上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷（原卷版+解析版）

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（时间120分钟，满分150分） 2024.04
学生注意：
1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
3．可使用符合规定的计算器答题．
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 不等式的解集为____________．
【答案】；
【解析】
【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果.
【详解】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
2. 已知向量，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.
【详解】由向量的夹角公式得，又因为，
所以.
故答案为：.
3. 已知复数，则____________．
【答案】##2.5
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可.
【详解】∵，
∴，
故答案为：.
4. 的二项展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果.
【详解】因为的展开式通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故答案为：
5. 设随机变量服从正态分布，若，则实数_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.
【详解】由正态分布的对称性，得，所以.
故答案为：
6. 椭圆的离心率为，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据椭圆方程得出离心率公式，则a可求.
【详解】由题意得椭圆离心率为，
解得，
故答案为：2.
7. 已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率.
【详解】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
8. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________．
【答案】；
【解析】
【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可.
【详解】因为，
所以，即，
解得或，
所以 的取值范围是，
故答案为：.
9. 对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.
【详解】将函数向右平移1个单位得到，
作出函数的图象如下：
要关于方程有两个不同的根，
则函数和函数有两个不同的交点，
当过点时，，
所以当函数和函数有两个不同的交点时，.
故答案为：.
10. 从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件的概率，同样利用排列组合计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解．
【详解】，．
由条件概率公式得．
故答案为：．
11. 如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出当水深为时，水的体积，然后除以流速可得出时刻的值，设水的深度为，求出关于的函数表达式，利用导数可求得当水深为时，水升高的瞬时变化率.
【详解】设时刻水的深度为，水面半径为，则，得，
所以当水深为时，酒杯中水面的半径为，此时水的体积为，
设当水深为的时刻为，可得，可得；
又由题意可得，则，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
12. 如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到坐标，进而得到的坐标，从而得到侧棱.
【详解】
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，，
由三棱柱可知，即，所以，，
，即，所以，，
所以，所以，
故这个三棱柱的侧棱长为，
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 函数的最小值是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值是.
故选：D.
14. 已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件，
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知抛物线C的焦点．易知充分条件成立，结合图形，举例说明必要条件不成立，即可求解.
【详解】由题意知，将点代入方程，即，得，则抛物线C的焦点．
当点M的坐标为时，点M与拋物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有；当时，点M的坐标不一定为，理由如下：
如图，连接PF，当时，．
因此“点M的坐标为”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
15. 设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论．
【详解】，
，，即且，
，且，两边都除以，得，可得．
对于A，由，可得，故A项不正确；
对于B，由于，所以不成立，故B不正确；
对于C，因为，所以，可得．
结合，可得，故C正确；
对于D，根据且，当，时，，
此时不成立，故D不正确．
故选：C．
16. 如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A. 2个极大值点，1个极小值点B. 3个极大值点，2个极小值点
C. 2个极大值点，无极小值点D. 3个极大值点，无极小值点
【答案】B
【解析】
【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】
，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解.
三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17. 对于函数，其中，．
（1）求函数的单调增区间；
（2）在锐角三角形中，若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果；
（2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果.
【小问1详解】

令，则，函数为增函数，
当时函数为增函数，
即，得，
所以函数的单调增区间是．
【小问2详解】
（2）由已知，所以，
因为，所以，即，所以，
又，所以，
所以的面积．
18. 如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．
（1）求证：面面；
（2）求二面角的余弦值大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）方法一：根据二面角定义，结合（1）的结论、线面垂直的性质，结合余弦定理进行求解即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
为棱中点，为正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，
面，又面，，
而平面，
面，面，
面面；
【小问2详解】
由（1）得面，面，
，
是二面角的平面角，
在中，
二面角的余弦值为．
方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：
则，
，，
设平面、平面的法向量分别为，
，可以是
可以是，
二面角的余弦值为．
19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？
附：，其中，．
（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束概率；
（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
【答案】（1）无关 （2）（i）；（ii）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论；
（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；
（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可.
【小问1详解】
提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平，由题意得，
可得，
由，且，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
【小问2详解】
（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行3局就结束的概率为；
（ii）的可能取值为，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以分布为
故数学期望为.
20. 已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
（1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
（2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
（3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1） 直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；
（2）由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径，再借助于点到直线的距离公式求直线的斜率；
（3）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【小问1详解】
因为双曲线，所以，所以，
即，，
所以双曲线的渐近线方程是 ；
【小问2详解】
由题意可知，，，
所以，
，即是椭圆右顶点
设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，
，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得，
解得直线的斜率为
【小问3详解】
假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，
设,，,，中点为,，又，，
由，可知△等腰三角形，，且直线不与轴重合，
于是，即，
因此，， (I)，点，在双曲线上，
所以，
①②化简整理得：，，
则，可得，(II)，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以 ，
由，得，所以直线的方程为．
【点睛】关键点点睛：针对类似于的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题.
21. 若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
（1）若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（2）若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
【答案】（1）是周期为的周期数列，理由见解析
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果；
（2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果；
（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.
【小问1详解】
因为，
所以是周期为的周期数列．
【小问2详解】
①当时，，，
所以当时，是周期为1的周期数列，
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立，
即，所以在上严格增，
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．
综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．
【小问3详解】
必要性：
若存在，使得是周期数列，设的周期为，
则，所以是周期为的周期数列，
充分性：
若是周期数列，设它的周期为，记，则
，是关于x的连续函数；
，是关于x连续函数；
…
，是关于x的连续函数；
，
令，则是连续函数，
且，，
所以存在零点，于是，
取，则，
从而，
，
……
一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．
（说明：关于函数连续性的说明不作要求）
【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.
男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100
0
1
2
3