专题九 一次函数——2024届中考数学一轮复习进阶讲义

这是一份专题九 一次函数——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共29页。试卷主要包含了正比例函数的定义，正比例函数的图象与性质，一次函数图象间的位置关系等内容，欢迎下载使用。


知识复习
讲解一：正比例函数及其图象
一、正比例函数的定义
形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中是比例系数.
二、正比例函数的图象与性质
知识复习
讲解二：一次函数及其图象
一、一次函数的定义
形如（是常数，）的函数叫做一次函数.当时，，所以正比例函数是特殊的一次函数，其中是自变量，是因变量.
【注意】
1.在一次函数中，，可以为0
2.正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
二、一次函数的图象与性质
【注意】
1.直线与轴的交点坐标；与轴的交点坐标为
2.确定的符号：一次函数图象从左至右呈上升趋势，即当随的增大而增大时，；反之，
3.确定的符号：一次函数图象与轴的交点在正半轴时，；反之，
三、一次函数图象间的位置关系
命题精练
命题形式1 一次函数的系数与象限
1.【2023.陕西A】在同一平面直角坐标系中，函数和（a为常数，）的图象可能是( )
A.B.
C.D.
答案：D
解析：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限.故选D.
2.【2023.山东临沂】对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：一次函数的图象不经过第二象限，，，选项A中的结论正确，，选项B中的结论正确.一次函数的图象经过点，，则，，故选项C中的结论错误.，，故选项D中的结论正确.
命题形式2 一次函数的增减性
3.【2023.湖南长沙】下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，对比各选项，可知选D.
4.【2023.甘肃兰州】一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是( )
A.2B.1C.-1D.-2
答案：D
解析：一次函数的函数值y随x的增大而减小，.当时，，故选D.
讲解三：一次函数的图象变换
知识复习
一、一次函数图象的平移
二、一次函数图象的对称
命题精练
命题形式3 一次函数的图象变换
5.【2021.陕西】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( )
A.-5B.5C.-6D.6
答案：A
解析：将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象的解析式为，即.
平移后得到的是正比例函数的图象，
，解得.
6.【2023.天津】若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为________.
答案：5
解析：平移后的直线的解析式为，将代入，得.
讲解四：一次函数解析式的确定
知识复习
用待定系数法求一次函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.下表中以过点与确定一次函数的解析式为例：
命题精练
命题形式4 一次函数解析式的确定
7.【2023.湖北鄂州】象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
过点和，
，
解得，
经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
故选A.
8.【2023.重庆A】如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值.
答案：(1)当时，；当时，
(2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或4.5
解析：（1）当时，
连接，
由题意得，，
是等边三角形，
；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随t的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或4.5.
9.【2023.北京】在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C.
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值.
答案：(1)
(2)2
解析：(1)把，分别代入，得解得
该函数的解析式为.
把代入，得，解得，
点C的坐标为.
（2）.
10.【2023.吉林】甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示.
（1）甲组比乙组多挖掘了__________天.
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
答案：（1）30
（2）
（3）10天
解析：（1）略
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将，分别代入，
得
解得
乙组停工后y关于x的函数解析式为.
（3）已知甲组挖掘隧道的速度m/天，乙组挖掘隧道的速度（m/天），
，解得，，
当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工10天.
11.【2023.广西】【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤.设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定l和a的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.
任务二：确定刻线的位置.
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）5厘米
解析：（1）由题意得：，，，
（2）由题意得：，.
（3），.
将代入，得，
解得，.
（4）将，，，代入，
得，.
（5）由（4）可知，当时，则有；
当时，则有；当时，则有；
当时，则有；当时，则有；
当时，则有；当时，则有；
当时，则有；当时，则有；
当时，则有；当时，则有；
相邻刻线间的距离为5厘米.
12.【2023.河北】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式.
例：点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点.
（1）设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点.其中，按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为，在图中直接画出的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线，，上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式.
答案：（1）直线的解析式为；将直线向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为
（2）①，
②见解析
（3）
解析：（1）设直线的解析式为，
把，分别代入，
得解得
直线的解析式为.
将直线向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为.
（2）①点P从原点O出发连续移动10次，按照甲方式移动了m次，
点P按照乙方式移动了次，
，.
②由①知，，，
，，
无论m怎么变化，点Q都在直线上.
直线的图象如图所示.
（3）a，b，c之间的关系式为.
解析：点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，且分别在直线，，上，
，，.
设直线AB的解析式为，
把点A，B的坐标分别代入，
得
解得
直线AB的解析式为.
A，B，C三点始终在一条直线上，
，
整理，得.
讲解五：一次函数与方程（组）、不等式的关系
知识复习
一、一次函数与方程（组）的关系
二、一次函数与不等式的关系
知识延伸：分段函数
自变量在不同的取值范围内，其解析式也不同的函数叫做分段函数.在实际问题中，常用到分段函数的有出租车计费问题、行程问题、阶梯水电费问题等，解答时需根据自变量的取值范围分段讨论.
