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新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题原卷版docx、新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
命题人：黄业静 审核人：
一、单选题
1. 已知，（i为虚数单位），则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2. 已知向量，则
A. B. 2C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，可得，再利用向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，所以，
所以，故选C．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算和向量的模的运算，其中解答中熟记向量的坐标运算和向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3. 已知，则复数对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故选：C
4. 在中，若，，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到．
【详解】解：，，，
，
由正弦定理可得，，
．
故选：D．
5. 已知非零向量，满足|＋|＝|－|，则下列结论正确的是（ ）
A. ⊥B. ||＝||
C. ∥D. ||>||
【答案】A
【解析】
【详解】(解法1)因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以2＋2＋2·＝2＋2－2·．所以·＝0，所以⊥．故选A．
(解法2)利用向量加法的平行四边形法则．
在平行四边形ABCD中，设＝，＝，由|＋|＝|－|知，||＝||，从而平行四边形ABCD为矩形，
即AB⊥AD，故⊥．
【考查意图】向量加、减法的几何意义．
6. 下列各式正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律判断即可.
【详解】对于①：，故①正确；
对于②：，又向量的除法没有定义，故②错误；
对于③：，故③错误；
对于④：根据数量积的运算律可知，故④正确.
故选：B
7. 在中，，则的面积是（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【详解】在△ABC中，∵ AB＝5，BC＝6，AC＝7，则由余弦定理可得49＝25＋36－2×5×6×cs B，求得cs B＝，∴ sin B＝＝，故△ABC的面积为·AB·BC·sin B＝×5×6×＝6.
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】因为a＝4，b＝4，B＝60°，所以由正弦定理有＝，所以sin A＝＝＝.因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，所以A＝30°.
二、多选题
9. 下列叙述中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 在等边中，与的夹角为60°
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C. 由时判断；D.由夹角的定义判断.
【详解】A.向量不能比较大小，故错误；
B.因为非零向量与且，所以与的方向相同或相反，故正确；
C. 当时，满足，，但与不一定共线，故错误；
D.在等边中，与的夹角为120°，故错误，
故选：ACD
10. 已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 的相反向量是
B. 若，则
C. 在上的投影向量为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
12. 对于，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则为等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，利用余弦定理即可判断；对B，根据大角对大边并结合正弦定理即可判断；对C，根据正、余弦定理即可判断；对D，分类讨论即可判断.
【详解】对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，只有一解，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确；
对于选项D：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以等腰三角形或直角三角形，故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
13. 已知平面向量，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算及共线向量的坐标关系即可列方程求得的值.
【详解】因为，所以
又，所以，整理得：，解得.
故答案为：.
14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
15. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由，，
得在方向上的投影向量为.
故答案为：.
16. 在中，，则的形状是_____．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解.
【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得，
所以，
由，可得，即，
因为,
所以或（舍去），
故三角形为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
四、解答题
17. 已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)
(1)若向量∥，求实数m的值；
(2)若m＝3，求向量与的夹角．
【答案】(1)1；（2）
【解析】
【分析】(1) 先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2) 先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角．
【详解】(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，
所以，，
若向量∥，则，即，
(2) 若m＝3，则，，
所以，，，
所以，
故向量与的夹角为 .
【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.
18. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
（1）用向量与表示 和
（2）用向量与表示
（3）求出 的值
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【小问1详解】
是中点，
，
；
【小问2详解】
，则，
；
【小问3详解】
设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求a的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可解出值；
（2）方法1：利用余弦定理求出，再根据角的范围利用公式计算；方法：先利用公式计算，再利用正弦定理求.
【小问1详解】
因为，在中，由余弦定理有：，
得，解得，（舍去）．所以.
【小问2详解】
方法1：由余弦定理，得，，
∵C是的内角，∴．
方法2：∵，且B是的内角，∴，
在中，根据正弦定理，，得．
20. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∴；
21. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，）
【答案】10小时
【解析】
【分析】在中，根据已知条件利用正弦定理即可求解.
【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则，
由题意知，，，，
在中，
又
，
中，由正弦定理可得，即，解得，
所以我方军舰大约需要10小时到达C岛．
22. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；
（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可得，
因为，可得.
【小问2详解】
解：由（1）知，因为，
设的外接圆的半径为，可得，
所以，
因为，可得，
所以的面积为.
