湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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命题教师：高一数学组 考试时间：2024年3月25日下午15：00—17：00
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定、、的取值范围，即可比较大小.
【详解】因为，所以弧度为第一象限角，
在第一象限，单调递增，所以；
在第一象限，单调递减，所以，
在第一象限，单调递增，所以；
综上所述，有.
故选：B
2. 若向量的夹角为，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两边平方得，结合条件可得，又由，可得，即可得出答案.
【详解】由两边平方得.
即，也即，所以.
又由，得，即.
所以
故选：A
【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
3. 已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量求出，再求向量与的夹角.
【详解】设向量与的夹角为，与同向的单位向量为，
∵在上的投影向量为，，
∴，
∴， ∴，
所以，
∵，∴，
∴与的夹角为，
故选：C.
4. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.
【详解】设点P距离水面高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为
由，可得，由，可得
由t=0时h=0，可得，则，又，则
则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为
故选：A
5. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形由向量的线性运算可得.
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选：C.
6. 已知为锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求.
【详解】因为，所以，
所以，
又为锐角，，
所以，
解得，
因为为锐角，所以，
又
所以.
故选：A.
7. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可.
【详解】
因为函数的图象关于原点对称，
所以，又因为，所以，
所以；
令，因为，则，即，
的减区间为，
又在区间上是减函数，
所以是区间的子集，
因，所以，，
只有时区间是由负到正，所以有：
，，解得；
因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，
相当于，在上只有一个最小值，
所以有：，，解得；
综上取交集有：，解得.
故选：D
8. 在中，的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法：利用，得出，然后利用辅助角公式以及二倍角公式可得出的最大值；
解法：由积化和差公式得出，然后利用和辅助角公式可得出的最大值.
【详解】法1：
，
当且仅当，时，等号成立，
因此，的最大值为，故选B；
法2：，
当且仅当，时，等号成立，
因此，的最大值为，故选B.
【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列四个等式中正确的是（ ）
A.
B.
C. 已知函数，则的最小正周期是
D. 已知，，则的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据展开化简得到A正确，利用三角恒等变换得到B正确，计算得到C错误，均值不等式等号成立条件不成立，D错误，得到答案.
【详解】，
即，A正确；
，B正确；
，C错误；
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
即，，方程无解，故D错误.
故选：AB.
10. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先计算得到，，再利用
展开得到答案.
【详解】，，
；
，；
当，所以，
当，所以，
故选：CD.
【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换是解题的关键.
11. 对于函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意的，的最大值为1
B. 当时，值域中只有一个元素
C. 当时，在内只有一个零点
D. 当时，的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】
取利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出，从而判断A；由平方关系判断B；由得出，结合函数在图象的交点个数判断C；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.
【详解】对于A项，当时，，，故A错误；
对于B项，，即的值域为，故B正确；
对于C项，由，解得，函数在的图象如下图所示
由图可知，函数在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误；
对于D项，，因为，所以，即的值域为，故D正确；
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题在解决C项时，关键是将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.
三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用将条件整理可得从而可得解.
【详解】，
，
【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“”，属于难题.
13. 若，且，，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先由降幂公式得到，再由同角三角函数关系得到和，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.
【详解】，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数的图象如图所示，M，N是直线与曲线的两个交点，且，则的值为_________
【答案】
【解析】
【分析】由图像确定，设出，结合确定，再代入得到，最后代入求值即可.
【详解】由图像可知，
设，
由可得，
令，可得，
则，
把代入结合五点法可得，
所以，
故答案为：.
四、解答题、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，，且．当为何值时，
（1）向量与互相垂直；
（2）向量与平行.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出，根据向量垂直列式求解；
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小问1详解】
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
若向量与互相垂直，则，
∴，
∴，
∴，解得或.
【小问2详解】
因为，即，
则，所以不共线，
若向量与平行，则存在实数使得成立，
所以且，解得.
16. 已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域．
【详解】函数，
当时,解得：，
因此，函数的单调减区间为．
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
，，
的值域为．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.
17. 已知向量， ，函数
， .
（1）若的最小值为-1，求实数的值；
（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：
（1）∵，
，
∴ ，
∵∴，
，令，
∴∵，对称轴为，
①当即时，当时， ∴舍，
②当即时，当时， ∴，
③当即是，当时， ∴舍，
综上， .
（2）令，即，
∴或，∵， 有四个不同的零点，
∴方程和在上共有四个不同实根，
∴∴∴.
18. 某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示：
（1）根据图象求函数解析式；
（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产时刻的污水排放量；
（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？
【答案】(1) ;(2) ;(3) 至少需推迟小时投产.
【解析】
【分析】(1)由图可得:,利用周期公式可求出,代入求出,即可得函数解析式;
(2) 该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得时刻的排污量:，化简即可得出;
(3) 设乙车间至少比甲车间推迟小时投产,
据题意得，,
化简可得,借助辅助角可知化简即可得出,,借助图象性质即可得解．
【详解】由图可得:
由过点可得:
所求函数的解析式为.
(2)该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为乙车间为,根据题意可得时刻的排污量:
(3)设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，根据题意可得:
由函数周期性知,可得:
所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟小时投产.
【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式,及的图象性质在实际问题中的应用,难度较难.
19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）是 （3）
【解析】
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
【小问1详解】
根据题意可知对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
【小问2详解】
若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
【小问3详解】
假设存在实数，对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为