2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学二模试卷

这是一份2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在﹣3，，0，3这四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．C．0D．3
2．（4分）某物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）2023年合肥经开区GDP达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.4099×103B．14.099×1010
C．1.4099×1011D．1.4099×1012
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x6B．3xy﹣xy＝3
C．（x+1）2＝x2+1D．（﹣x3）2＝x6
5．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠3＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°（ ）
A．35°B．40°C．55°D．65°
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．105°
9．（4分）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，0）C．D．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PF⊥BC于点F，连接EF（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）1﹣＝ ．
12．（5分）分解因式：2x2+12x+18＝ ．
13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，则AD＝ ．
14．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，连接CE交AD于点F，O在CE上，OA＝OB＝AE＝BC＝CD，∠AOB＝90°．
（1）若∠E＝25°，则∠BCE＝ °；
（2）若OA＝13，OC＝10，则tan∠OAD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位，还空10个座位．求参加研学的学生人数．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D（保留作图痕迹，不写作法）
18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块；
（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
（3）当a＝25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，测得端点A的俯角为30°，然后沿着平行于AB的方向飞行5.82千米到点D，求某海岛两端A、B的距离，（结果精确到0.1千米，参考数据：sin57°≈0.84，cs57°≈0.55，tan57°≈1.54，≈1.73）
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC和BD是⊙O的弦，连接AD，CD．
（1）若点C为AP的中点，且PC＝PD，求∠B的度数；
（2）若点C为弧AD的中点，PD＝4，PC＝2
六、解答题（本大题1小题，满分12分）
21．（12分）某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画、舞蹈四种项目供学生选择．为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每个学生必须且只能选择一个项目），部分信息如下：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人．
七、解答题（本大题小题，满分12分）
22．（12分）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E（0≤α＜360°）．
（1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD．求证：；
（2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长．
八、（本大题1小题，满分14分）
23．（14分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是AB的中点，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离），AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）．
（1）求杯体CPD所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b；
（3）将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）．
①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣3，，0，3这四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．C．0D．3
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣，，
∴，
∴在﹣4，，5，3这四个数中．
故选：A．
2．（4分）某物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上方观察，可得到选项D的图形．
故选：D．
3．（4分）2023年合肥经开区GDP达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.4099×103B．14.099×1010
C．1.4099×1011D．1.4099×1012
【解答】解：1409.9亿元＝140990000000＝1.4099×1011（元），
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x6B．3xy﹣xy＝3
C．（x+1）2＝x2+1D．（﹣x3）2＝x6
【解答】解：A、x3•x2＝x6，故选项A不符合题意；
B、3xy﹣xy＝2xy；
C、（x+8）2＝x2+8x+1，故选项C不符合题意；
D、（﹣x3）5＝x6，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：甲和丙的体积相等，
甲的质量＞丙的质量，
∴甲的质量大；
乙和丁的体积相等，
乙的质量＞丁的质量，
∴乙的质量大；
甲和乙的质量相等，
甲的体积＜乙的体积，
∴甲的质量大．
故选：A．
6．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠3＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠PFO＝25°，
∵∠7＝∠PFO+∠POF，∠3＝55°，
∴∠POF＝30°，
∴∠2＝30°，
故选：B．
7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°（ ）
