2023-2024学年贵州省铜仁市印江县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省铜仁市印江县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，则∠A的度数是( )
A. 60°B. 30°C. 50°D. 40°
2.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 两个锐角对应相等B. 一个锐角和斜边对应相等
C. 两条直角边对应相等D. 一条直角边和斜边对应相等
3.下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是
( )
A. 6，8，10B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，12，13
4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 70°
5.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 83 3 mB. 4 mC. 4 3 mD. 8 m
6.如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是( )
A. 4.2
B. 5.15
C. 3.69
D. 8
7.如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= 5，则图中阴影部分的面积为( )
A. 52
B. 254
C. 252
D. 5
8.如图，五边形ABCDE的一个内角∠A=110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于( )
A. 360°
B. 290°
C. 270°
D. 250°
9.如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1=30°，那么∠2=( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，直线m垂直平分AC，点P为直线m上的动点，则PB+PC的最小值是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
11.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB=6，AD=8，则EF的长度为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
12.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共个．( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.四边形ABCD中，AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 (横线只需填一个你认为合适的条件即可)
14.若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 ．
15.在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，△BCD为等边三角形，且AD=2，则四边形ABCD的周长为______．
16.如图，△ABC中，AC=BC=5，AB=6，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画满足条件的图形．
(1)在图①中，画一个等腰直角三角形，使它的面积是4；
(2)在图②中，画一个平行四边形，使它的面积是6．
18.(本小题10分)
如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
19.(本小题10分)
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对角线BD上的两个点，且BP=DQ.求证：PA=QC．
20.(本小题10分)
如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13．
(1)求AB的长；
(2)试判断△ABD的形状，并求四边形ACBD面积．
21.(本小题10分)
如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
(2)求M点与小岛P的距离．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数．
23.(本小题12分)
如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，AE/​/BF．
求证：(1)△ADE≌△BCF；
(2)四边形DECF是平行四边形．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
(1)若B，C在直线DE的同侧(如图①所示)，且AD=CE.求证：
①AB⊥AC；
②DE=BD+CE．
(2)若B，C在直线DE的两侧(如图②所示)，且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
25.(本小题14分)
如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°−∠B=30°．
故选：B．
根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互余．
2.【答案】A
【解析】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．
本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、42+52≠62，故不能组成直角三角形，符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意．
故选C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=20°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．
故选：B．
根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠DCA的度数是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．
过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】
解：过C作CM⊥AB于M，
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=12BC=4m，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH=DE=4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
故选：C．
过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】
解：S阴影=12AC2+12BC2+12AB2=12(AB2+AC2+BC2)，
∵AB2=AC2+BC2=5，
∴AB2+AC2+BC2=10，
∴S阴影=12×10=5．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角与外角，关键是得出∠A的外角度数及外角和为360°．
根据∠A=110°，所以∠A的外角为180°−110°=70°，用五边形的外角和减去70°即可解答．
【解答】
解：∵∠A=110°，
∴∠A的外角为180°−110°=70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°−70°=290°，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE=45°，
∴∠NHB=∠FHE=45°，
∵∠1=30°，
∴∠HNB=180°−∠1−∠NHB=105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，
∴∠2+∠HNB=180°，
∴∠2=75°，
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE=45°，求出∠NHB=∠FHE=45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB=105°，根据平行四边形的性质得出CD/​/AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB=180°，带哦求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出CD/​/AB是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵直线m垂直平分AC，
∴点A与C关于直线m对称，
设直线m与AB的交点为D，
当点P与D重合时，PB+PC的值最小，此时PA=PC则PB+PC最小值是AB的长度，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∴PB+PC的最小值是2，
故选：C．
根据直线m垂直平分AC，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与AB的交点为D，当点P与D重合时，PB+PC的值最小，且最小值是AB的长度，根据直角三角形的性质得到结论．
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，含30度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是找到点P所在的位置．
11.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，BC=AD，AD//BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，
∴AB=AF=6，DC=DE=6，
∴EF=AF+DE−AD=6+6−AD=4．
故选：A．
