山西省大同市浑源县第七中学校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试题满分：150分； 考试时间：120分钟
一、单选题（共8小题）
1. (5分)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A. 96B. 84C. 60D. 48
2. (5分)两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A. B. C. D.
3. (5分)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()
A. (－1,1]B. (0,1]C. [1，＋∞)D. (0，＋∞)
4. (5分)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A. 2B. －2C. －2或D. 2或－
5. (5分)已知椭圆C：＋ ＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6. (5分)直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)和直线l2：＋＝1在同一坐标系中可能是( )
A. B. C. D.
7. (5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为( )
A. 2升B. 3升C. 4升D. 5升
8. (5分)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)A. f(2)>e2f(0)，f(2 023)>e2 023f(0)B. f(2)e2 023f(0)
C. f(2)>e2f(0)，f(2 023)二、多选题（共4小题）
9. (5分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A. AB与A1C1 B. AB与C1A1C. BC与C1B D. BC与AD1
10. (5分)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝ t2＋t＋1表示，则( )
A. 物体在t＝1s时的瞬时速度为0m/sB. 物体在t＝0s时的瞬时速度为1m/s
C. 瞬时速度为9m/s的时刻是在t＝4s时D. 物体从0到1的平均速度为2m/s
11. (5分)以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. y2＝2xB. y2＝－4xC. x2＝－4yD. x2＝－2y
12. (5分)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的有( )
A. a5＝－16B. S5＝－63
C. 数列{an}是等比数列D. 数列{Sn＋1}是等比数列
三、填空题（共4小题）
13. (5分)已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋4(n∈N*且n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝______.
14. (5分)若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f ′(1)＝______.
15. (5分)已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的点的最大距离为________．
16. (5分)在数列{an}中,已知a1=1,a2= 5,且an+2=an+1- an(n∈N*),则a2 020= .
四、解答题（共6小题）
17. (10分)有0,1,2,3,4五个数字,问:
(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码?
(2)可以组成多少个无重复数字的四位数?
18. (12分)求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sin.
19. (12分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn.
20. (12分)已知函数f(x)= lnx-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
21. (12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+ n,n∈N*,数列{bn}满足an= 4lg2bn+ 3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
22. (12分)已知函数f(x)= x3+ ax2-4x+ 3(x∈R).
(1)当a=2时,求f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求实数a的取值范围.
数学试题答案
1. 【答案】B
【解析】依次种A，B，C，D4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.
2. 【答案】D
【解析】∵{an}，{bn}是等差数列，
∴＝＝＝＝＝.
3. 【答案】B
【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，
又由y′＝x－≤0，解得0所以函数的单调递减区间为(0,1]．
4. 【答案】C
【解析】由题意，得cs〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
5. 【答案】A
【解析】如图所示，|AF|＝a＋c，|AB|＝，BF＝a.
∵∠ABF＝90°，∴由题意可得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2，
∴(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝a2＋a2－c2＋a2，
∴a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，
∴e＝(负值舍去)．
6. 【答案】D
【解析】根据题意可知kb≠0，
由四个选项中的l1可知k>0，可排除A，C；
当b<0时，l2在y轴上的截距应小于0，可排除B；
当b>0时，选项D符合题意．
7. 【答案】B
【解析】设此等差数列为{an}，公差d>0，
由题意可得：a1＋a2＋a3＝6，a7＋a8＋a9＝12，
所以a2＝2，a8＝4，由a8＝a2＋6d，得d＝，
则a5＝a2＋3d＝2＋3×＝3.
8. 【答案】D
【解析】构造F(x)＝形式，
则F′(x)＝＝，
导函数f′(x)满足f′(x)则F′(x)<0，F(x)在R上单调递减，所以F(2)同理，F(2 023)9. 【答案】AD
【解析】对于A，AC∥A1C1，所以AB与A1C1的夹角即AB与AC的夹角，显然为45°；对于B，AB与C1A1的夹角为135°；对于C，BC与C1B的夹角为135°；对于D，与A同理，即BC与AD1的夹角为45°.故选AD.
