2022-2023学年广东省深圳市罗湖区礼文学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市罗湖区礼文学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.DNA是遗传物质脱氧核糖核酸的英文简称，DNA分子的直径只有0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示是( )
A. 0.7×10−6B. 7×10−6C. 7×10−7D. 70×10−8
2.下列计算中，正确的是( )
A. (a2)3=a5B. a2+a2=a4C. a5÷a3=a2D. a3⋅a4=a12
3.下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 同角的余角相等
C. 两直线平行，内错角互补D. 互补的角是同旁内角
4.声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：
下列结论错 误的是( )
A. 在变化中，气温是自变量，音速是因变量B. y随x的增大而增大
C. 当气温为15℃时，音速为343米/秒D. 温度每升高5℃，音速增加3米/秒
5.如图所示，AB边上的高是( )
A. CE
B. AD
C. BF
D. BC
6.如图，下列不能判定DE/​/BC的条件是( )
A. ∠B=∠ADE
B. ∠2=∠4
C. ∠1=∠3
D. ∠ACB+∠DEC=180°
7.若3x=2，3y=4，则3x+y等于( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
8.三角形的两边长分别为3和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可能是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
9.如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是( )
A. ∠DAE=∠B
B. ∠C=∠EAC
C. ∠DAE=∠EAC
D. AE/​/BC
10.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同.如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE等于( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，点D，E分别在AB，AC上，△ABE≌△ACD，AC=15，BD=9，则线段AD的长是______．
12.一辆车的电池有100度电，该车行驶时每1小时耗电20度，则电池的剩余电量y(度)与该车行驶时间x(小时)(0≤x≤4)之间的函数关系式为______．
13.已知ab=9，(a−1)(b−1)=17，则a+b= ______．
14.如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的点Q反射后，反射光线QR恰好与OB平行，已知∠AQR=∠OQP，∠QPB=80°，则∠AOB的度数是______．
15.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=2EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1)30−(−3)2+(12)−1；
(2)(−3x)2⋅(−4x)÷(−12x2)；
(3)(4−x)2−(x−2)(x+3)．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(−a+b)(−a−b)+(8ab3−8a2b2)÷4ab，其中a=2023，b=2022．
18.(本小题6分)
填空，补全推理过程：
如图所示，∠1=∠2，∠A=∠D，求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(______)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AF//DE(______)，
∴∠D=∠4(两直线平行，同位角相等)．
∵∠A=∠D(已知)，
∴∠A= ______(等量代换)，
∴ ______(______)，
∴∠B=∠C(______).
19.(本小题6分)
知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
20.(本小题7分)
李华星期天早上从家里出发骑自行车去图书馆自习，当他骑了一段路后，突然发现自己没有戴口罩，于是又折回到刚刚经过的一药店去买，买完后继续骑行到图书馆，下面是李华去图书馆所用的时间与他离家的距离之间的关系图，根据图中信息回答下列问题：
(1)李华家到图书馆的路程是______米，在药店停留了______分钟，总共骑行了______分钟，整个过程中一共骑行了______米.
(2)李华买到口罩后继续骑车到图书馆的这段时间内的骑车速度为多少米/分钟？
21.(本小题9分)
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)，图1中阴影部分面积可表示为：a2−b2，图2中阴影部分面积可表示为：(a+b)(a−b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2−b2=(a+b)(a−b)．

【结论探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
(1)根据图4，完成下列填空：
①大正方形的边长是______，小正方形(阴影部分)的边长是______；
②用两种不同方法表示图4中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______．
(2)由(1)可得到一个关于(a+b)2、(a−b)2、ab的等量关系式是______．
(3)若a+b=8，ab=5，则(a−b)2= ______．
【类比迁移】
(4)如图5所示，C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG=6，两正方形的面积和S1+S2=20，求图中阴影部分面积．
22.(本小题9分)
【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．
例如：α=50°，β=20°，α−β=30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”．
(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，则∠1= ______．
(2)如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点．

①若∠A>∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数；
②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.0000007=7×10−7．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】C
【解析】【分析】
利用同底数幂的除法法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：A、(a2)3=a6，故不A符合题意；
B、a2+a2=2a2，故B不符合题意；
C、a5÷a3=a2，故C符合题意；
