2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1+i)(2+i)=( )
A. 1−iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i
2.正方形ABCD的边长为1，则|AB+2AD|=( )
A. 1B. 3C. 3D. 5
3.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为( )
A. B. C. D.
4.在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
5.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m =( )
A. −8B. −6C. 6D. 8
6.如图，△A′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则BC=( )
A. 2
B. 2
C. 6
D. 4
7.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=2EO，则ED=( )
A. 13AD−23ABB. 23AD+13ABC. 23AD−13ABD. 13AD+23AB
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则bc的取值范围为( )
A. (12,2)B. (23,32)C. (35,53)D. (34,43)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列计算正确的是( )
A. AB+AD=ACB. AC+CD+DO=OA
C. AB+AC+CD=ACD. AC+BA+DA=0
10.下列结论正确的为( )
A. 正四棱柱是长方体的一类
B. 四面体最多有四个钝角三角形
C. 若复数z1，z2满足z12=z22，则|z1|=|z2|
D. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2].现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3： 7，且S△ABC=6 3，请判断下列命题正确的是( )
A. △ABC周长为5+ 7B. C=π3
C. △ABC的外接圆半径为2 213D. △ABC中线CD的长为 192
12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z满足z=1+2i，则|z|= ．
14.已知平面向量a=(2,−1)，b=(−k,2)，若a//b，则|a+b|=______．
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2+c2=3ac，则b= ．
16.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体，如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，若一个正方体能够在勒洛四面体中随意转动，则正方体的棱长的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求m为何实数时，复数z=m2+m−6+(m2−2m−15)i是：
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)虚数．
18.(本小题12分)
设向量a=(x,1)，b=(2,x+1)，其中x∈R．
(1)若|3a+b|= 10，求x的值；
(2)若a，b的夹角为锐角，求x的取值范围．
19.(本小题12分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．acsC+ 3asinC=b+c．
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3，判断此三角形的形状．
20.(本小题12分)
如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
21.(本小题12分)
在①2acsA=bcsC+ccsB；②tanB+tanC+ 3= 3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知_____．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且其面积为 32，点G为△ABC重心，点M为线段AC的中点，点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求|GP|的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
22.(本小题12分)
仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔⋅库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O为地球的球心，AB为地平线，有两个观测者在地球上的A，B两地同时观测到一颗流星S，观测的仰角分别为∠SAD=α，∠SBD=β，其中，∠DAO=∠DBO=90°，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A，B两点测得α=30°，β=15°，地球半径为R公里，两个观测者的距离AB=R3π.(参考数据： 3≈1.73， 2.27≈1.5)
(1)求流星S发射点近似高度ES；
(2)在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径R≈6370公里，请你据此判断该流星S是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
直接计算即可．
【解答】
解：原式=2−1+3i=1+3i．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，属于基础题．
可画出图形，根据向量数乘的几何意义和向量加法的平行四边形法则即可得出答案．
【解答】
解：如图，AB+2AD=AE，
∴|AB+2AD|=|AE|= 5．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
【解答】
解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C，
当截面过正方体的体对角面时得B，
当截面不平行于任何侧面和对角面时得A，
但无论如何都不能截出D，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，A为锐角，
∴sinA=12，
则A=30°．
故选：A．
已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，由A为锐角确定出A的度数即可．
此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．
根据平面向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：∵a=(1,m)，b=(3,−2)，
∴a+b=4,m−2，
∵(a→+b→)⊥b→，∴3×4−2m−2=0，
解得m=8．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：在△A′B′C′中，B′C′=C′A′=1，∠B′A′C′=45°，
由余弦定理得：B′C′2=A′C′2+A′B′2−2A′C′⋅A′B′cs45°，
即A′B′2− 2A′B′=0，而A′B′>0，
解得A′B′= 2，
由斜二测画图法知：AB=A′B′= 2，AC=2A′C′=2，
在△ABC中，AB⊥AC，
所以BC= AC2+AB2= 6．
故选：C．
在直观图中，利用余弦定理求出A′B′，再由斜二测画图法求出AB及AC，借助勾股定理求解作答．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的加减法，属简单题．
由平面向量的加减法即可求解．
【解答】
解：ED=AD−AE=AD−13AC
=AD−13(AD+AB)
=23AD−13AB，
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA，且△ABC的面积为S=12bcsinA，
由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccsA，化简得sinA+2csA=2；
又A∈(0,π2)，sin2A+cs2A=1，
所以5sin2A−4sinA=0，解得sinA=45或sinA=0(不合题意，舍去)；
所以bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcsC+csAsinCsinC=45tanC+35，
由B+C=π−A，且B∈(0,π2)，π−A∈(π2,π)，
则π2−A0，所以x>−13，
当a，b平行时，x(x+1)−2=0，则x=−2或x=1，
显然x=1时，a，b同向，夹角不为锐角，所以x≠1，
故x的取值范围是(−13,1)∪(1,+∞)．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量模公式，即可求解；
(2)结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解(1)由正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
所以sinAcsC+ 3sinAsinC=sin(A+C)+sinC，
所以 3sinAsinC−csAsinC=sinC，
因为sinC>0，
所以 3sinA−csA=1，即sin(A−30°)=12，
因为0°0，即b2−12bc>0，即2b>c=2b，所以b>1，
当B为锐角，则AB⋅CB>0，即AB⋅(AB−AC)>0，
即AB2−AC⋅AB>0，即c2−12bc>0，即2c>b，即2⋅2b>b，所以0