先证明AB=AE=6，DC=DF，再根据EF=AF+DE−AD即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】解：根据题意可得以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故选：D．
如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．
本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点．
13.【答案】AD=BC(答案不唯一)
【解析】解：根据平行四边形的判定方法
需要增加的条件是AD=BC或AB/​/CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．
此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14.【答案】12
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出边数．
首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】
解：∵正多边形的一个内角等于150°，
∴它的外角是：180°−150°=30°，
∴它的边数是：360°÷30°=12．
故答案为：12．
15.【答案】2 3+10
【解析】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC=60°，DB=BC=CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD=30°，AD=2
∴DB=4，
∴CD=BC=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= BD2−AD2= 42−22=2 3，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=2 3+4+4+2=2 3+10，
故答案为：2 3+10．
根据等边三角形的性质得∠DBC=60°，从而得∠ABD=30°，再由含30°的直角三角形的性质解答．
本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是注意含有30°角的直角三角形的性质使用．
16.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，正确的找出点E，F的位置是解题的关键，过B作BF⊥AC于F，交CD于E，则BF的长即为AE+EF的最小值，根据等腰三角形的性质得到AD=12AB=3，根据勾股定理得到CD=4，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】
解：∵AC=BC=5，CD为△ABC的中线，
所以CD为AB的垂直平分线，
所以AE=BE，
过B作BF⊥AC于F，交CD于E，
则BF的长即为AE+EF的最小值，
∴AD=12AB=3，
∴CD=4，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BF，
∴BF=6×45=245，
∴AE+EF的最小值为245，
故答案为：245．
17.【答案】解：(1)等腰直角三角形的直角边长为 22+22=2 2，
其面积为：12×2 2×2 2=4，
故一个直角边长为2 2的等腰三角形即满足题意，如图：

(2)平行四边形的面积为12×底×高=6，故底为3，高为2的平行四边形即满足题意，如图：

【解析】(1)根据三角形的面积公式可得画一个直角边长为2 2的等腰三角形即可；
(2)根据平行四边形的面积公式可得画一个底为3，高为2的平行四边形即可．
本题考查等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE．
∵AD/​/BC，∠A=90°，
∴∠B=90°．
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，
AB=DC∠ABP=∠CDQBP=DQ，
∴△ABP≌△CDQ(SAS)，
∴PA=QC．
【解析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠ABP=∠CDQ，再利用SAS证明△ABP≌△CDQ即可证明PA=QC．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5；
(2)△ABD是直角三角形，理由如下：
由(1)得AB=5，
∵AD=12，BD=13，52+122=132，
∴AB2+AD2=BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠BAD=90°；
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD
=12AC⋅BC+12AB⋅AD
=12×3×4+12×5×12
=36．
【解析】(1)利用勾股定理求解即可；
(2)根据(1)所求，可得到AB2+AD2=BD2，则由勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠BAD=90°，再根据S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD进行求解即可．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的运算是关键．
21.【答案】解：(1)如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险，
理由：过点P作PQ⊥MN于Q，
∴∠PQN=90°，
∵∠PMN=30°，∠PNQ=60°，
∴∠MPN=∠PNQ−∠PMN=60°−30°=30°，
∴∠MPN=∠PMN，
∴PN=MN=16海里，
∴NQ=12PN=8(海里)，
∴PQ= PN2−QN2− 162−82=8 3(海里)，
∵8 3>12，
∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险；
(2)在Rt△PMQ中，∵∠PQM=90°，∠PMQ=30°，
∴PM=2PQ=2×8 3=16 3(海里)，
答：M点与小岛P的距离为16 3海里．
【解析】(1)过点P作PQ⊥MN于Q，得到∠PQN=90°，求得∠MPN=∠PNQ−∠PMN=60°−30°=30°，根据等腰三角形的判定定理得到PN=MN=16海里，根据勾股定理得到PQ= PN2−QN2− 162−82=8 3(海里)，于是得到结论；(2)根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，方向角的定义，始乱终弃勾股定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE=DF；
(2)解：∵∠BDE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=80°．
【解析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
(1)根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，由于∠B=∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
(2)根据直角三角形的性质求出∠B=50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
23.【答案】证明：(1)∵AC=BD，
∴AC−CD=BD−CD，
即AD=BC，
∵AE/​/BF，
∴∠A=∠B，
在△ADE与△BCF中，
AD=BC∠A=∠BAE=BF，
∴△ADE≌△BCF(SAS)；
(2)由(1)得：△ADE≌△BCF，
∴DE=CF，∠ADE=∠BCF，
∵∠ADE+∠EDC=180°，∠BCF+∠FCD=180°，
∴∠EDC=∠FCD，
∴DE/​/CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
【解析】(1)由SAS证明△ADE≌△BCF即可；
(2)由全等三角形的性质得DE=CF，∠ADE=∠BCF，则根据等角的补角相等可得∠EDC=∠FCD，即DE/​/CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：①∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
AB=ACAD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴∠DBA=∠CAE，AE=BD，
∵∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°−(∠BAD+∠CAE)=90°，
∴AB⊥AC；
②∵AD=CE，AE=BD，
∴DE=AD+AE=CE+BD；
(2)解：结论：AB⊥AC．
理由：同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA．
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【解析】(1)①由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
②利用全等三角形的性质解决问题即可；
(2)同(1)，先证Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD( SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴AE= AD2+DE2= 9+4= 13，
∴BD= 13；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
在Rt△ACF中，AF= 32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2× 32= 32，
∴CF=12AC=1×12=12，
FD=CD−CF=2−12=32，
在Rt△AFD中，AD2=AF2+FD2=( 32)2+(32)2=3，
∴AD= 3．
【解析】(1)依据等式的性质可证明∠BCD=∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
(2)由(1)知：BD=AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．