专题八 平面直角坐标系与函数——2024届中考数学一轮复习进阶讲义

这是一份专题八 平面直角坐标系与函数——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共23页。试卷主要包含了平面直角坐标系的定义，点的坐标特征，点的旋转，自变量的取值范围等内容，欢迎下载使用。

知识复习
讲解一：平面直角坐标系中点的坐标特征
一、平面直角坐标系的定义
1.
【注意】
（1）平面直角坐标系中两条数轴互相垂直，且原点重合；
（2）一般情况下，平面直角坐标系中的两条坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2.象限：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.
【注意】
（1）坐标轴上的点不属于任何象限.
（2）象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.
二、点的坐标特征
【注意】
（1）坐标轴上的点不属于任何象限
（2）对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序数对（点的坐标）和它对应
命题精练
命题形式1 点的坐标特征
1.【2023.浙江丽水】在平面直角坐标系中，点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案：B
解析：，点在第二象限.
2.【2023.四川巴中】已知a为正整数，点在第一象限，则___________.
答案：1
解析：点在第一象限，，，又为正整数，.
3.【2023.黑龙江大庆】已知，.则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：，，，.∵小手盖住的点在第四象限，∴小手盖住的点的坐标可能是.
知识复习
讲解二：点的坐标变换
一、点的平移
口诀：右加左减，上加下减（左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变）
二、点的对称
注：关于轴对称，不变，变号；
关于轴对称，不变，变号；
关于原点对称，都变号.
三、点的旋转
点绕点逆时针旋转所得对应点的坐标为
命题精练
命题形式2 点的坐标变换
4.【2023.江苏宿迁】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________．
答案：
解析：要得到点关于轴对称的点的坐标，将纵坐标变为相反数，横坐标不变，故对称点坐标是.故本题正确答案为.
5.【2023.浙江杭州】在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则( )
A.2B.3C.4D.5
答案：C
解析：把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，点，点B的横坐标和纵坐标相等，，.
6.【2023.湖北黄石】如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为( )
A.-3B.-1C.1D.3
答案：B
解析：线段由线段平移得到，
且，，，，
.故选B
讲解三：点到坐标轴、原点的距离
知识复习
坐标系中的距离
（1）点到坐标轴及原点的距离
①到轴的距离；
②到轴的距离；
③到原点的距离.
（2）两点间的距离（设）
①轴，；
②轴，；
③为任意两点，
命题精练
命题形式3 坐标与图形
7.【2023.山东临沂】某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：根据关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，恒左边互为相反数可知，点B的坐标为，故选A.
8.【2023.四川甘孜】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，则点C的坐标为______.
答案：
解析：点A的坐标是，
，
四边形为菱形，
，，
则点C的坐标为.
故答案为：.
讲解四：函数及其相关概念
知识复习
一、函数的相关概念
【注意】
1.每一个值对应唯一一个值，但一个值不一定对应唯一的值.
2.判断是否为的函数，只需看的值确定时，是否有唯一确定的值与之对应.
二、函数的表示方法
三、函数图象的画法
用描点法画函数图象的一般步骤如下表：
四、自变量的取值范围
命题精练
命题形式4 函数自变量的取值范围
9.【2023.云南】函数的自变量x的取值范围是________.
答案：
10.【2022.辽宁丹东】在函数中，自变量x的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
答案：D
解析：由题意得：且，
解得：且.
故选：D.
命题形式5 函数图象的判断
11.【2023.浙江舟山】下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，故选D.
12.【2023.江苏扬州】函数的大致图像是( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：函数的自变量x的取值范围为，由此可排除B，C选项.易知函数的图象关于y轴对称，故选A.
13.【2023.河北】如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且.现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和.若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是( )
A.B.
C.D.
答案：D
解析：当两个机器人分别沿和沿运动时，y随x的增大而减小；当两个机器人分别沿和沿运动时，y等于圆的直径；当两个机器人分别沿和沿运动时，y随x的增大而增大.故选D.
14.【2023.黑龙江绥化】如图，在菱形中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：如图所示，连接，过点B作于点E，
当时，M在上，
菱形中，，，
，则是等边三角形，
，
，，
，又
，
，
当时，M在上，
，
综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，
函数图象是直线的一部分，故选A.
