高中物理新教材同步必修第二册 第7章 专题强化 卫星变轨问题和双星问题同步讲义

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专题强化　卫星变轨问题和双星问题[学习目标]1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.一、人造卫星的变轨问题1.变轨问题概述(1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r).(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化.①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝meq \f(v2,r)减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝meq \f(v2,r)增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨.2.实例分析(1)飞船对接问题①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图1甲所示).②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.图1(2)卫星的发射、变轨问题如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，进入圆轨道3做圆周运动.图2(2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是(　　)图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度答案　B解析　卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；在同一点P，由eq \f(GMm,r2)＝man知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.4.判断卫星的加速度大小时，可根据a＝eq \f(F,m)＝Geq \f(M,r2)判断.针对训练　(多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(　　)图4A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度B.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度答案　ABC解析　在轨道Ⅱ上由A点运动到B点，由开普勒第二定律可知，经过A的速度小于经过B的速度，A正确；从轨道Ⅰ的A点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，B正确；根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D错误.二、双星或多星问题1.双星模型(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.图5(2)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2.2.多星系统在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.图6答案　eq \f(Lm2,m1＋m2)　eq \f(Lm1,m1＋m2)　eq \r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))解析　双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m1：eq \f(Gm1m2,L2)＝m1r1ω2对m2：eq \f(Gm1m2,L2)＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L解得r1＝eq \f(Lm2,m1＋m2)，r2＝eq \f(Lm1,m1＋m2)由Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1eq \f(4π2,T2)及r1＝eq \f(Lm2,m1＋m2)得周期T＝eq \r(\f(4π2L3,Gm1＋m2)).宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)图7A.每颗星做圆周运动的角速度为eq \r(\f(Gm,L3))B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍答案　C解析　任意两星间的万有引力F＝Geq \f(m2,L2)，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r＝eq \f(\r(3),3)L，F合＝2Fcos 30°＝eq \r(3)F，由牛顿第二定律可得F合＝mω2r，联立可得ω＝eq \r(\f(3Gm,L3))，an＝ω2r＝eq \f(\r(3)Gm,L2)，选项A、B错误；由周期公式可得T＝eq \f(2π,ω)＝2πeq \r(\f(L3,3Gm))，L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得v＝ωr＝eq \r(\f(Gm,L))，L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，大小不变，选项D错误.1.(卫星变轨问题)(2019·启东中学高一下学期期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道 Ⅰ 上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道 Ⅱ.在圆形轨道 Ⅱ 上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是(　　)图8A.沿轨道 Ⅰ 运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道 ⅡB.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C.沿轨道 Ⅰ 运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D.在轨道 Ⅰ 上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大答案　B2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)图9A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案　C解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误.3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)A.轨道半径约为卡戎的eq \f(1,7)B.角速度约为卡戎的eq \f(1,7)C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍答案　A解析　双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)＝eq \f(1,7)，A正确；根据v＝ωr，得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,7)，C错误.4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是(　　)A.这两颗恒星的质量必定相等B.这两颗恒星的质量之和为eq \f(4π2R1＋R23,GT2)C.这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1D.其中必有一颗恒星的质量为eq \f(4π2R1R1＋R22,GT2)答案　BCD解析　两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Geq \f(m1m2,R1＋R22)＝m1eq \f(4π2,T2)R1＝m2eq \f(4π2,T2)R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，故A错误，C正确；由上式可得m1＝eq \f(4π2R2R1＋R22,GT2)，m2＝eq \f(4π2R1R1＋R22,GT2)，m1＋m2＝eq \f(4π2R1＋R23,GT2)，故B、D正确.一、选择题1.(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　)图1A.v1＞v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) B.v1＞v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))C.v1＜v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) D.v1＜v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))答案　B解析　根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝eq \r(\f(GM,r))，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>eq \r(\f(GM,r))，故B正确.2.(2019·北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小一定相等D.两个天体的向心加速度大小一定相等答案　C解析　双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律有：Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L故r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，故eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)故质量大的天体线速度较小，故A错误.3.(2019·定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道 Ⅰ 到达P点后经过调整速度进入圆轨道 Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是(　　)图2A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/sB.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P点进入轨道Ⅱ时要加速C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P点的速度D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P点的加速度相等答案　D4.