人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律1 功与功率学案

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[学习目标]
1.掌握功的公式W＝Flcs α及公式的适用范围，会用功的公式进行计算.2.理解正、负功的概念，会根据公式计算多个力所做的总功.3.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝eq \f(W,t)及功率与速度的关系式P＝Fv进行有关分析和计算.
一、功
1.功的公式：W＝Flcs α，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角.
2.功是标(填“矢”或“标”)量.在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J.
二、正功和负功
1.力对物体做正功或负功的条件
由W＝Flcs α可知
(1)当α＝eq \f(π,2)时，W＝0，力F对物体不做功.
(2)当0≤α＜eq \f(π,2)时，W＞0，力F对物体做正功.
(3)当eq \f(π,2)＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功.
2.总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于：
(1)各个分力分别对物体所做功的代数和.
(2)几个力的合力对物体所做的功.
三、功率
1.意义：功率是表示物体做功快慢的物理量.
2.定义：功W与完成这些功所用时间t之比.
3.定义式：P＝eq \f(W,t).单位：瓦特，简称瓦，符号W.
4.功率与速度的关系式：P＝Fv(F与v方向相同).
应用：由功率速度关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反(填“正”或“反”)比，要增大牵引力，就要减小速度.
5.功率是标(填“标”或“矢”)量.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式W＝Flcs α中的l是物体运动的路程.( × )
(2)物体只要受力且运动，该力就一定做功.( × )
(3)功有正负之分，所以功是矢量.( × )
(4)由公式P＝eq \f(W,t)知，做功越多，功率越大.( × )
(5)力对物体做功越快，力的功率一定越大.( √ )
(6)汽车爬坡时常常需要换高速挡.( × )
2.如图1所示，质量为1 kg的物体，静止在光滑水平面上.现在给物体一个与水平方向成60°角斜向上、大小为10 N的拉力F，物体在拉力F的作用下沿水平面运动了2 s，则在这2 s内，拉力F所做的功是 J，功率是 W.
图1
答案 50 25
解析 Fcs 60°＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
W＝Flcs 60°
联立解得W＝50 J，
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝25 W.
一、对功的理解
导学探究
1.观察图2，分析图中的哪个人对物体做了功？
图2
答案 小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有对物体做功.
2.如图3所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平面前进了l，则力F对物体做的功为多少？
图3
答案 如图所示，把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力为Fcs α，所做的功为Flcs α，所以力F对物体所做的功为Flcs α.
知识深化
对公式W＝Flcs α的理解
1.某一恒力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关.
2.功是标量，没有方向，但是有正负.
3.公式W＝Flcs α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用.
如图4所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的( )
图4
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcs θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
答案 C
解析 支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Flcs θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C正确，D错误.
二、正、负功的理解 功的计算
导学探究
某物体在力F作用下水平向右运动的位移为l，拉力的方向分别如图5甲、乙所示，分别求两种情况下拉力对物体做的功.
图5
答案 eq \f(\r(3),2)Fl －eq \f(\r(3),2)Fl
知识深化
1.正、负功的理解和判断
(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图6所示.物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是( )
图6
A.重力对物体做正功 B.合力对物体做功为零
C.摩擦力对物体做负功 D.支持力对物体做正功
答案 BCD
解析 物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力方向与位移方向垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力Ff与位移l的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力做功为零，B选项正确.
2.总功的计算
当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法：
(1)先由W＝Flcs α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcs α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角.
注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1).
(2019·嘉兴七校高一下学期期中)如图7所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cs 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)
图7
答案 7.6 J
解析 物体受到的摩擦力为：Ff＝μFN
＝μ(mg－Fsin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N
解法一：先求各力的功，再求总功.
拉力F对物体所做的功为：
W1＝Flcs 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为：
W2＝Fflcs 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6 J.
解法二：先求合力，再求总功.
物体受到的合力为：
F合＝Fcs 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N，
所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J.
