2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是( )
A. 3cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm
2.若x>y，则下列式子错误的是( )
A. x−2>y−2B. x3>y3C. −x<−yD. −x>−y
3.明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看那一组长度的木棒可以构成直角三角形( )
A. 2，3，4B. 3，4，6C. 6，7，11D. 5，12，13
4.已知点P(m−3,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是( )
A. P>R>S>QB. Q>S>P>RC. S>P>Q>RD. S>P>R>Q
6.等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是( )
A. 40°B. 40°或70°C. 80°或70°D. 70°
7.若不等式组x+a<0x−4<0的解集为x<4，则a的取值范围为( )
A. a≤−4B. a≥−4C. a>−4D. a=−4
8.若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=( )
A. ±1B. 1C. −1D. 0
9.如图，已知点A(1,0)和点M(0,1)，在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
10.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______．
12.“x的一半减去4所得的差不小于15”，用不等式表示______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN/​/BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=15，则线段MN的长为______．
14.如图，在△ABC中，∠B=38°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是______．
15.如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于79”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解一元一次不等式3−(2x−1)≥−2
17.(本小题6分)
解不等式组2(x+3)>x+3x218.(本小题6分)
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：(1)BC=AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
19.(本小题8分)
在等腰△ABC中，三边长分别是a，b，c，并且满足a2−10a+25+ (b−3)2=0，求△ABC的周长．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，BC=3．
(1)在线段AB上求作一点D，使DA=DC(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，连结CD，求AD的长．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE/​/AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：BE=DE；
(2)若DE=2，DF= 3，求BD的长．
22.(本小题9分)
请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程：
因为|x|<3，从如图1所示的数轴上看：大于−3而小于3的数的绝对值是小于3的，
所以|x|<3的解集是−3因为|x|>3，从如图2所示的数轴上看：小于−3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，
所以|x|>3的解集是x<−3或x>3．

解答下面的问题：
(1)不等式|x|0)的解集为______；不等式|x|>a(a>0)的解集为______．
(2)解不等式|x−5|<3；
(3)解不等式|x−3|>5．
23.(本小题10分)
综合与实践
【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱.我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知3件深薯和4件爆皮王番薯进货价为340元，4件深薯和5件爆皮王番薯进货价为440元．
【深入探究】
(1)分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价；
【问题解决】
(2)某特产店计划用不超过10440元购进深薯、爆皮王番薯共200件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的32，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件深薯售价为90元，每件爆皮王番薯售价为65元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
24.(本小题12分)
如图1，P，Q分别是边长为6cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，运动的时间为t s，直线AQ，CP交于点M．
(1)求∠CMQ的度数．
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，求∠CMQ的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，
∴斜边长为12cm．
故选：D．
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．
本题主要考查直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵x>y，∴x−2>y−2，该选项正确，不合题意；
B、∵x>y，∴x3>y3，该选项正确，不合题意；
C、∵x>y，∴−x<−y，该选项正确，不合题意；
D、∵x>y，∴−x<−y，该选项错误，符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐项判断即可求解，
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵32+22=13，42=16，
∴32+22≠42，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵32+42=25，62=36，
∴32+42≠62，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+72=85，112=121，
∴62+72≠112，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵点P(m−3,m−1)在第二象限，
∴m−3<0m−1>0，
解得：1故选：D．
先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：观察前两幅图易发现S>P>R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R>Q，
所以S>P>R>Q．
故选：D．
由三个图分别可以得到S>P ①P>R ②P+R>Q+S ③，由①式可得Q+S>Q+P，代入③式得到P+R>Q+P，所以R>Q.所以它们的大小关系为S>P>R>Q．
本题考查了不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】
解：①当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角=180°−40°2=70°；
②当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选B．
7.【答案】A
【解析】解：由不等式x+a<0得x<−a，由不等式x−4<0得x<4，
∵不等式组x+a<0x−4<0的解集为x<4，
∴−a≥4，
解得：a≤−4，
故选：A．
先求出第一个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定a的取值范围．
本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|=1，
解得：m=1，
故选B．
根据已知和一元一次不等式的定义得出m+1≠0，|m|=1，求出即可．
本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出m+1≠0，|m|=1．
9.【答案】B
【解析】解：∵点A(1,0)，点M(0,1)，
∴OA=OM=1，AM= 2，
∵点P在x轴上，△AMP为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①当AM为底边时，则PA=PM，
∵OA=OM=1，
∴当点P与点O重合时，△PAM为等腰三角形；
∴点P的坐标为(0,0)；
②当AM为腰，点A为顶点时，
以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A=P2A=AM= 2，如图1所示：

此时△P1AM和△P2AM均为等腰三角形，点P1的坐标为(− 2+1,0)，点P2的坐标为( 2+1,0)；
③当AM为腰，点M为顶点时，
以点M为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P，则PM=AM= 2，如图2所示：

