2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）-普通用卷

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）-普通用卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.今年某市有8万多名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中，下列说法：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体：③2000名考生是总体的一个样本：④样本容量是2000.其中说法正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3.下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则|a|<0；④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，其中属于确定事件的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB/​/CD，AD//BC
B. AB=CD，AD//BC
C. AO=CO，BO=DO
D. ∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB
5.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=1，则EF的长度是( )
A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 3
7.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设( )
A. 三角形中有一个内角小于60°B. 三角形中有一个内角大于60°
C. 三角形中每个内角都大于60°D. 三角形中没有一个内角小于60°
8.如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG.延长AE交CG于点F，连接DE.下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA=DE，则CF=FG；
其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.为了解某校八年级3000名学生每天的阅读时间，从中抽取了200名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是______．
10.走入考场之前老师送你一句话“Wishyusuccess”.在这句话中任选一个字母，这个字母为“c”的概率是______．
11.有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是
______．
12.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=100°，则∠C的度数是______．
13.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=8，则▱ABCD的面积为______．
14.若菱形两条对角线的长分别为6和9，则此菱形面积为______．
15.如图，ABCD是一张长方形纸片，AB=CD=3，BC=AD=9.在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，则线段EF的长度为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为______．
17.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是______．
18.如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=4∠DEF.其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x(单位：h)的一组数据，将所得数据分为四组(A：x<8；B：8≤x<9；C：9≤x<10；D：x≥10)，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是______．
(2)将条形统计图补充完整．
(3)若该校共有900名学生，请估计最近两周约有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
20.(本小题10分)
某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
(1)完成上述表格：a= ______；b= ______；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______，(精确到0.1)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______；(精确到0.1)
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
21.(本小题10分)
如图，点E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且BF=DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
22.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
(1)请直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
(2)求证：四边形DECF是矩形；
(3)当△ABC满足条件______时，四边形DECF是正方形．
23.(本小题10分)
图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°．
24.(本小题10分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
25.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
解：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
26.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
(1)求证：AF=EG；
(2)若AB=6，BF=2．
①若BE=3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．
27.(本小题12分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是______，位置关系是______．
(2)若把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；
(3)已知AB=7，AD=3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出△MPQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意．
故选：D．
根据中心图形的概念求解即可．
本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①这8万名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，原说法错误；
③2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误；
④样本容量是2000，正确．
故选：C．
总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，由此判断出①②③是否正确；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，由此判断④是否正确．
本题考查总体、个体、样本、样本容量的问题，根据总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
3.【答案】B
【解析】解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件，不符合题意；
②三条线段组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
③a是实数，则|a|<0，是不可能事件，符合题意；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K，是随机事件，不符合题意；
⑤367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意；
⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
直接利用随机事件、确定事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件以及非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.【答案】D