15.【2023.四川攀枝花】如图，正方形的边长为4，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是( )
A.B.
C.D.
答案：D
解析：当P在上，即时，，当时，；
当P在上，即时，，
当P在上，即时，；
观察4个选项，符合题意的为D；故选D.
命题形式6 函数图象的分析
16.【2023.江苏镇江】小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间的函数关系.已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a的值为( )
A.46B.48C.50D.52
答案：D
解析：设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，
根据题意得：，
解得：，故选D.
17.【2023.青海】生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A.酒精浓度越大，心率越高
B.酒精对这种鱼类的心率没有影响
C.当酒精浓度是时，心率是168次/分
D.心率与酒精浓度是反比例函数关系
答案：C
解析：由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误.故选C.
18.【2023.浙江温州】【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为( )
A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米
答案：B
解析：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得：，
游玩行走的速度为（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为，
，
路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）；
故选B.
19.【2023.贵州】今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.小星家离黄果树景点的路程为
B.小星从家出发第1小时的平均速度为
C.小星从家出发2小时离景点的路程为
D.小星从家到黄果树景点的时间共用了
答案：D
解析：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意；
时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意；
时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意；
小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意；
故选D.
20.【2023.四川遂宁】如图，在中，，，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：如图所示，过点C作于D，连接，
在中，，，，
，
是直角三角形，即，
，
，
；
，，，
四边形是矩形，
，
当最小时，即最小，
当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
点E的坐标为，故选C.
21.【2023.湖北随州】甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：
①A，B两城相距；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；
③乙车先出发，先到达B城；
④甲车在追上乙车，
正确的有( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
答案：D
解析：逐项分析如下.
故选D.
22.【2023.山东烟台】如图（1），在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图（2）是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则的高CG的长为_______.
答案：
解析：由题图易知，.如图，过点A作于点Q.当点P，Q重合时，AP最短.题图（2）中，点F为曲线DE的最低点，，，.，.
命题点
命题形式
命题热度
命题特点
位置的确定
1.点的坐标特征
☆
本专题多以选择题和填空题的形式出现，考查学生观察与理解、分析与判断的能力，其中函数图象的判断与分析是近年来中考的命题热点
2.点的坐标变换
☆☆
3.坐标与图形
☆☆☆
函数的表示
4.函数自变量的取值范围
☆
5.函数图像的判断
☆☆
6.函数图像的分析
☆☆
7.函数解析式的确定
☆
平面直角坐标系
平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
横轴：水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向.
纵轴：竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向.
原点：两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
类别
点的位置
特征
图示
各象限内的点
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
坐标轴上的点
x轴
y轴
原点
与坐标轴平行的直线上的点
与x轴平行
与y轴平行
各象限角平分线上的点
第一、三象限
第二、四象限
平移前的点的坐标
平移方式
平移后点的坐标
向左平移a个单位长度
向右平移a个单位长度
向上平移a个单位长度
向下平移a个单位长度
对称前的坐标
对称方式
对称后点的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
关于直线对称
关于直线对称
类别
定义
常量
在某一变化过程中，数值固定不变的量
变量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量
函数
对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与它对应，那么称是的函数，是自变量
函数值
当时，，那么称叫做当自变量的值为时的函数值
方法
定义
解析式法
用关于自变量的代数式表示函数与自变量间的关系
列表法
把自变量的一系列值与对应的函数值列成一个表格
图象法
用图象表示函数的关系
步骤
具体操作方法
列表
表中给出一些自变量的值与对应的函数值
描点
在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点
连线
按照自变量由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来
整式型
自变量的取值范围：任意实数，如中，为任意实数
分式型
自变量的取值范围：分母不为0，如中，
二次根式型
自变量的取值范围：被开方数大于等于0，如中，
分式二次根式型
自变量的取值范围：分母不为0且被开方数大于等于0，如中，；中，且
实际问题中
自变量的取值范围：使实际问题有意义
分析
正误
①
结合题图可知，A，B两城相距.
√
②
甲车的平均速度是，
乙车的平均速度是.
×
③
结合题图可知，乙车先出发，后到达B城.
×
④
结合题图可知，在9：30两车离开A城的距离相等，故甲车在9：30追上乙车.
√