D、a3⋅a4=a7，故D不符合题意；
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意．
B、同角的余角相等，是真命题，本选项符合题意．
C、两直线平行，内错角互补，是假命题，本选项不符合题意．
D、互补的角是同旁内角，是假命题，本选项不符合题意．
故选：B．
根据对顶角的定义，同角的余角相等，平行线的性质等知识一一判断即可．
本题考查对顶角的定义，同角的余角相等，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的表示方法，掌握函数的定义，求出温度每升高5℃，音速增加3米/秒，是解题关键．根据表格中的数据以及函数的定义，逐一判断选项即可．
【解答】
解：A：∵对于气温的每一个值，都存在一个唯一确定的音速，符合函数定义，
∴气温是自变量，音速是因变量，正确，
∴A不符合题意；
B：由表格数据可知：y随x的增大而增大，正确，
∴B不符合题意；
C：由表格数据可知：当气温为15℃时，音速为340米/秒，不正确，
∴C符合题意；
D：由表格数据可知：温度每升高5℃，音速增加3米/秒，正确，
∴D不符合题意．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：△ABC中，AB边上的高是CE，
故选：A．
根据三角形中高线的概念即可作答．
本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
6.【答案】C
【解析】解：A、∠B=∠ADE，根据同位角相等，两直线平行能判定DE/​/BC，不符合题意；
B、∠2=∠4，根据内错角相等，两直线平行能判定DE/​/BC，不符合题意；
C、∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行能判定DF/​/EC，符合题意；
D、∠ACB+∠DEC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行能判定DE/​/BC，不符合题意．
故选：C．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7.【答案】C
【解析】解：∵3x=2，3y=4，
∴3x+y=3x⋅3y=2×4=8．
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
8.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边长为a，
∵三角形的两边长分别为3和7，
∴4∵第三边长为奇数，
∴a=5，7，9，
三角形的周长可能为15，17，19，
只有C选项符合题意，
故选：C．
利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得第三边长的关系为大于4，小于10，再利用第三边长为奇数，可得第三边长可能为5，7，9，即可解答．
本题考查了三角形边长关系，熟记三角形三边长关系是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE/​/BC，故D选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，而∠C与∠B大小关系不确定，
∴∠DAE与∠EAC大小关系不确定，故C选项错误，
故选：C．
根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，进而判定AE/​/BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题主要考查了基本作图以及平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
10.【答案】D
【解析】解：由题意得，AB//DE，
过点C作CF/​/AB，则CF/​/DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCF=180°−∠ABC=180°−120°=60°，
∴∠DCF=∠BCD−∠BCF=80°−60°=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．
故选：D．
由题意可得AB//DE，过点C作CF/​/AB，则CF/​/DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由CF/​/DE，所以∠CDE=∠DCF．
本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
11.【答案】6
【解析】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC=15，
∴AD=AB−BD=15−9=6，
故答案为：6．
根据全等三角形的性质求出AB，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
12.【答案】y=100−20x(0≤x≤4)
【解析】解：由题可知：
∵该车行驶时每1小时耗电20度，
∴电池的剩余电量y(度)与该车行驶时间x(小时)(0≤x≤4)之间的函数关系式为：
y=100−20x(0≤x≤4)，
故答案为：y=100−20x(0≤x≤4)．
根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式．
本题考查了一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
13.【答案】−7
【解析】解：∵(a−1)(b−1)=ab−a−b+1=17，
∴a+b=ab+1−17，
∵ab=9，
∴a+b=9+1−17=−7，
故答案为：−7．
将(a−1)(b−1)展开可得ab−(a+b)+1=17，代入即可解答．
本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式的乘法计算法则是解题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：∵反射光线QR恰好与OB平行，
∴∠AQR=∠AOB，
又∵∠AQR=∠OQP，
∴∠AOB=∠OQP，
∵∠QPB=∠AOB+∠OQP，
∴∠AOB=12∠QPB=40°，
故答案为：40°．
根据两直线平行，同位角相等，以及三角形外角性质进行计算即可．
本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
15.【答案】12
【解析】解：连接BF，如图，
∵BE=2EC，S△CEF=1，
∴S△BFE=2S△CEF=2，
∵D是AB的中点，
∴S△ADC=S△BDC，S△ADF=S△BDF，
∴S△AFC=S△BFC，
∵S△CEF=1，S△BFE=2，
∴S△BFC=2+1=3，
∴S△AFC=3，
∴S△AEC=3+1=4，
∴S△ABE=2S△AFC=2×4=8，
∴S△ABC=S△ABE+S△AEC=8+4=12，
故答案为：12．
连接BF，利用高相等，底边成比例的三角形面积之间的关系即可求解．
此题主要考查了三角形面积，掌握高相等，底边成比例的三角形面积之间的关系是关键．
16.【答案】解：(1)30−(−3)2+(12)−1
=1−9+2
=−6；
(2)(−3x)2⋅(−4x)÷(−12x2)
=9x2⋅(−4x)÷(−12x2)
=−36x3÷(−12x2)
=3x；
(3)(4−x)2−(x−2)(x+3)
=16−8x+x2−(x2+x−6)
=16−8x+x2−x2−x+6
=−9x+22．
【解析】(1)先根据零指数幂和负整数指数幂，计算每一项，再加减即可；