针对训练 如图8所示，平行于斜面向上的拉力F使质量为m的物体匀加速地沿着长为L、倾角为α的固定斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.重力加速度为g，求作用在物体上的各力的合力对物体所做的总功.(物体可视为质点)
图8
答案 FL－mgLsin α－μmgLcs α
解析 以物体为研究对象，其受力分析如图所示：
解法一：拉力F对物体所做的功为：WF＝FL.
重力mg对物体所做的功为：
WG＝mgLcs(90°＋α)＝－mgLsin α.
摩擦力对物体所做的功为：
Wf＝FfLcs 180°＝－FfL＝－μmgLcs α.
支持力FN对物体所做的功为：
WN＝FNLcs 90°＝0.
故各力的总功为：W＝WF＋WG＋Wf＋WN
＝FL－mgLsin α－μmgLcs α
解法二：物体受到的合力为：
F合＝F－mgsin α－Ff＝F－mgsin α－μmgcs α
所以合力做的功为：
W＝F合L＝FL－mgLsin α－μmgLcs α.
三、功率
导学探究
1.建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：
(1)两台起重机哪台做功多？
(2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
答案 (1)两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A做功多.
(2)B做功快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢.
2.在光滑水平面上，一个物体在水平恒力F作用下从静止开始加速运动，经过一段时间t，末速度为v.求：
(1)在t时间内力F的功率；
(2)在t时刻力F的功率.
答案 (1)物体在t时间内的位移l＝eq \f(vt,2)
W＝Fl＝eq \f(1,2)Fvt
在t时间内力F的功率为平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(1,2)Fv
(2)t时刻的功率为瞬时功率
P＝Fv.
知识深化
1.功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然.
2.区分平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：与一段时间相对应
①eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)；
②eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)，其中eq \x\t(v)为平均速度.
(2)瞬时功率：与某一瞬时相对应
①当F与v方向相同时，P＝Fv，其中v为瞬时速度；
②当F与v夹角为α时，P＝Fvcs α，其中v为瞬时速度.
3.P＝Fv中三个量的制约关系
某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离.若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则( )
A.W1＝W2，P1＝P2
B.W1＝W2，P1＞P2
C.W1＞W2，P1＞P2
D.W1＞W2，P1＝P2
答案 B
解析 两次拉物体用的力都是F，物体的位移都是l，由W＝Flcs α可知W1＝W2；物体在粗糙水平面上前进时，加速度a较小，由l＝eq \f(1,2)at2可知用时较长，再由P＝eq \f(W,t)可知P1>P2，选项B正确.
如图9所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图9
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率.
答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
解析 (1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ－μmgcs θ＝ma
前2 s内木块的位移x＝eq \f(1,2)at2
联立解得：x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J；
(2)重力在前2 s内的平均功率为
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(48,2) W＝24 W；
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W.
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcs α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率，则是指平均功率，此时可用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)求解，也可以用eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)cs α求解.
(2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考)列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率.已知匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2.设提速前匀速运动速度为180 km/h，提速后匀速运动速度为240 km/h，则提速前与提速后机车发动机的功率之比为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(9,16) C.eq \f(27,64) D.eq \f(81,256)
答案 C
解析 匀速运动时，F＝Ff＝kv2
P＝Fv，则P＝kv3
故提速前与提速后机车发动机的功率之比为
P1∶P2＝v13∶v23＝27∶64.
1.(正、负功的判断)(2018·山东夏季学业水平考试)某同学为配合值日生打扫地面，将凳子向上搬起后再缓慢放回原处，此过程中该同学对凳子做功的情况是( )
A.一直做正功 B.先做正功，再做负功
C.一直做负功 D.先做负功，再做正功
答案 B
解析 该同学将凳子向上搬起过程中，人对凳子有向上的作用力，凳子向上运动，故人对凳子做正功；放下过程中，人对凳子的力仍然向上，但凳子运动方向向下，故人对凳子做负功，故B正确，A、C、D错误.
2.(功的计算)(2018·岷县一中高一下学期期末)用水平恒力F作用于质量为m的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A.W1>W2 B.W1C.W1＝W2 D.无法判断
答案 C
解析 物体沿力的方向运动，恒力做功就是指力F做的功，根据W＝Flcs α，两次做功过程中F、l、α均相同，所以两次F做功相同，即W1＝W2.