(2019·长丰县二中期末)如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是(　　)图3A.卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期B.卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率C.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率D.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时加速度大于经过P点的加速度答案　A解析　根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期，故A不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力，即eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，可知v＝eq \r(\f(GM,r))，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2上运行时，从Q点向P点运动，速度逐渐减小，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，故C正确；卫星离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2上运行时经过Q点时加速度大于经过P点的加速度，故D正确.5.(2019·杨村一中期末)如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是(　　)图4A.m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m1做圆周运动的半径为eq \f(2,5)LD.m2做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L答案　C解析　设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，解得r1＝eq \f(2,5)L，r2＝eq \f(3,5)Lm1、m2运动的线速度大小分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确.6.(2019·榆树一中期末)如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正确的是(　　)图5A.v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2B.v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3C.v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3D.v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3答案　D解析　根据万有引力提供向心力，即eq \f(GMm,r2)＝man得：an＝eq \f(GM,r2)，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v1′，根据eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得：v＝eq \r(\f(GM,r))，又因为r1＜r3，所以v1′＞v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1>v1′，故v1＞v3＞v2，故选D.7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接.已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转.那么以下选项正确的是(　　)图6A.月球的质量为eq \f(4π2r3,GT2)B.航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速C.航天飞机从A处到B处做减速运动D.月球表面的重力加速度为eq \f(4π2R,T2)答案　A解析　设空间站质量为m，在圆轨道上，由Geq \f(mM,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg月＝Geq \f(Mm,R2)，可得g月＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(4π2r3,R2T2)，D错误.8.(多选)如图7所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则(　　)图7A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于eq \r(g0R)B.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1答案　BC解析　由eq \f(mv2,R)＝mg0知，v＝eq \r(g0R)，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于eq \r(g0R)，A错误；由v＝eq \r(\f(GM,r))知，vⅠvⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确；由an＝eq \f(GM,r2)知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确；由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误.9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为(　　)A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))TC.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T答案　B解析　设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1eq \f(4π2,T2)Geq \f(m1m2,L2)＝m2r2eq \f(4π2,T2)并且r1＋r2＝L解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T′＝2πeq \r(\f(n3L3,Gkm1＋m2))＝eq \r(\f(n3,k))T故选项B正确.10.(多选)(2019·雅安中学高一下学期期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量.假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中(　　)图8A.它们做圆周运动的万有引力保持不变B.它们做圆周运动的角速度不断变大C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大D.体积较大星体圆周运动的线速度变大答案　CD解析　由F＝eq \f(Gm1m2,L2)知F增大，A错误；设体积较小者质量为m1，轨迹半径为r1，体积较大者质量为m2，轨迹半径为r2，则有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2得：ω＝eq \r(\f(Gm1＋m2,L3))，因m1＋m2及L不变，故ω不变，B错误；半径r2＝eq \f(Gm1,ω2L2)，因m1增大，故r2变大，C正确；线速度大小v2＝ωr2，变大，D正确.11.(2019·扬州中学模拟)进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的(　　)A.1倍 B.2倍 C.eq \f(1,2)倍 D.2eq \r(2)倍答案　D解析　设正方形边长为L，每颗星的轨道半径为r＝eq \f(\r(2),2)L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：2×eq \f(Gm2,L2)cos 45°＋eq \f(Gm2,2L2)＝mω2r得：ω＝eq \f(\r(2＋\f(\r(2),2)Gm),L\r(L))，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的2eq \r(2)倍，故D项正确.二、非选择题12.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图9所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：图9(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.答案　(1)加速　(2)eq \f(gR2,R＋h12)　(3)eq \r(3,\f(gR2t2,4n2π2))－R解析　(2)在地球表面有mg＝eq \f(GMm,R2)①根据牛顿第二定律有：Geq \f(Mm,R＋h12)＝maA②由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝eq \f(gR2,R＋h12)(3)飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R＋h22)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h2)③由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝eq \f(t,n)④由①③④式联立解得h2＝eq \r(3,\f(gR2t2,4n2π2))－R.13.(2019·厦门一中模拟)如图10所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧.引力常量为G.图10(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比.(计算结果保留四位有效数字)答案　(1)2πeq \r(\f(L3,GM＋m))　(2)1.012解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知：对B有：Geq \f(Mm,L2)＝Meq \f(4π2,T2)r2对A有：Geq \f(Mm,L2)＝meq \f(4π2,T2)r1又r1＋r2＝L联立解得T＝2πeq \r(\f(L3,GM＋m))(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2πeq \r(\f(L′3,GM地＋m月))若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得eq \f(GM地m月,L′2)＝m月eq \f(4π2,T\o\al( 2,2))L′解得T2＝2πeq \r(\f(L′3,GM地))则eq \f(T2,T1)＝eq \r(\f(M地＋m月,M地))故eq \f(T\o\al( 2,2),T\o\al( 2,1))＝eq \f(M地＋m月,M地)≈1.012.