(2)先算乘方，再进行乘除，即可解答；
(3)先利用完全平方公式和平方差公式计算，再加减即可；
熟练运用相关公式计算是解题的关键．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式，整式乘法，同底数幂的乘除，
17.【答案】解：(−a+b)(−a−b)+(8ab3−8a2b2)÷4ab
=a2−b2+2b2−2ab
=a2+b2−2ab，
当a=2023，b=2022时，
原式=a2+b2−2ab=(a−b)2=(2023−2022)2=1．
【解析】利用平方差公式和多项式除以单项式运算法则化简原式，再代值求解即可．
本题考查整式的混合运算及其求值，熟练掌握整式的运算法则是关键．
18.【答案】对顶角相等 同位角相等，两直线平行 ∠4 AB/​/CD 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AF/​/DE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠D=∠4(两直线平行，同位角相等)．
∵∠A=∠D(已知)，
∴∠A=∠4(等量代换)，
∴AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠4；AB/​/CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据对顶角相等得到∠1=∠3，则可得∠2=∠3，证明AF//ED，可得∠4=∠D=∠A，再利用内错角相等，两直线平行，可得AB/​/CD，即可解答．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示：

【解析】利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题．
本题主要考查作图，以及全等图形的定义．关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．
20.【答案】1500 4 10 2700
【解析】解：(1)观察图象可知，李华家到图书馆的路程是1500米．
12−8=4(分钟)，在药店停留了12−8=4(分钟)．
14−4=10(分钟)，总共骑行了10分钟．
1200+(1200−600)+(1500−600)=2700(米)，整个过程中一共骑行了2700米．
故答案为：1500、4、10、2700．
(2)1500−60014−12=450(米/分钟)．
答：李华买到口罩后继续骑车到图书馆这段时间内的骑车速度为450米/分钟．
(1)观察函数图象可知，函数图象的横坐标表示李华去图书馆所用的时间，纵坐标表示他离家的距离.0−4分钟，表示李华从家出发去图书馆走了1200(米)；4−8分钟，表示李华这回到离家600米的药店去买药，他折回的路程为1200−600=600(米)；8−12分钟，表示李华在药店买药停留12−8=4(分)；12−14分钟，表示李华从药店继续去离家1500米的图书馆，走了1500−600=900(米).注意：小华骑行的时间要减去在药店停留的4分钟．
(2)李华买到口罩后继续骑车到图书馆的骑车速度=行驶的路程÷行驶的时间．
本题主要考查了函数图象的读图能力，观察函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解函数图象所描述的运动过程，然后根据函数的图象信息解决问题．
21.【答案】a+b a−b (a−b)2 (a+b)2−4ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 44
【解析】解：(1)①结合图形可得大正方形的边长是a+b；小正方形(阴影部分)的边长是a−b，
故答案为：a+b；a−b；
②直接算阴影部分面积可得方法1：(a−b)2；
大正方形减去四个小长方形面积可得方法2：(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2；(a+b)2−4ab；
(2)由(1)可得(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(3)(a−b)2=(a+b)2−4ab=82−4×5=44，
故答案为：44；
(4)设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，可得a+b=6，a2+b2=20，
如图，延长AB，FE交于点M，延长AD，FG交于点N，
可得四边形AMFN为正方形，且边长为a+b=6，
∴S阴=S正方形AMFN−S△AME−S△ANG−S正方形CEFG
=(a+b)2−a(a+b)2−a(a+b)2−b2=ab，
根据完全平方公式ab=(a+b)2−(a2+b2)2=8，
∴阴影部分的面积为8．
(1)①结合图形，即可解答：②可以直接算阴影部分面积或者大正方形减去四个小长方形面积，两种方法即可解答；
(2)根据阴影部分面积不变，列等式，即可解答；
(3)根据完全平方变形公式，即可解答；
(4)设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据BG=6可得a+b=6，根据S1+S2=20，可得a2+b2=20，延长AB，FE交于点M，延长AD，FG交于点N，可得AMFN为正方形，利用面积差，用a，b表示阴影部分面积，利用完全平方公式变形公式，即可解答．
本题考查了利用完全平方公式求图形面积，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键．
22.【答案】60°或30°
【解析】解：(1)当∠1>∠2时，∠2=∠1−30°，
∴∠1+∠2=∠1+∠1−30°=90°，
∴∠1=60°；
当∠1<∠2时，∠2=∠1+30°，
∴∠1+∠2=∠1+∠1+30°=90°，
∴∠1=30°，
故答案为：60°或30°；
(2)①设∠A的度数为x，
∵∠ACB=90°，则∠ABC=90°−x，
∵∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点，
∴∠ABE=90°−x2，
∵AB/​/CM，
∴∠BEC=∠ABE=90°−x2，
∵∠A>∠BEC，
∴∠A−∠bec=30°，
可得x−90°−x2=30°，
解得x=50，
∴∠A=50°；
②设∠A的度数为y，
∵AB/​/CM，
∴∠ACE=y，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=y2，
根据①可得∠CBF=90°−y2，
∴∠BFC=180°−∠CBF−∠ACF−90°=45°，
当∠A>∠BFC时，可得∠A=75°；
当∠A<∠BFC时，可得∠A=15°；
综上所述，∠A的度数为75°或15°．
(1)考虑两种情况，即∠1>∠2，∠1<∠2，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
(2)①设∠A的度数为x，则∠ABC=90°−x，根据角平分线的定义可得∠ABD=90°−x2，再利用平行线的性质得到∠ABE=∠BEC，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即∠A<∠BFC和∠A>∠BFC，两种情况，设∠A的度数为y，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用y表示∠BFC，列方程，即可解答．
本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．气温x(℃)
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343