10. 【答案】BCD
【解析】对于A：＝＝(3＋Δt)＝3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s，A错误．
对于B：＝＝(1＋Δt)＝1，即物体在t＝0s时的瞬时速度为1m/s，B正确．
对于C：设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，又因为＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1＝9，所以t0＝4，即物体在t＝4s时的瞬时速度为9m/s，C正确．
对于D：＝＝2(m/s)，D正确．
11. 【答案】AC
【解析】易得直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是(0，－1).
当抛物线的焦点坐标是时，p2=12,所以p=1，
此时抛物线的标准方程是y2＝2x，，
当抛物线的焦点坐标是(0，－1)时，p2=1,所以p=2,
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
12. 【答案】AC
【解析】因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
a5＝－1×24＝－16，故A正确；
Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；
因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选AC.
13. 【答案】3n－2
【解析】设an＋x＝3(an－1＋x)，
则an＝3an－1＋2x.
又an＝3an－1＋4，
∴2x＝4，x＝2，
∴an＋2＝3(an－1＋2)．
∴＝3(n≥2)．
又∵a1＋2＝3，
∴{an＋2}是公比为3，首项为3的等比数列，
即an＋2＝3×3n－1＝3n，
∴an＝3n－2.
14. 【答案】
【解析】f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝12－2f′(1)＋1，f′(1)＝.
15. 【答案】＋5
【解析】由圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25得圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，点(2,3)到圆心的距离d＝，故点(2,3)到圆上的点的最大距离为d＋r＝＋5.
16. 【答案】-1
【解析】(方法一)令n=1,则a3=a2-a1=5-1=4;
令n=2,则a4=a3-a2=4-5=-1;
令n=3,则a5=a4-a3=-1-4=-5;令n=4,则a6=a5-a4=-5-(-1)=-4;
令n=5,则a7=a6-a5=-4-(-5)=1;
令n=6,则a8=a7-a6=1-(-4)=5;
故数列{an}是周期为6的周期数列,a2020=a336×6+4=a4=-1.
(方法二)∵an+2=an+1-an(n∈N*),①
∴an+3=an+2-an+1.②
①+②,得an+3+an+2=an+1-an+an+2-an+1,
∴an+3=-an,∴an+6=-an+3=an,{an}的周期为6,
∴a2020=a336×6+4=a4.
由a1=1,a2=5,得a3=4,a4=-1.
17. 【答案】解 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分四个步骤:
第1步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法;
第2步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取方法;
第3步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取方法;
第4步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个.
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四个步骤:
第1步,从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字,有4种不同的选取方法;
第2步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字,有4种不同的选取方法;
第3步,从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字,有3种不同的选取方法;
第4步,从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96(个).
18. 【答案】解 (1)，
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝()′(1－2x)′＝·(－2)＝.
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′＝＝.
(3) 设y＝sinu，u＝2x＋，
则y′x＝(sinu)′′＝csu·2＝2cs.
19. 【答案】解 (1)设数列{an}的公差为d，
由题意得
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝＋＋…＋＋
＝
＝－＝34-2n+32n+1n+2.
20. 【答案】解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
对f(x)求导,得f'(x)=1x-a.
①当a≤0时,f'(x)=1x-a>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=1x-a=0,解得x=1a.
当00;
当x>1a时,f'(x)=1-axx<0,
故函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)①当1a≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.
②当1a≥2,即0③当1<1a<2,即12因为f(2)-f(1)=ln2-a,所以当12当ln2≤a<1时,最小值为f(2)=ln2-2a.
综上可知,当0当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.
21. 【答案】解 (1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4lg2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)·2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)·2n+5.
故Tn=(4n-5)·2n+5,n∈N*.
22. 【答案】解 (1)当a=2时,∵f(x)=x3+2x2-4x+3,
∴f'(x)=3x2+4x-4.
∴f'(1)=3,即切线的斜率为3.
∵f(1)=2,∴切点为(1,2).
故所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)∵f(x)=x3+ax2-4x+3,
∴f'(x)=3x2+2ax-4.
∵函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,
∴f'(x)≤0对x∈(1,2)恒成立,
即3x2+2ax-4≤0对x∈(1,2)恒成立,
从而a≤2x-32x,x∈(1,2).
设h(x)=2x-32x,则h'(x)=-2x2-32.
∵当x>0时,h'(x)<0,
∴函数h(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
∴当x∈[1,2]时,h(x)min=h(2)=-2.
∴a≤-2.
故实数a的取值范围为-∞,-2.