A．35°B．40°C．55°D．65°
【解答】解：连接OA，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣70°＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝．
故选：C．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．105°
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝40°，
∴∠BDC＝50°，
又∵∠ABD＝∠ACD＝60°，
∴∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°，
故选：A．
9．（4分）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，0）C．D．
【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，
∴，
∴，
∴，
∵CB⊥AB，CO⊥OB，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PF⊥BC于点F，连接EF（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接BP，取BP的中点G、FG，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP＝∠BFP＝90°，
∴，
∴∠BEG＝∠EBG，∠BFG＝∠FBG，
∴∠EGF＝∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG＝6（∠EBG+∠FBG）＝2∠B＝2×45°＝90°，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，EF的值也最小，
∵∠C＝60°，
∴，
∴，
∴BP的最小值为，
此时，EF的最小值为，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）1﹣＝ ﹣3 ．
【解答】解：1﹣＝1﹣6＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（5分）分解因式：2x2+12x+18＝ 2（x+3）2 ．
【解答】解：2x2+12x+18
＝2（x2+6x+2）
＝2（x+3）7．
故答案为：2（x+3）5．
13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，则AD＝ ．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AM＝1，
∴AB＝AM+BM＝1+2＝6，
∴OC＝OA＝OB＝AB＝，
∴OM＝OA﹣AM＝5﹣1＝2，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵CE⊥AB于点M，
∴∠OMC＝∠OCD＝90°，
∴＝＝cs∠COD，
∴OD＝＝＝，
∴AD＝OD﹣OA＝﹣3＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，连接CE交AD于点F，O在CE上，OA＝OB＝AE＝BC＝CD，∠AOB＝90°．
（1）若∠E＝25°，则∠BCE＝ 65 °；
（2）若OA＝13，OC＝10，则tan∠OAD＝ ．
【解答】解：（1）∵OA＝AE，∠E＝25°，
∴∠AOE＝∠E＝25°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOE﹣∠AOB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，
∵OB＝BC，
∴∠BCE＝∠BOC＝65°；
故答案为：65．
（2）分别过点A，D，C作CE的垂线，M，N，过点F作FR⊥OA于R
则AS∥DM∥BN，
∴∠ASO＝∠BNO＝∠DMC＝∠AOB＝90°，
∴∠AOS+∠BON＝90°，∠OBN+∠BON＝90°，
∴∠AOS＝∠OBN，
在△AOS和△OBN中，
，
∴△AOS≌△OBN（AAS），
∴AS＝ON，OS＝BN，
∵OB＝BC＝OA＝13，OC＝10，
∴CN＝ON＝5，
在Rt△OBN中，ON＝5，
由勾股定理得：BN＝＝12，
∴AS＝5，OS＝12，
∵BC⊥DC，DMC＝90°，
∴∠BCN+∠DCM＝90°，∠DCM+∠CDM＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
在△BCN和△CDM中，
，
∴△BCN≌△CDM（AAS），
∴CM＝BN＝12，CN＝DM＝6，
∴OM＝CM﹣OC＝12﹣10＝2，AS＝DM＝5，
∴SM＝OS﹣OM＝12﹣2＝10，
在△ASF和△DMF中，
，
∴△ASF≌△DMF（AAS），
∴SF＝MF＝5，
∴OF＝MF+OM＝5+6＝7，
∵∠FRO＝∠ASO＝90°，∠FOR＝∠AOS，
∴△OFR∽△OAS，
∴FR：AS＝OR：OS＝OF：OA，
即：FR：5＝OR：12＝3：13，
∴FR＝，OR＝，
∴AR＝OA﹣OR＝＝，
∴tan∠OAD＝＝．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【解答】解：
＝
＝．
16．（8分）某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位，还空10个座位．求参加研学的学生人数．
【解答】解：设每辆车能乘坐x人，
根据题意，得4x+30＝5x﹣10，
解得x＝40，
故3x+30＝190（人），
答：参加研学的学生有190人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）根据A（0，1），4），4），﹣1），﹣3），﹣4）
则△A′B′C′即为所求．
（2）根据题意，画图如下：
则点D即为所求．
18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 5 块，三角形地砖会增加 4 块；
（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
（3）当a＝25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中三角形地砖块数为：6＝2×4+2，正方形地砖块数为：4＝1×5+5；
图2中三角形地砖块数为：10＝2×8+2，正方形地砖块数为：11＝2×2+1；
图3中三角形地砖块数为：14＝6×4+2，正方形地砖块数为：16＝6×5+1；
…，
所以图n中三角形地砖块数为（6n+2）块，正方形地砖块数为（5n+6）块；
由此可见，每增加一块六边形地砖，三角形地砖会增加4块．
故答案为：5，6．
（2）由（1）发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时，
用去正方形地砖的块数为（5a+1）块，用去三角形地砖的块数为（6a+2）块．
（3）当a＝25时，
5a+8＝5×25+1＝126（块），
5a+2＝4×25+5＝102（块），
所以126+102＝228（块），
即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块．