3.(总功的计算)如图10所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，装备质量不计)
图10
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？
答案 (1)1.5×104 J (2)1.3×104 J
解析 (1)重力做的功为：
WG＝mgsin 37°·eq \f(h,sin 37°)＝1.5×104 J
(2)各分力对运动员做的总功与合力对运动员做功相同，运动员所受合力为：
F合＝mgsin 37°－μmgcs 37°＝260 N
合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移l＝eq \f(h,sin 37°)＝50 m
合力做的功W合＝F合·l＝260×50 J＝1.3×104 J.
4.(对功率的理解)关于功率，下列说法正确的是( )
A.由P＝eq \f(W,t)可知，只要知道W和t的值就可以计算出任意时刻的功率
B.由P＝Fv可知，汽车的功率一定与它的速度成正比
C.由P＝Fv可知，牵引力一定与速度成反比
D.当汽车的功率一定时，牵引力一定与速度成反比
答案 D
解析 公式P＝eq \f(W,t)求的是一段时间内的平均功率，不能求瞬时功率，故A错误；根据P＝Fv可知，当汽车牵引力一定时，汽车的功率与速度成正比，故B错误；由P＝Fv可知，当汽车功率一定时，牵引力与速度成反比，故C错误，D正确.
5.(瞬时功率分析)(2018·商丘市高一下学期期末九校联考)飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，如图11所示，飞行员受重力的瞬时功率变化情况是( )
图11
A.一直增大B.一直减小
C.先增大后减小D.先减小后增大
答案 C
解析 由瞬时功率计算式P＝Fvcs α可知，初状态P1＝0，最低点P2＝0，中间状态P＞0.所以瞬时功率变化情况是先增大后减小，故C正确.
6.(平均功率和瞬时功率的计算)在F＝6 N的水平力作用下，质量m＝3 kg的物体在光滑水平面上由静止开始运动，运动时间t＝3 s.求：
(1)力F在前3 s内对物体做的功；
(2)力F在前3 s内对物体做功的平均功率；
(3)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率.
答案 (1)54 J (2)18 W (3)36 W
解析 (1)在水平力的作用下，物体在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知，加速度a＝eq \f(F,m)＝2 m/s2，则物体在3 s末的速度v＝at＝6 m/s
物体在3 s内的位移x＝eq \f(1,2)at2＝9 m
力F在前3 s内对物体做的功W＝Fx＝54 J.
(2)力F在前3 s内的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝18 W.
(3)3 s末力F的瞬时功率P＝Fv＝6×6 W＝36 W.
考点一 功的概念 正、负功的判断
1.下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是( )
答案 B
2.(多选)关于功的正、负，下列说法正确的是( )
A.功有正、负，所以功是矢量
B.正功表示功的方向与物体运动方向相同，负功表示功的方向与物体运动方向相反
C.正功表示力和位移夹角小于90°，负功表示力和位移夹角大于90°
D.正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力
答案 CD
3.(2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考)如图1所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
图1
A.先做负功，再做正功 B.先做正功，再做负功
C.一直做正功 D.一直做负功
答案 D
4.(2018·吉林省实验中学高一下学期期末)一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是( )
A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B.加速时做正功，匀速和减速时做负功
C.加速和匀速时做正功，减速时做负功
D.始终做正功
答案 D
解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D正确.
5.(2018·安徽师大附中高一下学期期末模拟)关于力对物体做的功，以下说法中正确的是( )
A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关
B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动
C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负
D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功
答案 A
解析 滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关，故A正确；做匀速圆周运动的物体，合外力不做功，但物体做曲线运动，故B错误；作用力和反作用力的作用点的位移可能同向，也可能反向，大小可以相等，也可以不等，故作用力和反作用力做功不一定相等，故相互作用力做功之和不一定为零，故一对作用力和反作用力，可能作用力做功，而反作用力不做功，故C、D错误.
