专题十三 三角形——2024届中考一轮复习进阶讲义

这是一份专题十三 三角形——2024届中考一轮复习进阶讲义，共41页。

知识复习
讲解一：三角形及其性质
三角形的三边关系及角的关系
与三角形有关的重要线段
线段的垂直平分线
角平分线的性质
角平分线的判定
知识复习
命题形式1 三角形的三边关系
1．【2023.湖南】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
答案：C
解析：，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
2．【2023.福建】若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
答案：B
解析：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
命题形式2 三角形的内角和外角
3．【2023.山东日照】在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
答案：B
解析：如图：

∵，
∴，
在中，，
∵，
故，
故选：B．
4．【2023.湖北荆州】如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）

A．B．C．D．
答案：C
解析：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，

，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
5．【2023.青海西宁】在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
答案：或
解析：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；
②当时，如图2，

综上可知的度数是或．
故答案为：或．
命题形式3 三角形中的重要线段
6．【2023.安徽】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

答案：
解析：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
7．【2023.广东广州】如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

答案：/
解析：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
命题形式4 三角形中的垂直平分线
8．【2023.海南】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
答案：C
解析：由作图可得：为直线的垂直平分线，
，
，
，
故选：C．
9．【2023.湖北黄石】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ）

A．2B．C．4D．
答案：A
解析：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．【2023.四川攀枝花】如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

答案：/10度
解析：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
知识复习
讲解二：特殊三角形
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
等边三角形的概念及性质
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
直角三角形的判定
（1）有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足
，那么这个三角形是直角三角形；
（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形（应用时，需先证明）
（5）面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高
（6）拓展：内切圆半径，外接圆半径，其中为两直角边长，为斜边长.
勾股定理
勾股定理的证明
【注意】
（1）探索勾股定理时找面积相等是关键.其一般步骤为：拼出图形—写出图形面积的代数式—找出等量关系—恒等变换—推导出命题结论.
（2）图形通过切割、拼接后，只要没有重复，没有空隙，面积就不会改变
勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
【延伸】
设三角形的三边长分别为（为最长边的长）.如果，那么这个三角形是直角三角形；如果，那么这个三角形是钝角三角形；如果，那么这个三角形是锐角三角形.
命题精练
命题形式5 等腰三角形
11．【2023.河北】四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
答案：B
解析：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
12．【2023.新疆】如图，在中，若，，，则____．

答案：
解析：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
13．【2023.山东泰安】如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

答案：
解析：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【2023.浙江湖州】如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．
答案：
解析：∵，于点D，
∴．
∵，
∴．
∵于点D，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，
∵E为AB的中点，
∴．
命题形式6 等边三角形
15．【2023.山东东营】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
答案：C
解析：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
16．【2023.山东滨州】已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
∵，
∴
∴
∴，
故选：B．
17．【2023.内蒙古通辽】如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．

答案：1
解析：设点P的运动时间为，由题意得，
，

∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
18．【2023.黑龙江】如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

答案：图②中，图③中，证明见解析
解析：图②中，图③中，
图②证明如下：
如图②所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；

图③证明如下：
如图③所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴．

命题形式7 直角三角形
19．【2023.四川德阳】如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A．B．C．2D．1
答案：A
解析：∵，
∴为直角三角形．
∴．
∵点为的斜边的中点，
∴．
∵，，
∴．
故选：A．
20．【2023.河北】如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A．B．C．12D．16
答案：B
解析：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
21．【2023.辽宁锦州】如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
答案：
解析：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
讲解三：全等三角形
知识复习
全等三角形的性质与判定
命题精练
命题形式8 全等三角形的判定
22．【2023.四川凉山】如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A．B．C．D．
答案：D
解析：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
23．【2023.江苏南通】如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
答案：(1)二；(2)见解析
解析：（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
命题形式9 全等三角形的性质与计算
24．【2023.辽宁抚顺】如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

答案：//1.5
解析：，
，
点D为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
25．【2023.陕西A】如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

答案：见解析
证明：在中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
26．【2023.四川甘孜】如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：(1)见解析
(2)
(3)存在，
解析：（1）解：由题意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．命题点
命题形式
命题热度
命题特点
三角形及其性质
1.三角形的三边关系
☆☆
本专题多以选择题和填空题的形式出现，考查三角形的基本概念和特殊三角形的性质，解答题常见题型为特殊三角形、全等三角形的有关证明与计算等，要求学生熟练掌握三角形的有关概念及定理，并在解答过程中灵活运用，体现了数形结合和分类讨论的思想
2.三角形的内角和外角
☆☆☆
3.三角形中的重要线段
☆☆
4.三角形中的垂直平分线
☆☆
特殊三角形
5.等腰三角形
☆☆☆
6.等边三角形
☆☆☆
7.直角三角形
☆☆☆☆
全等三角形
8.全等三角形的判定
☆☆☆☆
9.全等三角形的性质与证明
☆☆☆
10.全等三角形的性质与计算
☆☆☆
分类
按角分：
按边分：
性质
三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系：
（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
（2）内外角关系：
a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图，
b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
如图，
边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）
三角形具有稳定性
名称
图形
性质
重要结论
中线
三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形
高
，即
锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形的三条高的交点是直角的顶点；
钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心
角平分线
三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心
中位线
且
中位线所截得的三角形与原三角形相似，其相似比为1:2，面积比为1:4
线段的垂直平分线
图形
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上
判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识详解
（1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用.
（2）线段的垂直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据
内容
符号语言
图形
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如果点在的平分线上，且于点，于点，那么
知识详解
（1）性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长.
（2）性质中有两个条件：一是点在角的平分线上，二是这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可.
（3）利用角的平分线的性质证明线段相等，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
（4）应用角平分线的性质解题的格式：
平分，于点，于点，
.
（5）角平分线的性质的作用：由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等
内容
符号语言
图形
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上
知识详解
（1）角平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等.要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.
（2）应用角平分线的判定解题的格式：
于点，于点，，
平分
图形
数学语言
文字描述
在中，因为，所以
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
①因为，
所以平分，且.
②因为，
所以，且平分.
③因为，平分，所以，且
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
特别提醒
（1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用.
（2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合
等腰三角形的判定方法
图形表示
几何推理
注意事项
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
为等腰三角形
这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”
定义
性质
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”.
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
知识详解
（1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.
（2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形
知识详解
（1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法.
（2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.
（3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立
具体内容
图例
含角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
在中，，，是斜边的中点，则有
知识详解
（1）将两个含角的全等直角三角形的长直角边重合（如图），可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性.
（2）应用模式：在中，
.
（3）该性质是含有角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用.
（4）这个性质主要用于计算线段长和证明线段的倍分关系.
（5）在有些题目中，若给出的角是，往往运用一个外角等于它和不相邻的两个内角和，找出的角后，再利用这个性质解决问题
文字语言
符号语言
图示
变式
应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
方法
图形
证明
“赵爽弦图”
因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图
设梯形的面积为，则.因为，所以
毕达哥拉斯拼图
由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
在中，.
在中，.
结论
区别
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系
两者都与三角形的三边有关系
概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等
判定
边边边（）：三边分别相等的两个三角形全等
边角边（）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角：（）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等
斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等