【解析】解：在矩形ABCD中，AO=BO=12AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°−120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选：D．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=12AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AB中点，∠A=30°，
∴CD=12AB=BC=1，
∵EF为△ACD的中位线，
∴EF=12CD=0.5，
故选：A．
根据直角三角形斜边中线的性质和含30°直角三角形的性质求出CD，再根据三角形中位线定理即可求出EF的长度．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握含30°直角三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
8.【答案】A
【解析】解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90°，
∴∠KAB+∠AKB=90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90°，
∴∠KFC=90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，
又∵∠BEF=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=12AE，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE=12AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴GF=12CG，
∴CF=FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
设AF交BC于K，由∠ABK=90°及将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CG，从而可得CF=FG，判断③正确．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9.【答案】200
【解析】解：这个问题中，样本容量是200．
故答案为：200．
根据样本容量的定义，是指样本中个体的数目．
本题主要考查了样本容量，正确相关概念是解题关键．
10.【答案】17
【解析】解：在英语句子“Wishyusuccess”中共14个字母，
其中有字母“c”2个；
故其概率为214=17．
故答案为：17．
根据题意得出共14个字母，其中有字母“c”2个，进而根据概率公式，进行计算即可求解．
本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式的计算方法是解题的关键．
11.【答案】0.2
【解析】解：由题意得：
40×0.1=4，
∴40−(10+5+7+6+4)=8，
∴8÷40=0.2，
∴第6组的频率是0.2，
故答案为：0.2．
先求出第5组的频数，从而求出第6组的频数，然后根据频率=频数÷总次数进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．
12.【答案】50°
【解析】解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD=40°，AO=DO，
∵∠AOC=100°，
∴∠COD=∠AOC−∠AOD=100°−40°=60°，
∠A=∠ADO=12(180°−∠AOD)=12×(180°−40°)=70°，
∴∠ODC=∠A=70°，
∴∠C=180°−∠COD−∠ODC=180°−60°−70°=50°，
故答案为：50°．
根据旋转的性质可得∠AOD=40°，AO=DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】32
【解析】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=8，
∴EF=12BE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=8，
∴四边形ABCD的面积=BC×EF=8×4=32．
故答案为：32．
过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=8，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14.【答案】27
【解析】解：菱形的面积为：12×6×9=27．
故答案为：27．
根据菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
15.【答案】 10
【解析】解：如图，连接AC交EF于点O；
由题意得：AO=CO，EF⊥AC；AF=CF=λ；
则BF=9−λ；
∵ABCD是一张长方形纸片，
∴∠B=90°；由勾股定理得：
λ2=32+(9−λ)2，
解得：λ=5；由勾股定理得：
AC2=32+92=90，
∴AC=3 10；
∵矩形ABCD是中心对称图形，
∴AE=CF，而AF=CF，
∴AE=AF，而AO⊥EF，
∴OE=OF；
由勾股定理得：
OF2=AF2−AO2=25−(3 102)2=52，
∴OF= 102，EF= 10．
如图，作辅助线，首先根据勾股定理求出AC、AF的长；再根据勾股定理求出OF的长，即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
16.【答案】125
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= 32+42=5，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC=90°，
∴四边形AMPN为矩形，
连接AP，则：MN=AP，
∴AP最小时，MN最小，
∵垂线段最短，
∴AP⊥BC时，AP最小，
∴S△ABC=12AC⋅AB=12BC⋅AP，即：5AP=3×4，
∴AP=125，
∴MN的最小值为125；
故答案为：125．
连接AP，易证四边形AMPN为矩形，得到MN=AP，进而得到AP最小时，MN最小，根据垂线段最短，得到AP⊥BC时，AP最小，等积法进行计算即可．
本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键．
17.【答案】①④
【解析】解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误，
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故答案为：①④．
根据平行四边形的判定和性质即可判断．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质．
18.【答案】①②③
【解析】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确，
∵DE/​/CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△CFG(ASA)，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF/​/BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH/​/AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④错误，
故答案为：①②③．
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH.想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
19.【答案】50 14.4°
【解析】解：(1)本次调查的学生人数为：16÷32%=50(名)，
D组所对应的扇形圆心角的度数为：360°×250=14.4°，
故答案为：50；14.4°，
(2)A组人数为：50−(16+28+2)=4(名)，
补全图形如下：
(3)根据题意的：1200×28+250=720(名)，
故答案为：估计该校有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
(1)由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例，即可求解，
(2)根据总人数求出A组人数，依此补全图形，
(3)用总人数乘以睡眠时间大于或等于9h人数所占比例，即可求解，
本题考查了，条形统计图，扇形统计图，解题的关键是：理解两种统计图之间的关系．
20.【答案】295 0.745 0.6 0.6
【解析】解：(1)a=500×0.29=295，b=298÷400=0.745，
故答案为：295、0.745；
(2)估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
(3)360°×(1−0.6)=144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