考点二 恒力做功的分析和计算
6.某人用20 N的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，放手后，小车又前进了2.0 m才停下来，则在小车运动过程中，人的推力所做的功为( )
A.100 J B.140 J
C.60 J D.无法确定
答案 A
解析 人的推力作用在小车上的过程中，小车的位移是5.0 m，故该力做功为W＝Flcs α＝20×5.0×cs 0° J＝100 J，故A项正确.
7.如图2所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同.设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则( )
图2
A.无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B.若水平面光滑，则W1>W2
C.若水平面粗糙，则W1>W2
D.若水平面粗糙，则W1答案 A
解析 设两物块的水平位移均为l，则F1做功为W1＝F1lcs α，F2做功为W2＝F2lcs α，因F1＝F2，则 W1＝W2，故B、C、D错误，A正确.
8.如图3所示，质量为m的物体A静止在倾角为θ的斜面体B上，斜面体B的质量为M.现对该斜面体B施加一个水平向左的推力F，使物体A随斜面体B一起沿水平方向向左匀速运动，物体A与斜面体始终保持相对静止，当移动的距离为l时，斜面体B对物体A所做的功为( )
图3
A.Fl B.mglsin θ·cs θ
C.mglsin θ D.0
答案 D
解析 对物体A进行受力分析，其受到重力mg、支持力FN、静摩擦力Ff，如图所示，由于物体A做匀速运动，所以支持力FN与静摩擦力Ff的合力(即斜面体B对物体A的作用力)，方向竖直向上，而位移方向水平向左，斜面体B对物体A的作用力的方向与位移方向垂直，故斜面体B对物体A所做的功为0，D正确.
9.(多选)如图4所示，人站在台阶式自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法中正确的是( )
图4
A.重力对人做负功B.摩擦力对人做正功
C.支持力对人做正功D.合力对人做功为零
答案 ACD
解析 因为人匀速向上运动，所以只受重力和支持力，且二力平衡，不受摩擦力，B错误.重力方向和运动方向夹角大于90°，重力做负功，A正确.支持力方向和运动方向夹角小于90°，支持力做正功，C正确.合力为零，因此总功一定为零，D正确.
10.如图5所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，在货物相对车厢静止的过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.货物受到的支持力变小
B.货物受到的摩擦力变小
C.货物受到的支持力对货物做负功
D.货物受到的摩擦力对货物做负功
答案 A
解析 货物处于平衡状态，有mgsin θ＝Ff，FN＝mgcs θ，θ增大时，Ff增大，FN减小，故A正确，B错误；货物受到的支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，支持力做正功，故C错误；摩擦力的方向始终与速度方向垂直，摩擦力不做功，故D错误.
11.如图6所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则( )
图6
A.WA>WB B.WA＝WB
C.WA答案 B
解析 设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得WA＝μmgcs α·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcs β·lBD＝μmglCD，所以B正确.
12.(多选)(2019·山西大学附中高一下学期期中)如图7所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是( )
图7
A.当车匀速运动时，F和F′做的总功为零
B.当车加速运动时，F和F′的总功为负功
C.当车加速运动时，F和F′的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和F′的总功都为零
答案 AB
13.(多选)如图8所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上且与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将(物体始终未离开水平面)( )
图8
A.拉力变为2F
B.时间变为2t
C.物体质量变为eq \f(m,2)
D.拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
答案 ABD
解析 对物体受力分析，水平方向上，由牛顿第二定律得Fcs 60°＝ma，则a＝eq \f(Fcs 60°,m).位移l＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(Fcs 60°,m)t2，W＝Flcs 60°＝eq \f(F2cs2 60°,2m)t2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝eq \f(1,2)m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错误，A、B、D正确.
14.一物体放在水平地面上，如图9甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示.求：
图9
(1)0～6 s时间内物体的位移大小；
(2)0～10 s时间内物体克服摩擦力所做的功.
答案 (1)6 m (2)30 J
解析 (1)由题图丙可知0～6 s时间内物体的位移为：
x＝eq \f(6－2,2)×3 m＝6 m.
