2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）
A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104
4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．56°
5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．2a＞2bC．ab＞0D．a＜﹣1
7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）
A．∠BDA＝72°B．BD＝2AEC．D．CA2＝CD•CB
10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ ．
12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）
14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 °；
（2）n＝ ，并补全图2中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cs70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠CAE；
（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．
23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
25．（12分）【问题情境】
如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 ，的值是 ．
（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．
2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．
【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．
故选：B．
2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：俯视图如选项C所示，
故选：C．
3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）
A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2900000＝2.9×106．
故选：B．
4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．56°
【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝56°，
∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．
故选：A．
5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．2a＞2bC．ab＞0D．a＜﹣1
【分析】由题可知，a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，据此逐一判断各选项．
【解答】解：由题可知，a+b＝0，
∴a＝﹣b，
从数轴上可知，a＜0＜1＜b，
A、∵a＝﹣b，∴|a|＝|b|，故选项A不符合题意；
B、∵a＜b，∴2a＜2b，故选项B不符合题意；
C、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故选项C不符合题意；
D、∵a＝﹣b，a＜0＜1＜b，∴﹣b＜﹣1，∴a＜﹣1，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用列表法或树状图法解答即可．
【解答】解：画树状图如下：
一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果，
∴P（两人抽到汉字可以组成“朤朤”）＝＝，
故选：B．
8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为＝（m），内边缘的长为＝＝（m），
∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为＝π（m），
故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）
A．∠BDA＝72°B．BD＝2AEC．D．CA2＝CD•CB
【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝108°得∠B＝∠C＝36°，由作图可知MN为AC的垂直平分线，则AD＝CD，进而得∠DAC＝∠C＝36°，由此可求出∠BAD的度数，进而可对选项A进行判断；由MN为AC的垂直平分线得AC＝2AE，则AB＝2AE，证∠BAD＝∠BDA＝72°得AB＝BD，由此可对选项B进行判断；设CD＝x，CB＝a，则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，AC＝AB＝BC＝a﹣x，证△CDA和△CAB相似得CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得x2﹣3ax+a2＝0，由此解出，则，由此可对选项C进行判断；由△CDA∽△CAB得CD：CA＝CA：CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣108°）＝36°，
由作图可知：MN为AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，
故选项A正确，不符合题意；
∵MN为AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE，
∵AB＝AC，
∴AB＝2AE，
∵∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，
∵∠BAD＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA＝72°，
∴AB＝BD，
∴BD＝2AE，
故选项B正确，不符合题意；
设CD＝x，CB＝a，则x＜a
则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，
∴AC＝AB＝BC＝a﹣x，
∵∠DAC＝∠B＝36°，∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴CD：CA＝CA：CB，
即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，
整理得：x2﹣3ax+a2＝0，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴，
∴，
即，
故选项C不正确，符合题意；
∵△CDA∽△CAB，
∴CD：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CD•CB，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3
【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线y＝x2﹣6上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n，﹣n）和点（﹣n，n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的顶点坐标为（n，n2﹣6），
∴二次函数n2﹣6的顶点在抛物线y＝x2﹣6上移动，
∵y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，﹣n），（﹣n，n），（﹣n，﹣n）的正方形有交点，
如图，
当y＝（x﹣n）2+n2﹣6过点（﹣n，n） 时，
将（﹣n，n）代入y＝（x﹣n）2+n2﹣6得：4n2+n2﹣6＝n，
解得：n＝或n＝﹣1（舍去），
当y＝（x﹣n）2+n2﹣6过点（n，﹣n） 时，
将（﹣n，n）代入y＝（x﹣n）2+n2﹣6得：4n2+n2﹣6＝﹣n，
解得：n＝1，n＝﹣（舍去），
由图可知，由图象可得n的取值范围是：1．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ y（x﹣y） ．
【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．
【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．
故答案为：y（x﹣y）．