五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，测得端点A的俯角为30°，然后沿着平行于AB的方向飞行5.82千米到点D，求某海岛两端A、B的距离，（结果精确到0.1千米，参考数据：sin57°≈0.84，cs57°≈0.55，tan57°≈1.54，≈1.73）
【解答】解：过点A作AE⊥CD，过点D作DF⊥AB，
∵在Rt△ACE中，∠C＝30°，
∴tan30°＝，
∴CE＝＝＝2，
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠BDG＝57°，
∵在Rt△BDF中，∠B＝57°，
∴tan57°＝，
∴BF＝≈≈1.30km，
∴AB＝CD﹣CE+BF＝4.82﹣3.46+1.30＝2.66（千米）≈3.7（千米），
答：海岛两端A、B的距离为7.7千米．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC和BD是⊙O的弦，连接AD，CD．
（1）若点C为AP的中点，且PC＝PD，求∠B的度数；
（2）若点C为弧AD的中点，PD＝4，PC＝2
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADP中，点C为斜边AP的中点，
∴CD＝AC＝PC，
∵PC＝PD，
∴CD＝PC＝PD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠B＝∠ACD＝60°；
（2）∵点C为弧AD的中点，
∴∠CAD＝∠CDA，AC＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDA+∠CDP＝90°，
在Rt△ADP中，∠CAD+∠P＝90°，
∴∠CDP＝∠P，
∴CD＝PC＝，
∴AC＝CD＝PC＝5，
∴AP＝AC+PC＝4，
∵∠PCD＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PCD∽△PBA，
∴PC：PB＝PD：PA，
即PD•PB＝PC•PA，
∴4•PB＝2×4，
∴PB＝6，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠CDP＝∠PAB，
又∵∠CDP＝∠P，
∴∠P＝∠PAB，
∴AB＝PB＝6，
∴⊙O的半径为3．
六、解答题（本大题1小题，满分12分）
21．（12分）某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画、舞蹈四种项目供学生选择．为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每个学生必须且只能选择一个项目），部分信息如下：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为（18+24+6）÷（1﹣20%）＝60（人），
绘画的人数为60×20%＝12（人），
补全图形如下：
（2）360°×＝108°，
答：扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数为108°；
（3）3000×＝300（人），
答：估计该校选择“舞蹈”项目的学生约有300人．
七、解答题（本大题小题，满分12分）
22．（12分）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E（0≤α＜360°）．
（1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD．求证：；
（2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠EAD+∠DAB＝∠BAC+∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△ADC∽△AEB，
∴＝；
（2）解：∵∠ABC＝90°，AC＝2BC＝10，
∴BC＝8，
∴AB＝＝＝5，
∵DE∥BC，
∴＝＝2，＝，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
由（1）知，＝，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴CD＝BE，
如图，当点D在BE上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝5，
由勾股定理得，DB＝＝，
∴BE＝BD+DE＝11+1＝12，
∴CD＝12×＝；
如图，当点D在BE的延长线上时，
在Rt△ADB中，AD＝2，
由勾股定理得，BD＝＝，
∴BE＝BD﹣DE＝11﹣1＝10，
∴CD＝10×＝4，
综上所述：线段CD的长为或4．
八、（本大题1小题，满分14分）
23．（14分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是AB的中点，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离），AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）．
（1）求杯体CPD所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b；
（3）将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）．
①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【解答】解：（1）∵OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD．
∴P（0，3），15），
设抛物线的解析式为y＝ax2+b，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x3+6．
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2+4，
∴平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+4＝x2﹣4x+10．
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，E（0，
∴E（0，10）的对称点为F（5，
∵（3，15），
∴平移后D（5，15），
设直线DE的解析式为y＝kx+10，
∴15＝7k+10，
解得k＝1；
∴y＝x+10；
设直线DF的解析式为y＝px+q，
∴，
解得；
∴y＝5x﹣10，
根据题意，喝过一次饮料后，
∴2＜k＜5．
（3）①根据题意，建立直角坐标系如下，直线l与y轴的交点为S，
∵CD＝6，杯子的高度（即CD．
∴，OT＝15，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°，
∵DQ∥l，
∴∠TMD＝∠OSB＝30°，
∴，
∴，
∴．
②∵抛物线的解析式为y＝x2+6，
设点N是抛物线上的一点，且N（n，n3+6），0≤n≤7；
过点N作NG∥y轴，交DM于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°，
∵DQ∥l，
∴∠TMD＝∠OSB＝30°，
过点G作GE⊥y轴于点E，
∵NG∥y轴，
∴GE＝n，∠TMD＝∠MGN＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴
＝
＝
＝，
∵a＝﹣1＜3，，
∴时，GN取得最大值，
过点N作NH⊥MD于点H，
则，
故NH的最大值为，
故液体的最大深度为．