(2)由题图丙可知，在6～8 s时间内，物体做匀速运动，故摩擦力Ff＝－2 N
0～10 s时间内物体的总位移为：
x′＝eq \f(8－6＋10－2,2)×3 m＝15 m
物体克服摩擦力所做的功：
W＝|Ffx′|＝30 J.
15.如图10所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图10
(1)物体的重力所做的功；
(2)摩擦力所做的功；
(3)物体所受各力的合力所做的功.
答案 (1)－3 000 J (2)－1 000 J (3)0
解析 对物体受力分析如图所示
(1)WG＝－mgLsin θ＝－3 000 J
(2)Ff＝μFN＝μmgcs θ
Wf＝－FfL＝－μmgcs θ·L
＝－1 000 J
(3)解法一 WF＝FL＝4 000 J
W＝WF＋WG＋Wf＝0
解法二 物体做匀速运动，F合＝0
故W＝0.
考点一 功率的概念及基本公式的理解
1.关于功率，下列说法正确的是( )
A.功率是描述力对物体做功多少的物理量
B.力做功时间越长，力的功率一定越小
C.力对物体做功越快，力的功率一定越大
D.力对物体做功越多，力的功率一定越大
答案 C
解析 功率是描述力对物体做功快慢的物理量，做功越快，功率越大，A错误，C正确；力对物体做功时间长，未必做功慢，B错误；力对物体做功多，未必做功快，D错误.
2.(多选)放在水平面上的物体在拉力F作用下做匀速直线运动，先后通过A、B两点，在这个过程中( )
A.物体的运动速度越大，力F做功越多
B.不论物体的运动速度多大，力F做功不变
C.物体的运动速度越大，力F做功的功率越大
D.不论物体的运动速度多大，力F做功的功率不变
答案 BC
3.(2018·宜宾市高一教学质量检测)汽车上坡时，保持汽车发动机输出功率一定，降低速度，这样做的目的是( )
A.增大牵引力 B.减小牵引力
C.增大阻力 D.减小惯性
答案 A
解析 对于汽车来说，其最大功率是一定的，由P＝Fv可知，只有减小速度，才能得到更大的牵引力，更有利于上坡，故B、C、D错误，A正确.
考点二 功率的计算
4.(2018·齐齐哈尔市高一下学期期末)质量为2 t的汽车，发动机的额定功率为30 kW，在水平路面上能以15 m/s的最大速度匀速行驶，则汽车在该水平路面行驶时所受的阻力为( )
A.2×103 N B.3×103 N
C.5×103 N D.6×103 N
答案 A
5.一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在t时间内(小球未落地)重力对它做功的平均功率eq \x\t(P)及在t时刻重力做功的瞬时功率P分别为( )
A.eq \x\t(P)＝mg2t2，P＝eq \f(1,2)mg2t2
B.eq \x\t(P)＝mg2t2，P＝mg2t2
C.eq \x\t(P)＝eq \f(1,2)mg2t，P＝mg2t
D.eq \x\t(P)＝eq \f(1,2)mg2t，P＝2mg2t
答案 C
解析 t时间内重力做功的平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(mg·\f(1,2)gt2,t)＝eq \f(1,2)mg2t
t时刻重力做功的瞬时功率P＝Fv＝mg·gt＝mg2t
故C正确.
6.(2018·湖南师大附中高一下学期期末)假设列车从静止开始做匀加速直线运动，经过500 m的路程后，速度达到360 km/h.整列列车的质量为1×105 kg，如果不计阻力，在匀加速阶段，牵引力的最大功率是( )
×106 kW B.1×105 kW
C.1×108 kW ×109 kW
答案 B
解析 v＝360 km/h＝100 m/s，由v2＝2ax得，a＝eq \f(v2,2x)＝eq \f(1002,2×500) m/s2＝10 m/s2，则牵引力F＝ma＝1×105×10 N＝1×106 N
所以牵引力最大功率P＝Fv＝1×106×100 W＝1×108 W＝1×105 kW，故B正确.