此时△PAM为等腰三角形，点P的坐标为(−1,0)．
综上所述：使得△AMP为等腰三角形时，则满足条件的点P共有4个．
故选：B．
由点A(1,0)，点M(0,1)得OA=OM=1，AM= 2，再分三种情况讨论如下：①当AM为底边时，则PA=PM，由OA=OM=1得此时当点P与点O重合；②当AM为腰点A为顶点时，以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A=P2A=AM= 2，点P1(− 2+1,0)，点P2( 2+1,0)；③当AM为腰点M为顶点时，以点M为圆心以AM为半径画弧交x轴于P，则PM=AM= 2，点P(−1,0)，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是解决问题的易错点．
10.【答案】A
【解析】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；
点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选A．
根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
11.【答案】“面积相等的两个三角形全等”
【解析】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，
故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】12x−4≥15
【解析】解：“x的一半减去4所得的差不小于15”，用不等式表示：12x−4≥15；
故答案为：12x−4≥15．
根据题干中的关键词“不小于”即为“≥”，直接列不等式即可．
本题主要考查不等关系的表示，抓住题中的关键词是解决本题的关键
13.【答案】15
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，
∵MN/​/BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，
∴ME=MB，NE=NC，
∴ME+NE=MB+NC=15，
即MN=15，
故答案为：15．
由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，进而得到∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，即可得ME=MB，NE=NC，故可得ME+NE=MB+NC=15，即可求解，
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，掌握平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】28°
【解析】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=38°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=76°，∠ADB=180°−∠ADC=104°，
将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE=∠ADB=104°，
∴∠CDE=∠ADE−∠ADC=104°−76°=28°．
故答案为：28°．
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD=38°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC=76°，∠ADB=104°，根据翻折的性质求得∠ADE=104°，进而求得∠CDE的度数．
此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
15.【答案】19【解析】解：由题意可得，2x+1≤792(2x+1)+1>79，
解得19故答案为：19根据程序操作进行了两次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运行程序正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
16.【答案】解：去括号得，3−2x+1≥−2，
移项得，−2x≥−2−3−1，
合并同类项得，−2x≥−6，
系数化为1得，x≤3．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式是步骤是关键．
17.【答案】解：2(x+3)>x+3①x2解①得，x>−3，
解②得，x<43，
∴不等式组的解集为−3∴不等式组的整数解为：−2，−1，0，1，
在数轴上表示不等式组的解集为：

【解析】先分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即得到不等式组的解集，进而可得不等式组的整数解，再根据解集在数轴上表示即可．
本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=ABAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴BC=AD;
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【解析】(1)根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
19.【答案】解：∵a2−10a+25+ (b−3)2=0，
∴(a−5)2+|b−3|=0，
又∵(a−5)2≥0，|b−3|≥0，
∴a−5=0，b−3=0，
∴a=5，b=3，
又∵a，b，c分别是等腰△ABC的边，
①当a=c=5时，5+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=5+2+5=12，
②当b=c=3时，3+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=3+2+3=8，
综上分析可知，△ABC的周长是12或8．
【解析】先利用非负数的性质求解a，b的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20.【答案】解：(1)如图，点D就是所求的点；

(2)由(1)的作法可知，DE是边AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA=20°，
∴∠CDB=40°，
∵∠B=40°，
∴∠B=∠CDB，
∴CD=BC=3，
∴AD=3．

【解析】(1)作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质，可知DA=DC；
(2)根据线段垂直平分线的性质，可知DA=DC，故∠A=∠DCA=20°，因此∠CDB=40°，根据等腰三角形的判定，可得CD=BC=3，从而可得答案．
本题考查了用直尺和圆规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BD分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE//AB，
∴∠EDB=∠ABD．
∴∠CBD=∠EDB．
∴DE=EB．
(2)解：∵∠C=90°，
∴DC⊥BC．
又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴CD=DF= 3．
在Rt△CDE中，
CE= DE2−CD2=1．
∵DE=EB=2，
∴BC=CE+EB=3．
在Rt△CDB中，
BD= CD2+BC2= 3+9=2 3．
【解析】(1)利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD=∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；
(2)利用角平分线的性质先得到CD=DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．
本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．
22.【答案】−aa或x<−a
【解析】解：(1)不等式|x|0)的解集为−a不等式|x|>a(a>0)的解集为x>a或x<−a．
(2)|x−5|<3，
∴−3∴2(3)|x−3|>5，
∴x−3>5或x−3<−5，
∴x>8或x<−2．
(1)由于|x|<3的解集是−33的解集是x<−3或x>3，根据它们即可确定|x|0)和|x|>a(a>0)的解集；
(2)把x−5当做一个整体，首先利用(1)的结论可以求出x−5的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；
(3)利用和(2)同样方法即可求出不等式的解集．
此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
23.【答案】解：(1)设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y，
由题意可得，3x+4y=3404x+5y=440，
解得x=60y=40，
答：每件深薯的进价为60，每件爆皮王番薯的进价为40；
(2)设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯(200−a)件，
由题意可得，60a+40(200−a)≤10440a≥32(200−a)，
解得120≤a≤122，
∵a为整数，
∴该特产店有三种进货方案：
当a=120时，200−a=80，
即购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件；
当a=121时，200−a=79，
即购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件；
当a=122时，200−a=78，
即购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件；
∴该特产店有三种进货方案：购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件；购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件；购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件；
(3)设总利润为w元，
依题意可得，w=(90−60)a+(65−40)(200−a)=5a+5000，
∵k=5>0，
∴w随a的增大而增大，
又∵120≤a≤122，
∴a=122，w取最大值，最大利润w=5×122+5000=5610元，
答：购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为5610元．
【解析】(1)设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯(200−a)件，根据题意，列出一元一次不等式组求出a的取值范围，由a的取值范围即可求解；
(3)设总利润为w元，求出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出方程组、不等式组及一次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
(2)解：由题意时间为t秒，则AP=BQ=t cm，PB=(6−t)cm，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6−t=2t，
∴t=2；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2(6−t)，
∴t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；
(3)解：在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，AC=BC
∴△PBC≌△QCA(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°−60°=120°．
【解析】(1)先证明△ABQ≌△CAP，从而得到∠BAQ=∠ACP，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
(2)由题意时间为t秒，则AP=BQ=t，PB=6−t，①当∠PQB=90°时，②当∠BPQ=90°时，列方程得到结果；
(3)先证明△ACQ≌△CBP，从而得到∠CAQ=∠BCP然后依据∠CAM+∠ACM=∠BCP+∠ACM求解即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．