PM＝，PM∥AB，
∴∠PME＝∠ABE，
同理可得：MQ＝，∠MQE＝180°﹣∠CBE，
∴PM＝MQ，∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠ABE+180°﹣∠BEC，
∵∠CEB＝∠ABE+∠BAC＝∠ABE+90°，
∴∠PMQ＝∠ABE+180°﹣（∠ABE+90°）＝90°，
故答案为：相等，垂直；
（2）△MPQ是等腰直角三角形，理由如下：
如图1，
延长CE交BD于N交AB于O，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，、
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOC＝∠BON，
∴∠BNC＝∠BAC＝90°，
∴∠NBC+∠BCN＝90°，
∴∠BNC＝90°，
∵PM是△BED的中位线，
∴PM∥BD，PM＝，
∴∠PME＝∠NBM，
同理可得：MQ＝，MQ∥CE，
∴PM＝MQ，∠QME＝180°﹣∠BCE，
同理（1）可得：∠PMQ＝90°，
∴△PMQ是等腰直角三角形；
（3）如图2，
由（2）知：△PMQ是等腰直角三角形，且直角边PM＝BD，
∴当BD最大时，△PMQ的面积最大，
∵BD≤AB+AD，
∴当B、A、D共线时，BD最大＝AB+AD＝10，
∴PM＝MQ＝5，
∴S△PMQ最大＝＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
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