下表中以确定下图的函数解析式为例：
【注意】分段函数由多个解析式组成，写分段函数解析式时必须带上自变量的取值范围.
命题精练
命题形式5 一次函数与方程（组）结合
13.如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为_____.
答案：
解析：一次函数与的图象交于点，
，
解得：，
，
二元一次方程组的解为，
故答案为：.
命题形式6 一次函数与不等式结合
14.【2023.辽宁丹东】如图，直线过点，，则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：，
当时，，
故选：B.
讲解六：一次函数的实际应用
知识复习
命题精练
命题形式7 最优方案问题
15.【2023.四川成都】2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价;
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少?并求出最少总费用.
答案：（1）A种食材的单价是38元，B种食材的单价是30元
（2）当A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，最少总费用为1272元
解析：（1）设A，B两种食材的单价分别为x元、y元，
根据题意，得
解得
答：A种食材的单价是38元，B种食材的单价是30元.
（2）设该小吃店购买B种食材a千克，则购买A种食材千克，
根据题意，得，
解得.
设总费用为w元，
根据题意，得.
，w随a的增大而减小，
当时，总费用最少，最少总费用为（元）.
答：当A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，最少总费用为1272元.
16.【2023.新疆】随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
（1）当购物金额为80元时，选择超市________（填“A”或“B”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择超市________（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为x（）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：）.若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明.
答案：（1）A；B
（2）见解析
（3）不一定
解析：（1）略
（2）.
当时，列方程，得，解得.
综上，当时，选择A超市更省钱；
当时，选择B超市更省钱；
当时，选择A，B超市费用一样；
当时，选择A超市更省钱.
（3）不一定.
例如：当时，优惠率为，
当时，优惠率为，
可见优惠率随着购物金额的增加反而下降.
命题形式8 最值问题
17.【2023.山东青岛】某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元?
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元.
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利?请说明理由.
答案：（1）2880元
（2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
解析：（1）设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
全部售完获利（元）.
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫件，根据题意，即，
，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
，一次函数W随m的增大而减小，
当时，W取最大值，（元），
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利.
18.【湖北襄阳】在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下.每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团体消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折.每支肉串的售价为3.5元.
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支.在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值.
答案：（1）m的值为3，n的值为2
（2）
（3）0.5
解析：（1）根据表格可得：，
解得：，
m的值为3，n的值为2；
（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令，
，
，
，
，
，
W随x的增大而减小，
当时，W的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
a的最大值是0.5.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
一次函数的图象与性质
1.一次函数的系数与象限
☆☆☆
本专题中选择题和填空题多考查一次函数的图象与性质及一次函数解析式的确定，解答题多考查一次函数的实际应用和一次函数的综合运用问题，常与方程（组）和不等式（组）结合，体现了数形结合、分类讨论的数学思想
2.一次函数的增减性
☆☆☆
3.一次函数的图象变换
☆☆
4.一次函数解析式的确定
☆☆☆
一次函数与方程（组）、不等式（组）结合
5.一次函数与方程（组）结合
☆☆
6.一次函数与不等式（组）结合
☆☆
一次函数的实际应用
7.最优方案问题
☆☆
8.最值问题
☆☆
9.行程问题
☆☆
一次函数与几何综合
10.一次函数与几何结合
☆☆☆
的取值范围
象限
图象
增减性
一、三
随的增大而增大
二、四
随的增大而减小
的取值范围
的取值范围
象限
图象
增减性
一、二、三
随的增大而增大
一、三、四
一、二、四
随的增大而减小
二、三、四
类别
图示
关系
平行
相交
垂直
平移前的解析式
平移方式
平移后的解析式
向左平移m个单位长度
向右平移m个单位长度
向上平移m个单位长度
向下平移m个单位长度
对称前的解析式
对称方式
对称后的解析式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
步骤
具体操作方法
举例
①设
设一次函数的解析式
设解析式为
②代
把点的坐标代入解析式
代入坐标，得
③解
解方程（组），求出
解方程组，得
④定
确定函数解析式
故解析式为
方程（组）
方程：
方程组：
一次函数
；
图象
关系
方程的解是直线与轴交点（）的横坐标，即
方程组的解是直线与直线交点（）的横、纵坐标，即
不等式
一次函数
；
图象
关系
不等式的解集是直线在轴上方（）所对应的的取值范围，即
不等式的解集是直线在下方所对应的的取值范围，即
类别
举例
①找自变量的分界值
为该函数自变量的分界值
②分别求每段函数的解析式
当时，；
当时，
③确定分段函数解析式
故解析式为
判断等量关系为一次函数的情况
（1）函数图象是直线（或直线的一部分）；
（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数；
（3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位
常见类型
（1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案；
（2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值.
注意：根据实际情况确定变量的取值范围
A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000