(1)根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
(3)用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中
AB=CD ∠ABE=∠CDFBE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC
∵∠AEF=180°−∠AEB，∠BFC=180°−∠DFC
∴∠AEF=∠BFC，
∴AE//CF，且AE=CF
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键.由平行四边形的性质可得AB=CD，AB/​/CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，即可得AE=CF，∠AEB=∠DFC，可证AE/​/CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形．
22.【答案】AC=BC
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，D点是AB的中点，
∴AD=BD=CD；
(2)∵∠ACB=90°，D点是AB的中点，
∴AD=CD，
∵DF是△ADC的角平分线，
∴DF⊥AC，
∴∠CFD=90°，
同理：∠DEC=90°，
∵∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形；
(3)当AC=BC时，四边形DECF是正方形，
理由如下：∵AD=CD，DF是△ADC的角平分线，
∴AF=FC=12AC，
同理可得：CE=BE=12BC，
∵AC=BC，
∴CF=CE，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
(1)由直角三角形的性质可求解；
(2)由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形DECF是矩形；
(3)由正方形的判定可求解．
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABEF即为所求；

(2)如图②中，高AM即为所求；

(3)如图③中，点N即为所求．
【解析】(1)利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
(2)取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
(3)取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
本题考查作图−旋转变换，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB/​/CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AB/​/CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CFO=∠CEF，
∴CE=CF，
由(1)知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠EAO=∠FCO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AECF是平行四边形；
(2)根据平行线的性质得到∠AEO=∠CFO，等量代换得到∠CFO=∠CEF，求得CE=CF，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】四边形EGFH是平行四边形
【解析】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，CH=12BC，
∴AG=CH，
∵点E，F的运动速度相同，
∴AE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=FH，∠AEG=∠CFH，
∴180°−∠AEG=180°−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
∴GE/​/FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图1，连接GH，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
∵AD=BC，
∵在矩形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
EF=GH=6，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AE=CF=t，
∴EF=10−2t=6，
∴t=2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
同理EF=GH=6，AE=CF=t，
∴EF=t+t−10=2t−10=6，
∴t=8；
综上所述，四边形EGFH为矩形时，t=2或t=8．
(1)由矩形的性质证得△AGE≌△CHF(SAS)，得到GE=FH，GE/​/FH，得到四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，则四边形ABHG是矩形，GH=AB=6.分点E，F相遇前和相遇后两种情况讨论，根据矩形的对角线相等即可解答．
本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，
∵AH⊥EG，
∴∠AEH+∠DAH=90°，
∵∠PEG+∠PGC=90°，
∴∠EAH=∠PGE，
∵PG=AB，
∴△ABF≌△GPE(AAS)，
∴AF=EG；
(2)①∵BF=2，
∴PE=2，
∵AB=6，BE=3，
∴AE=3，
∴AP=1，
在Rt△APG中，AP=1，PG=6，
∴AG= 62+12= 37；
②过点F作FQ//EG，过点G作GQ/​/EF，
∴四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ=EF，
∴AG+EF=AG+GQ≥AQ，
∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG=AF，EG=FQ，
∴AF=FQ，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∵AF= 62+22=2 10，
∴AQ=4 5，
∴AG+EF的最小值为4 5．
【解析】(1)过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE(AAS)即可；
(2)①在Rt△APG中，AP=1，PG=6，求出AG= 62+12= 37；
②过点F作FQ//EG，过点G作GQ/​/EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
27.【答案】相等 垂直
【解析】解：(1)∵AB=AC，AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
即：BD=CE，
∵点P是DE的中点，点M是BE的中点，
∴PM=12BD，PM/​/AB，
∴∠PME=∠ABE，
同理可得：MQ=12CE，∠MQE=180°−∠CBE，
∴PM=MQ，∠PMQ=∠PME+∠QME=∠ABE+180°−∠BEC，
∵∠CEB=∠ABE+∠BAC=∠ABE+90°，
∴∠PMQ=∠ABE+180°−(∠ABE+90°)=90°，
故答案为：相等，垂直；
(2)△MPQ是等腰直角三角形，理由如下：
如图1，
延长CE交BD于N交AB于O，
∵∠DAE=∠BAC=90°，、
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AOC=∠BON，
∴∠BNC=∠BAC=90°，
∴∠NBC+∠BCN=90°，
∴∠BNC=90°，
∵PM是△BED的中位线，
∴PM//BD，PM=12BD，
∴∠PME=∠NBM，
同理可得：MQ=12CE，MQ/​/CE，
∴PM=MQ，∠QME=180°−∠BCE，
同理(1)可得：∠PMQ=90°，
∴△PMQ是等腰直角三角形；
(3)如图2，
由(2)知：△PMQ是等腰直角三角形，且直角边PM=12BD，
∴当BD最大时，△PMQ的面积最大，
∵BD≤AB+AD，
∴当B、A、D共线时，BD最大=AB+AD=10，
∴PM=MQ=5，
∴S△PMQ最大=12×52=252．
(1)MP=12BD，MP/​/AB；MQ=12CE，MQ//AC，进一步得出结果；
(2)延长CE交BD于N交AB于O，证明△ACE≌△ABD，从而得出BD=CE，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BNC=90°，结合MP=12BD，MP/​/BD，MQ=12CE，MQ/​/CE，进一步得出结论；
(3)△PMQ是等腰直角三角形，当BD最大时，△PMQ的面积最大，确定当B、A、D共线时，BD最大，进一步求得结果．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率mn
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604