12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 2（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】根据分母不为0可得x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴x的值可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）
【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．
【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积＝圆面积的一半，
∴P（最终停留在黑色区域）＝＝．
故答案为：．
14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 8 ．
【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CBF的面积+△ABC的面积﹣扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，
∴BC＝＝4，
∴S扇形ACB＝＝4π，S半圆CBF＝π×（2）2＝4π，S△ABC＝×4×4＝8；
所以阴影面积＝S半圆CBF+S△ABC﹣S扇形ACB＝4π+8﹣4π＝8，
故答案为：8．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．
【分析】根据勾股定理得出BC＝8cm，进而利用直角三角形的性质得出BD＝5cm，进而利用勾股定理得出BE，进而解答即可．
【解答】解；∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，
∴BC＝（cm），
∵点D为AC的中点，
∴BD＝AC＝5cm，
∵EB＝EC，
∴BF＝BC＝4cm，DF＝（cm），
设EF＝x，在Rt△EBF中，BE2＝EF2+BF2，
∵EB⊥BD，
在Rt△BED中，BE2＝ED2﹣BD2，
即x2+42＝（x+3）2﹣52，
解得：x＝，
∴EF＝cm，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 10 ．
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF＝EH＝6，KE＝HD，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．
【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠C＝∠ADC＝90°，
∵EH⊥AD，
∴四边形CDHE为矩形，
∴EH＝CD＝6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴EF＝ED，∠FED＝90°．
∴∠KEF+∠HED＝90°．
∵FK⊥BE，
∴∠KFE+∠KEF＝90°，
∴∠KFE＝∠HED．
在△KFE和△HED中，
，
∴△KFE≌△HED（AAS），
∴KF＝EH＝6，KE＝HD．
∵∠BAH＝∠AHE＝∠MKH＝90°，
∴四边形AHKM为矩形，
∴AH＝MK，AM＝HK，∠M＝90°，
设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，
∴AM＝HK＝HE+EK＝14﹣x，MF＝KF+MK＝6+x，
在Rt△AFM中，
∵AM2+MF2＝AF2，
∴AF＝＝，
∵2（x﹣4）2≥0，
∴当x＝4时，AF取得最小值为＝10．
∴AF的最小值是10．
故答案为：10．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，
解不等式得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．
∴不等式组的整数解为0，1，2．
19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，则BO＝CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
又∵∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE＝CF．
20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100
随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 54 °；
（2）n＝ 20 ，并补全图2中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 85.5 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可；
（2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案．
【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°，
故答案为：54；
（2）n＝9÷45%＝20，
展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4，
补全图2中的频数分布直方图：
故答案为：20；
（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5，
故答案为：85.5；
（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：
甲同学的总成绩为＝90.2（分），
乙同学的总成绩为＝93（分），
93＞90.2，
∴乙同学能获得“环保之星”称号．
21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cs70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）
【分析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，
由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，
在Rt△ABG中，AB＝4m，∠BAG＝70°，
∴AG＝AB•cs70°≈4×0.342＝1.368（m），
BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），
∴BG＝DH＝3.76（m），
∵AD＝3.5m，
∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），
∵DF＝2.76m，
∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），
在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，
∴CH＝FH•tan60°＝（m），
∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），
∴BC的长度约为0.40m．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠CAE；
（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠CAE；
（2）解：∵∠ADE＝30°，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴BE＝＝＝3，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠D＝30°，
在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，
∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，
∴BF的长为2．
23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
，
解得：，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
（2）设购进A种跳a件，总费用为w元，
∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，
则2a≤48﹣a，
解得：a≤16，
w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，
∵﹣5＜0，
∴w随a的增大而减小，
当a＝16时，w有最小值为1360元，
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
【分析】（1）根据反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得到F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把F（2，n）代入y＝，得n＝＝2，