命题人：黄业静 审核人：
一、单选题
1. 已知，（i为虚数单位），则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2. 已知向量，则
A. B. 2C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，可得，再利用向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，所以，
所以，故选C．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算和向量的模的运算，其中解答中熟记向量的坐标运算和向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3. 已知，则复数对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故选：C
4. 在中，若，，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到．
【详解】解：，，，
，
由正弦定理可得，，
．
故选：D．
5. 已知非零向量，满足|＋|＝|－|，则下列结论正确的是（ ）
A. ⊥B. ||＝||
C. ∥D. ||>||
【答案】A
【解析】
【详解】(解法1)因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以2＋2＋2·＝2＋2－2·．所以·＝0，所以⊥．故选A．
(解法2)利用向量加法的平行四边形法则．
在平行四边形ABCD中，设＝，＝，由|＋|＝|－|知，||＝||，从而平行四边形ABCD为矩形，
即AB⊥AD，故⊥．
【考查意图】向量加、减法的几何意义．
6. 下列各式正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律判断即可.
【详解】对于①：，故①正确；
对于②：，又向量的除法没有定义，故②错误；
对于③：，故③错误；
对于④：根据数量积的运算律可知，故④正确.
故选：B
7. 在中，，则的面积是（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【详解】在△ABC中，∵ AB＝5，BC＝6，AC＝7，则由余弦定理可得49＝25＋36－2×5×6×cs B，求得cs B＝，∴ sin B＝＝，故△ABC的面积为·AB·BC·sin B＝×5×6×＝6.
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】因为a＝4，b＝4，B＝60°，所以由正弦定理有＝，所以sin A＝＝＝.因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，所以A＝30°.
二、多选题
9. 下列叙述中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 在等边中，与的夹角为60°
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C. 由时判断；D.由夹角的定义判断.
【详解】A.向量不能比较大小，故错误；
B.因为非零向量与且，所以与的方向相同或相反，故正确；
C. 当时，满足，，但与不一定共线，故错误；
D.在等边中，与的夹角为120°，故错误，
故选：ACD
10. 已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 的相反向量是
B. 若，则
C. 在上的投影向量为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
12. 对于，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则为等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，利用余弦定理即可判断；对B，根据大角对大边并结合正弦定理即可判断；对C，根据正、余弦定理即可判断；对D，分类讨论即可判断.
【详解】对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，只有一解，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确；
对于选项D：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以等腰三角形或直角三角形，故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
13. 已知平面向量，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算及共线向量的坐标关系即可列方程求得的值.
【详解】因为，所以
又，所以，整理得：，解得.
故答案为：.
14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
15. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由，，
得在方向上的投影向量为.
故答案为：.
16. 在中，，则的形状是_____．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解.
【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得，
所以，
由，可得，即，
因为,
所以或（舍去），
故三角形为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
四、解答题
17. 已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)
(1)若向量∥，求实数m的值；
(2)若m＝3，求向量与的夹角．
【答案】(1)1；（2）
【解析】
【分析】(1) 先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2) 先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角．
【详解】(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，
所以，，
若向量∥，则，即，
(2) 若m＝3，则，，
所以，，，
所以，
故向量与的夹角为 .
【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.
18. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
（1）用向量与表示 和
（2）用向量与表示
（3）求出 的值
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【小问1详解】
是中点，
，
；
【小问2详解】
，则，
；
【小问3详解】
设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求a的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可解出值；
（2）方法1：利用余弦定理求出，再根据角的范围利用公式计算；方法：先利用公式计算，再利用正弦定理求.
【小问1详解】
因为，在中，由余弦定理有：，
得，解得，（舍去）．所以.
【小问2详解】
方法1：由余弦定理，得，，
∵C是的内角，∴．
方法2：∵，且B是的内角，∴，
在中，根据正弦定理，，得．
20. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∴；
21. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，）
【答案】10小时
【解析】
【分析】在中，根据已知条件利用正弦定理即可求解.
【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则，
由题意知，，，，
在中，
又
，
中，由正弦定理可得，即，解得，
所以我方军舰大约需要10小时到达C岛．
22. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；
（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可得，
因为，可得.
【小问2详解】
解：由（1）知，因为，
设的外接圆的半径为，可得，
所以，
因为，可得，
所以的面积为.
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