湖北省武汉市第七中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市第七中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，记等差数列的前项和为，若，，则，若在R上可导，，则，下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知点，，若直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
2．设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A．2B．C．-1D．-2
3．记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．64B．80C．96D．120
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A．B．
C．D．MA+MB+MC=0
5．若在R上可导，，则（ ）
A．1B．－1C．－2D．2
6．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A．B．
C．D．
7．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，，且时，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，b+c，也是空间一组基底；
11．设定义在R上的可导函数和满足， ， 为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为周期函数
C．存在最大值且最大值为
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知集合，，则
13．已知函数在点处的切线过点，则的最小值为 .
14．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为 ．
四、解答题（第15题13分，16-17题15分，18-19题17分）
15．已知圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣3＝0．
(1)求过点（3，2）且与圆C相切的直线方程；
(2)若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值．
16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．
(1)求点G到平面PBC的距离．
(2)求平面GBD与平面PBC夹角的大小．
17．在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值．
18．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，数列满足．
(1)求；
(2)求数列的前n项和．
19．设函数，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值．
【详解】依题意可得直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
且直线的斜率为，
所以，解得．
故选：B．
2．B
【分析】由已知及导数的定义求即可.
【详解】由题设，.
故选：B
3．C
【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案.
【详解】设公差为，
则，解得，
故.
故选：C
4．D
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.
【详解】空间向量共面定理：，若不共线，且共面，其充要条件是.
对A，因为，所以四点不共面；
对B，因为，所以四点不共面；
对C，由可得，
因为，所以四点不共面；
对D，由可得，
即，因为，所以四点共面.
故选：D
5．D
【分析】求出导数，再代值计算即可.
【详解】解：由，可得，
所以，解得.
故选：D.
6．C
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
7．B
【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.
【详解】由图①知，，
由图②知，点在椭圆上，
，则，
整理得，解得，
由图③知，在椭圆上，
，则，
整理得，，故选B.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
8．D
【分析】令，由定义得出其单调性，进而得出在上恒成立，再由导数得出的最小值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】令
因为，，且时，都有，
即，，且时，都有，
所以在上单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立．
令，，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即．
故选：D．
9．CD
【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
10．ACD
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，
对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，
对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，
对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，
故选：ACD
11．AD
【分析】A选项，两边求导得到，故，故A正确；B选项，构造，求导得到，从而构造，求导得到，求出，，结合函数奇偶性和方程思想得到，，，，从而，B错误；C选项，利用基本不等式求出最小值为，D选项，计算出.
【详解】A选项，由为奇函数， 即， 对方程两边同时求导，
根据求导法则， 得， 即，
从而为偶函数， 所以A正确.
B选项，由题意知， 构造函数，，
根据求导法则，得，
即，
于是， 构造函数，，根据求导法则，
得.
从而，， 即，，其中为待定常数.
由为奇函数，得. 再由，得，
又， 即，
从而，.
另由为奇函数，为偶函数知，
，
与联立， 解得，，
，.
由于当时，，
故不是周期函数，所以B不正确；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，所以C不正确；
D选项，
，
D正确.
故选：AD
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
12．
【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
13．12
【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程，可推出，将化为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数可得，
则，
故函数在点处的切线方程为，即，
则由题意可得，
故，
当且仅当，即取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
14．/
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
15．(1)y＝2或x＝3；
(2).
【分析】（1）求出圆心与半径r，①当直线斜率不存在时，验证是否满足题意．②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）利用点到直线的距离，结合圆的半径计算弦长即可．
【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，圆心为C（1，0），半径r＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点（3，2）得直线方程为x＝3，与（1，0）的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圆心（1，0）到直线的距离，解得k＝0．
∴直线方程为y＝2．
综上，所求直线方程为y＝2或x＝3．
（2）圆心C（1，0）到直线y＝x+1与的距离，
又半径r＝2，∴弦长|AB|＝．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形的性质，结合线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间点到面距离公式进行求解即可；
（2）利用空间夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为底面为长方形，
所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，
以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系
则
所以重心
设平面PBC的法向量为
所以点G到平面PBC的距离为：
（2），设平面GBD的法向量为
设平面GBD与平面PBC的夹角为，
则．
17．(1)
(2)2
【分析】（1）利用，可得，再将点坐标代入方程，解方程组求得从而可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得，借助根的判别式可得，结合根与系数的关系可得，接下来利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，再利用三角形面积公式和基本不等式进行求解，即可解决问题.
【详解】（1）因为，所以，①因为椭圆C过点，
所以，②由①②解得，所以椭圆的方程为．
（2）设直线l的方程为，联立，
得，所以，
又直线l与椭圆相交，所以，解得，
则，点P到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即时，的面积取得最大值为2．

18．(1)；；
(2)
【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得；
（2）由（1）可知，，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．
当时，，所以，
当时，，所以，
，两式相减可得，，
∴
；
（2）由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为21，
当，数列的前项和为，
设
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，
所以.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出，，写出切线方程；
（2），讨论，，确定的正负找出单调区间.
（3）恒成立，讨论的单调性，由得a的取值范围．
【详解】（1）∵ ∴，，，
∴切线方程为：.
（2），
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
综上所述：
时，的单调递增区间为R；
时，的单调递减区间为，单调递增区间.
（3），
令，即，.
①时，，单调递增，，故不成立，舍去.
②时，恒成立，此时.
③时，由（2）知，，故只需即可，
，
即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
负
0
正
减
极小值
增