∴F（2，2），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴A（0，6）；
（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝＝3；
（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC＝3，
∴B（（﹣3，0），
∴直线AB的解析式为y＝2x+6，
设M（m，2m+6），N（n，），
∵MN∥x轴，
∴2m+6＝，
∴n＝，
∴△OMN面积＝（n﹣m）×（2m+6）＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+）2+，
∴△OMN面积的最大值为．
25．（12分）【问题情境】
如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 CF＝BE ，的值是 4 ．
（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．
【分析】（1）根据已知条件得出BD为AC垂直平分线，再根据相似三角形的判定得出△DFC∽△DEB，从而得出CF＝BE，最后根据HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC，即可得出答案；
（2）连接AC，BD交于O点，根据已知先得出四边形ABCD为菱形，得出∠BDC＝∠ADC＝30°，在等腰△DCB中，根据BD＝CD，得出＝，再根据DF＝DE，得出＝＝，再证出△DEB∽△DFC，得出HF+BE＝HF+CF＝HC，∠HCB＝90°，在Rt△HCB中，再根据已知条件得出HC＝4，从而得出答案；
（3）连接BD，交AC于O，交HC于，由（1）得出△ADC为等边三角形，得出AD＝CD＝AC＝4，再根据勾股定理得出OB和DO得的值，再根据△DCF∽△DBE，得出＝＝，求出m，再根据形似三角形的判定证出△DMC∽△HMB，得出∠CDB＝∠CHB＝30°，过C作CG⊥AB于G，根据三角形的面积公式求出CG，在Rt△CGH中，根据∠CHA＝30°，CG＝，得出HC＝2CG＝．
【解答】解：（1）∵DF＝DE，
∴＝，
∵AD＝DC，AB＝BC，
∴BD为AC垂直平分线，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴＝，
∴＝＝，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠2，
∴△DFC∽△DEB，
∴＝，CF＝BE，
∴HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC＝4；
故答案为：CF＝BE，4；
（2）如图所示，连接AC，BD交于O点，
∵AD＝DC，AD＝BA，AB＝BC，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∴四边形ABCD为菱形，
∵∠ADC＝60°，AO＝CO，AC⊥BO，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
在等腰△DCB中，BD＝CD，
∴＝，
∵DF＝DE，
∴＝，
∴＝＝，
又∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝30°（∠3为公共角），
∴∠1＝∠2，
∴△DEB∽△DFC，∠5＝∠6＝30°，
∴＝＝，
∴CF＝BE，
∴HF+BE＝HF+CF＝HC，
∵∠DCB＝120°，
∴∠HCB＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△HCB中，∠ABC＝60°，BC＝4，
∴HC＝4，
∴HF+BE＝HC＝4．
（3）连接BD，交AC于O，交HC于M，
∵AD＝DC，AB＝BC，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
由（1）可知，△ADC为等边三角形，
∴AD＝CD＝AC＝4，
在Rt△BOC中，OA＝OC＝2，BC＝，
∴OB＝＝＝，
同理可得：DO＝2，
∴BD＝2+＝3，
∴＝＝，
∵△DCF∽△DBE，
∴＝＝，∠4＝∠5，
∴m＝，
又∵∠DMB＝∠HMB，
∴△DMC∽△HMB，
∴∠CDB＝∠CHB＝30°，
过C作CG⊥AB于G，
S△ABC＝×CG×AB＝×AC×OB，
∴CG＝＝＝，
在Rt△CGH中，∠CHA＝30°，CG＝，
∴HC＝2CG＝．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A（0，1），B（﹣2，0），再根据条件运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线BC交y轴于点D，过点A作AE⊥BC于点E，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝kx+2k，再证得△DAE∽△DBO，可得＝，即＝，可求得直线BC的解析式为y＝x+，联立方程组即可求得点C的坐标；
（3）根据抛物线M的顶点在直线AB上且过点A，设顶点坐标为（m，m+1），则抛物线表达式可设为y＝a（x﹣m）2+m+1，进而得出抛物线N的表达式为y＝x2+ax+l，对称轴为直线x＝﹣a，再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣2；
∴A（0，1），B（﹣2，0），
∵抛物线的顶点为点B，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2，把A（0，1）代入，得4a＝1，
解得：a＝，
∴y＝（x+2）2＝x2+x+1，
∴抛物线M的表达式为y＝x2+x+1；
（2）存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．
理由如下：设直线BC交y轴于点D，如图，过点A作AE⊥BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，把B（﹣2，0）代入得：﹣2k+n＝0，
解得：n＝2k，
∴直线BC的解析式为y＝kx+2k，
当x＝0时，y＝2k，
∴D（0，2k），
∴OD＝2k，AD＝2k﹣1，OA＝1，
在Rt△BDO中，BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠ABO，AO⊥BO，AE⊥BC，
∴AE＝AO，
∵∠DEA＝∠DOB＝90°，∠ADE＝∠BDO，
∴△DAE∽△DBO，
∴＝，
∴＝，即＝，
解得：k＝0（舍去）或k＝，
∴直线BC的解析式为y＝x+，
联立方程组得，
解得：，，
∴点C的坐标为（，）；
（3）抛物线M的顶点在直线AB上且过点A，设顶点坐标为（m，m+1），则抛物线表达式可设为y＝a（x﹣m）2+m+1，
将A（0，1）代入得am2+m+1＝1，
解得：m＝0或m＝﹣，
若m＝0，则抛物线表达式为y＝ax2+1，则抛物线N的二次项系数为0，不符合题意；
若m＝﹣，代入y＝a（x﹣m）2+m+1，可得y＝a（x+）2﹣+1＝ax2+x+1，
∴抛物线N的表达式为y＝x2+ax+l，对称轴为直线x＝﹣a，
∵抛物线开口向上，所以距离对称轴越近y值越小，
对于2≤t≤3，都有p＜q＜l，所以对称轴距离x＝0最远，距离x＝t最近，
∴＜﹣a＜，
∴﹣7＜a＜﹣6．
笔试
展演
甲
92
89
乙
90
95
活动课题
遮阳篷前挡板的设计
问题背景
我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长．
测量数据抽象模型
我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可．
解决思路
经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：
（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；
（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．
运算过程
…
笔试
展演
甲
92
89
乙
90
95
活动课题
遮阳篷前挡板的设计
问题背景
我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长．
测量数据抽象模型
我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可．
解决思路
经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：
（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；
（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．
运算过程
…