专题五 一元二次方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义

这是一份专题五 一元二次方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共22页。试卷主要包含了一元二次方程的定义，一元二次方程的解法等内容，欢迎下载使用。

讲解一：一元二次方程及其解法
知识复习
一、一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一般形式
1.是一元二次方程的前提为
2.判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程
二、一元二次方程的解法
使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法有以下四种：
1.将方程化为一般形式后，若，则方程无解.
2.用配方法时，将二次项系数化为1后，若一次项系数为偶数，则优先考虑运用配方法.
（求解方法掌握不牢的，可以看下面的详细讲解）
直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
2.方程的根
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根
（2）当时，方程有两个相等的实数根
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
【注意】
（1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.
（2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根.
（3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即.
因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项：将方程化为一般式；
（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解.
【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根.
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
配方法解一元二次方程
1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤
【注意】
配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.
（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.
（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即
；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.
【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
命题精练
命题形式1 一元二次方程及其解法
1.【2023.新疆】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：一元二次方程，移项，得.等式两边同时加9，得.配方，得.故选D.
2.【2023.安徽】【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“”的个数为____________；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________.
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n个图案中“”的个数的2倍.
答案：（1）
（2）
（3）11
解析：（1）第1个图案中有个，第2个图案中有个，
第3个图案中有个，第4个图案中有个，……
第n个图案中有个，故答案为：.
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为.
（3）由（2），得，令，
解得（舍），，即n的值为11.
知识复习
讲解二：根的判别式、根与系数的关系
一、根的判别式
一元二次方程根的判别式为，通常用“”表示
1.计算“”时，要注意的值包含它前面的符号.
2.“”的作用：①不解方程，直接判断根的情况；②根据根的情况，确定未知系数的值（取值范围）
二、根与系数的关系
若的两个根为，则，
1.运用根与系数的关系的前提是
2.以为根，且二次项系数为1的一元二次方程是
【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
命题精练
命题形式2 根的判别式
3.【2023.吉林】一元二次方程根的判别式的值是( )
A.33B.23C.17D.
答案：C
解析：.
4.【2023.北京】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A.B.C.D.9
答案：C
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,
解得.故选C.
5.【2023.甘肃兰州】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则( )
A.B.2C.D.4
答案：A
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，.
6.【2023.河南】关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
答案：A
解析：，，，，方程有两个不相等的实数根.故选A.
7.【2023.江苏徐州】关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________.
答案：4
解析：关于x的方程有两个相等的实数根，，解得.
8.【2023.贵州】若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是________.
答案：
解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式，得且，.
9.【2023.吉林长春】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是_________.
答案：
解析：关于x的方程有两个不相等的实数根，，.
命题形式3 根与系数的关系
10.【2023.山东菏泽】一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A.B.C.3D.
答案：C
解析：一元二次方程的两根为，，，，.故选C.
11.【2023.湖南岳阳】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________.
答案：3
解析：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得.，，，，解得，（不合题意，舍去），.
12.【2023.湖北随州】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为__________.
答案：2
解析：根据根与系数的关系得，，.
13.【2023.湖北宜昌】已知，是方程的两根，则代数式的值为_________.
答案：1
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得，，，原式.
14.【2023.湖北黄冈】已知一元二次方程的两个实数根为,，若，则实数_____________.
答案：
解析：易得，，，.
15.【2023.四川宜宾】若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________.
答案：2
解析：设方程的两根为a，b，则，.由题意可知，，即，，.
16.【2023.四川达州】已知，是方程的两个实数根，且，则k的值为___________.
答案：7
解析：，是方程的两个实数根，
，.，，即，，解得.
讲解三：一元二次方程的实际应用
知识复习
一、一元二次方程中常见问题及数量关系
二、列一元二次方程解应用题的步骤
命题精练
命题形式4 一元二次方程的应用
17.【2023.山东东营】如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案：（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈
（2）羊圈的面积不能达到
解析：设，则.
（1）根据题意，得，
化简，得，
解得，.
当时，；
当时，.
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈.
（2）不能.
理由：令.
化简，得.
，
该一元二次方程没有实数根，
羊圈的面积不能达到.
18.【2023.湖北宜昌】为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍.
（1）求豆沙粽和肉粽的单价.
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元.求m的值.
答案：（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元
②
解析：（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元，
，解得，则，
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元.
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
列方程组，得解得
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元.
②，
解得或.
，，
.
19.“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”.某校为响应全民阅读活动，在周六面向社会开放学校图书馆.据统计，该校图书馆第一个月进馆256人次，第三个月进馆576人次，假设进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否正常接纳第四个月的进馆人次？请说明理由.
答案：（1）进馆人次的月平均增长率是
（2）能
解析：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率是.
（2）能.
理由：（人次），
，
校图书馆能正常接纳第四个月的进馆人次.
20.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求m的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
答案：(1)500吨
(2)20
(3)1500元
解析：(1)设3月份再生纸产量为x吨,则4月份再生纸产量为吨.
由题意,得，
解得，
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意,得
解得，(不合题意,舍去),
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据题意，得
.
答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
一元二次方程及其解法
1.一元二次方程及其解法
☆☆☆
本专题从定义和解法的角度命题，多以选择题和填空题的形式考查，解答题常与不等式和函数结合，考查学生分析和解决实际问题的能力，其中增长率问题的考查在各地中考中都占据重要比重
根的判别式、根与系数的关系
2.根的判别式
☆☆
3.根与系数的关系
☆☆
一元二次方程的实际应用
4.握手问题
☆
5.增长率问题
☆☆
6.面积问题
☆
7.经济问题
☆☆☆
一般形式
项及项的系数
二次项为；二次项系数为
一次项为；一次项系数为
常数项为
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0
类别
适用情况
步骤
直接开平方法
形如的方程
①两边开方；
②移项、系数化为1，求方程的解
因式分解法
方程化为一般形式后，左边能够分解因式
①移：将方程右边化为0；
②分：将方程左边分解成两个一次因式积的形式；
③解：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程并求解
配方法
所有一元二次方程
①化：将二次项系数化为1；
②移：将常数项移到等号右边；
③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
④解：开平方求解
公式法
所有一元二次方程
①化：将方程化为一般形式，并确定的值；
②代：代入求根公式（）
常见类型
因式分解为
方程的解
(a，b为常数)
一般步骤
方法
示例
一移
移项
将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.
二化
二次项系数化为1
左右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左右两边同时加上一次项系数一半的平方
，即
四开
开平方求根
利用平方根的意义直接开平方
类别
根的情况
方程的根
有两个不相等的实数根
；
有两个相等的实数根
无实数根
类别
数量关系
变化率问题
原数量变化后的量
（x为平均增长率/下降率，n为增长/下降次数）
单/双循环问题
单循环（如握手问题）：
双循环（如写信问题）：
面积问题
（为空白部分的宽）
（为阴影部分的宽）
步骤
内容摘要
注意事项
①审
审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.
等量关系往往体现在关键词句中.
②设
设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法.
一般要带单位.
③列
用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.
方程两边单位要统一.
④解
根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.
一般不必写出解方程的过程.
⑤检
检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.
一般两个根中只有一个符合实际意义.
⑥答
写出实际问题的答案.
注意带上单位.
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230