7.(多选)(2018·贵阳市高一下学期期末)如图1所示，为轿车中的手动变速杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”～“5”挡速度增大，R是倒车挡.某型号轿车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶的最大速度可达180 km/h.假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车( )
图1
A.以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡
B.以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“5”挡
C.以额定功率在水平路面上以最大速度匀速行驶时，其牵引力为1 200 N
D.以54 km/h的速度在水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为60 kW
答案 AC
解析 根据P＝Fv可知，当速度最小时，牵引力最大，变速杆应推至“1”挡，故A正确，B错误；由题意可知轿车在水平路面上行驶的最大速度为vmax＝180 km/h＝50 m/s，在额定功率下以最高速度行驶时，F＝eq \f(P额,vmax)＝eq \f(60 000,50) N＝1 200 N，故C正确；54 km/h＝15 m/s，轿车在水平路面上行驶时所受阻力为1 200 N，发动机的输出功率为P＝Fv＝1 200×15 W＝18 kW，故D错误.
8.一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1.0×103 kg的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s.(取g＝10 m/s2，不计额外功)求：
(1)起重机在这2 s内的平均功率；
(2)起重机在2 s末的瞬时功率.
答案 (1)2.4×104 W (2)4.8×104 W
解析 设货物所受的拉力为F，加速度为a，则
(1)由a＝eq \f(v,t)得，a＝2 m/s2
由牛顿第二定律知，F－mg＝ma
则F＝mg＋ma＝1.0×103×10 N＋1.0×103×2 N
＝1.2×104 N
2 s内货物上升的高度h＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)×2×22 m＝4 m
起重机在这2 s内对货物所做的功
W＝F·h＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J
起重机在这2 s内的平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(4.8×104,2) W＝2.4×104 W
(2)起重机在2 s末的瞬时功率
P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W.
9.起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其v－t图像如图2所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是下列选项图中的哪一个( )
图2
答案 B
解析 由题图知，在0～t1时间内，重物匀加速上升，钢索拉力F1>mg；在t1～t2时间内，重物匀速上升，钢索拉力F2＝mg；在t2～t3时间内，重物匀减速上升，钢索拉力F3F2v1；t1～t2时间内，功率保持不变，P＝F2v1，t2～t3时间内，功率均匀减小，且t2时刻F2v1>F3v1，综上所述，只有B正确.
10.(多选)(2018·吉林省实验中学高一下学期期末)将三个光滑的平板倾斜固定，三个平板顶端到底端的高度相等，三个平板AC、AD、AE与水平面间的夹角分别为θ1、θ2、θ3，如图3所示.现将三个完全相同的小球由最高点A沿三个平板同时无初速度释放，经一段时间到达平板的底端.则下列说法正确的是( )
图3
A.重力对三个小球所做的功相同
B.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球的重力的平均功率最大
C.三个小球到达底端时的瞬时速度大小相同
D.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小
答案 ACD
解析 设A点距水平面的高度为h，小球的质量为m，对沿AC板下滑的小球，重力做功WAC＝mgsin θ·LAC＝mgh，同理可得，重力对三个小球所做的功相同，均为W＝mgh，选项A正确；由a＝gsin θ以及L＝eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)at2可知，t＝eq \f(1,sin θ)eq \r(\f(2h,g))，故沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球运动的时间最长，根据eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)可知，重力的平均功率最小，选项B错误；根据v2＝2ax＝2gsin θ·eq \f(h,sin θ)＝2gh，可知三个小球到达底端的速度大小相同，根据P＝mgvsin θ可知，沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小，选项C、D正确.
11.(多选)(2018·商丘市高一下学期期末九校联考)如图4甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动.监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示.取g＝10 m/s2，则( )
图4
A.第1 s内推力做功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做的功为2 J
C.t＝1.5 s时推力F的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率为3 W
答案 BD
解析 由题图丙可知，第1 s内物体保持静止状态，在推力方向上没有位移，故推力做功为0，故A错误；由题图乙、丙可知，第3 s内物体做匀速运动，F＝2 N，故F＝Ff＝2 N，由v－t图像知，第2 s内物体的位移x＝eq \f(1,2)×1×2 m＝1 m，第2 s内物体克服摩擦力做的功Wf＝Ffx＝2 J，故B正确；第2 s内推力F＝3 N，t＝1.5 s时物体的速度为v＝1 m/s，故推力的功率为P＝Fv＝3 W，第2 s内推力F做功WF＝Fx＝3 J，故第2 s内推力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(WF,t)＝3 W，故C错误，D正确.
12.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用.水平力F与时间t的关系如图5所示，力的方向保持不变，则( )
图5
A.3t0时刻，物体的速度为eq \f(15F0t0,m)
B.3t0时刻的瞬时功率为eq \f(8F\\al( 2,0)t0,m)
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为eq \f(8F\\al( 2,0)t0,3m)
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为eq \f(25F\\al( 2,0)t0,6m)
答案 BC
解析 由题图知，0～2t0时间内，物体加速度a1＝eq \f(F0,m)，位移x1＝eq \f(1,2)a1(2t0)2＝eq \f(2F0t\\al( 2,0),m)，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝eq \f(2F0t0,m)；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝eq \f(2F0,m)，位移x2＝v1t0＋eq \f(1,2)a2t02＝eq \f(3F0t\\al( 2,0),m)，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝eq \f(4F0t0,m)，所以3t0时刻的瞬时功率P＝2F0v2＝eq \f(8F\\al( 2,0)t0,m)，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(F0x1＋2F0x2,3t0)＝eq \f(8F\\al( 2,0)t0,3m)，选项C正确，D错误.
13.起重机将一质量为1.0×103 kg的货物竖直向上吊起，货物运动的v－t图象如图6所示，求：(取g＝10 m/s2)
图6
(1)整个过程中货物上升的高度；
(2)减速过程中货物的加速度大小；
(3)加速过程中起重机拉力的平均功率.
答案 (1)14 m (2)0.5 m/s2 (3)1.1×104 W
解析 (1)v－t图像中图像与时间轴围成的面积即为货物在该段时间内的位移，
所以：x＝eq \f(1,2)×(4＋10)×2 m＝14 m
(2)由公式：a＝eq \f(vt－v0,t)
可得：a＝－0.5 m/s2
故减速过程中货物的加速度大小为0.5 m/s2
(3)由题图可知加速过程中：a′＝1 m/s2，eq \x\t(v)＝1 m/s
由牛顿第二定律得：
F牵－mg＝ma′
解得：F牵＝1.1×104 N
由eq \x\t(P)＝F牵eq \x\t(v)得：
eq \x\t(P)＝1.1×104 W
14.(2018·泉州五中期末)如图7所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动.已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
图7
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
答案 (1)960 W (2)480 W
解析 (1)物体对水平面的压力等于水平面对物体的支持力，FN＝mg－Fsin 37°＝10×10 N－100×0.6 N＝40 N
由牛顿第二定律得物体的加速度
a＝eq \f(Fcs 37°－μFN,m)＝eq \f(100×0.8－0.5×40,10) m/s2＝6 m/s2
第2 s末，物体的速度v＝at＝12 m/s
第2 s末，拉力F对物体做功的功率P＝Fvcs 37°＝960 W.
(2)从开始运动到物体前进12 m，所用时间为
t′＝eq \r(\f(2l,a))＝eq \r(\f(2×12,6)) s＝2 s
该过程中拉力对物体做功
W＝Flcs 37°＝100×12×0.8 J＝960 J
拉力对物体做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t′)＝eq \f(960,2) W＝480 W.条件
从动力学角度看
从能量角度看
正功
当0≤α＜eq \f(π,2)时，cs α＞0，W＞0
力是物体运动的动力
力对物体做正功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
不做功
当α＝eq \f(π,2)时，cs α＝0，W＝0
力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用
负功
当eq \f(π,2)＜α≤π时，cs α＜0，W＜0
力是物体运动的阻力
物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明
也可根据力和速度方向夹角判断功的正负
起重机编号
被吊物体重力
匀速上升速度
上升的高度
所用时间
做功
A
2.0×103 N
4 m/s
16 m
4 s
B
4.0×103 N
3 m/s
6 m
2 s
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度